高考数学二轮复习专项分层特训命题点3平面向量含答案

这是一份高考数学二轮复习专项分层特训命题点3平面向量含答案，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
eq \a\vs4\al(小题突破)
一、单项选择题
1.[2022·全国乙卷]已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b)) ＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
2．[2022·新高考Ⅰ卷] 在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记 eq \(CA,\s\up6(→)) ＝m， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝n，则 eq \(CB,\s\up6(→)) ＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
3．[2022·新高考Ⅱ卷]已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( )
A．－6 B．－5
C．5 D．6
4．[2022·山东潍坊三模]已知a，b是平面内两个不共线的向量， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a＋λb， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝μa＋b，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件是( )
A．λ－μ＝1 B．λ＋μ＝2
C．λμ＝1 D． eq \f(λ,μ) ＝1
5．[2022·河北保定一模]已知向量a＝(2，1)，|b|＝ eq \r(10) ，|a－b|＝5，则a与b的夹角为( )
A．45° B．60°
C．120° D．135°
6．[2022·湖北十堰模拟]已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则 eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(BP,\s\up6(→)) 的最小值为( )
A．2 B．1
C．－2 D．－1
7．[2022·湖南师大附中三模]艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心．如图，设O是正五边形ABCDE的中心，则下列关系错误的是( )
A. eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DB,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→))
B． eq \(AO,\s\up6(→)) · eq \(BE,\s\up6(→)) ＝0
C． eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) ＝3 eq \(AO,\s\up6(→))
D． eq \(AO,\s\up6(→)) · eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(BO,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→))
8．[2022·山东德州三模]已知平面向量a＝(2，0)，b＝(0，1)，且非零向量c满足(a－2c)⊥(b－c)，则|c|的最大值是( )
A．1 B． eq \r(2)
C． eq \r(3) D．2
二、多项选择题
9．[2022·辽宁沈阳二模]如图，在4×4方格中，向量a，b，c的始点和终点均为小正方形的顶点，则( )
A．a＝b B．|a＋b|＝|c|
C．a⊥b D．a·c≠b·c
10．[2022·广东广州三模]已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则下列结论中正确的是( )
A．a·b＝5 B．|a－b|＝ eq \r(5)
C．〈a，b〉＝ eq \f(π,4) D．a∥b
11．[2022·福建龙岩一模]在△ABC中，已知BC＝6，且 eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(DE,\s\up6(→)) ＝ eq \(EC,\s\up6(→)) ， eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(AE,\s\up6(→)) ＝8，则( )
A． eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AE,\s\up6(→))
B． eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))
C． eq \(AB,\s\up6(→)) 2＋ eq \(AC,\s\up6(→)) 2＝36
D． eq \(AB,\s\up6(→)) ⊥ eq \(AC,\s\up6(→))
12．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，点P1(cs α，sin α)，P2(cs β，－sin β)，P3(cs (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则( )
A．| eq \(OP1,\s\up6(→)) |＝| eq \(OP2,\s\up6(→)) |
B．| eq \(AP1,\s\up6(→)) |＝| eq \(AP2,\s\up6(→)) |
C． eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OP3,\s\up6(→)) ＝ eq \(OP1,\s\up6(→)) · eq \(OP2,\s\up6(→))
D. eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OP1,\s\up6(→)) ＝ eq \(OP2,\s\up6(→)) · eq \(OP3,\s\up6(→))
三、填空题
13．[2021·全国乙卷]已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________．
14．[2021·新高考Ⅱ卷]已知向量a＋b＋c＝0， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) ＝1， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c)) ＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________．
15．[2022·全国甲卷]设向量a，b的夹角的余弦值为 eq \f(1,3) ，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________．
16．[2022·湖北黄冈中学三模]在边长为4的等边△ABC中，已知 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ，点P在线段CD上，且 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝m eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ，则| eq \(AP,\s\up6(→)) |＝________．
命题点3 平面向量(小题突破)
1．解析：由题意可得a－b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，1)) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，4)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，－3)) ，所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b)) ＝ eq \r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3))2) ＝5.故选D.
答案：D
2．解析：因为BD＝2DA，所以 eq \(CB,\s\up6(→)) ＝ eq \(CA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(CA,\s\up6(→)) ＋3 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(CA,\s\up6(→)) ＋3( eq \(CD,\s\up6(→)) － eq \(CA,\s\up6(→)) )＝－2 eq \(CA,\s\up6(→)) ＋3 eq \(CD,\s\up6(→)) ＝－2m＋3n.故选B.
