2023高考数学三轮专题考前回顾 回顾7 平面解析几何

　平面解析几何

1.直线的倾斜角α与斜率k

(1)倾斜角α的范围为[0，π).

(2)直线的斜率

①定义：k＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率为k＝(x1≠x2)；③直线的方向向量a＝(1，k).

[检验1]　直线xsin α－y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A.  B.(0，π)

C.  D.∪

答案　D

2.直线的方程

(1)点斜式：y