答案：B
3．解析：因为a＝(3，4)，b＝(1，0)，所以c＝a＋tb＝(3＋t，4).由题意，得cs 〈a，c〉＝cs 〈b，c〉，即 eq \f(9＋3t＋16,|c|·5) ＝ eq \f(3＋t,|c|·1) ，解得t＝5.故选C.
答案：C
4．解析：由A，B，C三点共线的充要条件是 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝m eq \(AC,\s\up6(→)) 且m∈R，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(mμ＝1,λ＝m))) ，故λμ＝1.
故选C.
答案：C
5．解析：∵a＝(2，1)，∴|a|＝ eq \r(4＋1) ＝ eq \r(5) ，
∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a|·|b|cs 〈a，b〉＋|b|2＝15－10 eq \r(2) cs 〈a，b〉＝25，解得：cs 〈a，b〉＝－ eq \f(\r(2),2) ，又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝ eq \f(3π,4) ，即a与b的夹角为135°.
故选D.
答案：D
6．解析：记 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BP,\s\up6(→)))) ＝x，x∈[0，4]，因为 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \(BP,\s\up6(→)) － eq \(BA,\s\up6(→)) ，所以 eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(BP,\s\up6(→)) ＝ eq \(BP,\s\up6(→)) 2－ eq \(BA,\s\up6(→)) · eq \(BP,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BP,\s\up6(→)))) 2－2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BP,\s\up6(→)))) ＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1.
答案：D
7．解析：对于A， eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DB,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(OB,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ，故A正确，
对于B：因为AB＝AE，OB＝OE，所以 eq \(AO,\s\up6(→)) ⊥ eq \(BE,\s\up6(→)) ，故B正确，
对于C：由题意O是△ACD的外心，不是△ACD的重心，
设CD中点为M，则|AM|＝|AO|＋|OM|＝|AO|＋|AO|cs 36°＝|AO|·2cs218°，
eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) ＝4cs218° eq \(AO,\s\up6(→)) ，故C错误，
对于D： eq \(AO,\s\up6(→)) · eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) | eq \(AD,\s\up6(→)) |2＝ eq \f(1,2) | eq \(BD,\s\up6(→)) |2＝ eq \(BO,\s\up6(→)) · eq \(BD,\s\up6(→)) ，故D正确．
故选C.
答案：C
8．解析：设c＝(x，y)，则a－2c＝(2－2x，－2y)，b－c＝(－x，1－y)，(a－2c)·(b－c)＝(2－2x)·(－x)＋(－2y)·(1－y)＝2x2－2x＋2y2－2y＝0，
整理得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2))) 2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2))) 2＝ eq \f(1,2) ，则点(x，y)在以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2))) 为圆心， eq \f(\r(2),2) 为半径的圆上，则|c|＝ eq \r(x2＋y2) 表示(0，0)和圆上点(x，y)之间的距离，
又(0，0)在圆 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2))) 2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2))) 2＝ eq \f(1,2) 上，故|c|的最大值是2× eq \f(\r(2),2) ＝ eq \r(2) .
故选B.
答案：B
9．解析：如图所示，向量a与向量b方向不同，所以a≠b，故A不正确；
作向量a与向量b，可得|a＋b|＝|c|，且a⊥b，故B与C正确；
连接BD，则AC与BD互相垂直，所以向量a与向量b在向量c上的射影的数量是相同的，所以a·c＝b·c，故D不正确．
故选BC.

答案：BC
10．解析：a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，A正确；
a－b＝(2，1)，|a－b|＝ eq \r(22＋12) ＝ eq \r(5) ，B正确；
|a|＝ eq \r(32＋（－1）2) ＝ eq \r(10) ，|b|＝ eq \r(12＋（－2）2) ＝ eq \r(5) ，则cs〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(5,5\r(2)) ＝ eq \f(\r(2),2) ，〈a，b〉＝ eq \f(π,4) ，C正确；3×(－2)≠(－1)×1，D错误．
故选ABC.
答案：ABC
11．解析：因为 eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(DE,\s\up6(→)) ＝ eq \(EC,\s\up6(→)) ，所以D、E是线段BC的三等分点，且B、D两点相邻，
由平面向量的加法的几何意义可知： eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AE,\s\up6(→)) ，故选项A正确；
eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AE,\s\up6(→)))) ＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \(AE,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)) ，化简得：
eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ，故选项B不正确；
因此 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(AC,\s\up6(→)))) ＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ，
而 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(AE,\s\up6(→)) ＝8，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(AC,\s\up6(→)))) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AC,\s\up6(→)))) ＝8，化简得：
eq \(AB,\s\up6(→)) 2＋ eq \f(5,2) eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) 2＝36，因为BC＝6，所以由余弦定理可知：
36＝ eq \(AB,\s\up6(→)) 2＋ eq \(AC,\s\up6(→)) 2－2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→)))) · eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→)))) cs A＝ eq \(AB,\s\up6(→)) 2＋ eq \(AC,\s\up6(→)) 2－2 eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ，
即 eq \(AB,\s\up6(→)) 2＋ eq \f(5,2) eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) 2＝ eq \(AB,\s\up6(→)) 2＋ eq \(AC,\s\up6(→)) 2－2 eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ⇒ eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝0，
所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ⊥ eq \(AC,\s\up6(→)) ，进而 eq \(AB,\s\up6(→)) 2＋ eq \(AC,\s\up6(→)) 2＝36，因此选项CD都正确，
故选ACD.
答案：ACD
12．解析：A： eq \(OP1,\s\up6(→)) ＝(cs α，sin α)， eq \(OP2,\s\up6(→)) ＝(cs β，－sin β)，所以| eq \(OP1,\s\up6(→)) |＝ eq \r(cs 2α＋sin 2α) ＝1，| eq \(OP2,\s\up6(→)) |＝ eq \r(（cs β）2 ＋（－sin β）2) ＝1，故| eq \(OP1,\s\up6(→)) |＝| eq \(OP2,\s\up6(→)) |，正确；
B： eq \(AP1,\s\up6(→)) ＝(cs α－1，sin α)， eq \(AP2,\s\up6(→)) ＝(cs β－1，－sin β)，
所以| eq \(AP1,\s\up6(→)) |＝ eq \r(（cs α－1）2＋sin 2α) ＝ eq \r(cs 2α－2cs α＋1＋sin 2α)
＝ eq \r(2（1－cs α）) ＝ eq \r(4sin 2\f(α,2)) ＝2|sin eq \f(α,2) |，
同理| eq \(AP2,\s\up6(→)) |＝ eq \r(（cs β－1）2＋sin 2β) ＝2|sin eq \f(β,2) |，故| eq \(AP1,\s\up6(→)) |，| eq \(AP2,\s\up6(→)) |不一定相等，错误；
C：由题意得： eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OP3,\s\up6(→)) ＝1×cs (α＋β)＋0×sin (α＋β)＝cs (α＋β)， eq \(OP1,\s\up6(→)) · eq \(OP2,\s\up6(→)) ＝cs α·cs β＋sin α·(－sin β)＝cs (α＋β)，正确；
D：由题意得： eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OP1,\s\up6(→)) ＝1×cs α＋0×sin α＝cs α， eq \(OP2,\s\up6(→)) · eq \(OP3,\s\up6(→)) ＝cs β×cs (α＋β)＋(－sin β)×sin (α＋β)＝cs [β＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β)) ]＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋2β)) ，故一般来说 eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OP1,\s\up6(→)) ≠ eq \(OP2,\s\up6(→)) · eq \(OP3,\s\up6(→)) ，错误．
故选AC.
答案：AC
13．解析：由题意得(a－λb)·b＝0，即15－25λ＝0，解得λ＝ eq \f(3,5) .
答案： eq \f(3,5)
14．解析：由已知可得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c)) 2＝a2＋b2＋c2＋2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a·b＋b·c＋c·a)) ＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
因此，a·b＋b·c＋c·a＝－ eq \f(9,2) .
答案：－ eq \f(9,2)
15．解析：因为cs 〈a，b〉＝ eq \f(1,3) ，|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a||b|cs 〈a，b〉＝1×3× eq \f(1,3) ＝1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×1＋32＝11.
答案：11
16．解析：因为 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ，所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,2) eq \(AD,\s\up6(→)) ，又 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝m eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ，
即 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝m eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＝m eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(3,4) eq \(AD,\s\up6(→)) ，因为点P在线段CD上，
所以P，C，D三点共线，由平面向量三点共线定理得，m＋ eq \f(3,4) ＝1，即m＝ eq \f(1,4) ，
所以 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ，又△ABC是边长为4的等边三角形，
所以| eq \(AP,\s\up6(→)) |2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)\(AC,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→)))) 2＝ eq \f(1,16) | eq \(AC,\s\up6(→)) |2＋ eq \f(1,4) | eq \(AC,\s\up6(→)) || eq \(AB,\s\up6(→)) |cs 60°＋ eq \f(1,4) | eq \(AB,\s\up6(→)) |2＝ eq \f(1,16) ×16＋ eq \f(1,4) ×4×4× eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,4) ×16＝7，故| eq \(AP,\s\up6(→)) |＝ eq \r(7) .
答案： eq \r(7)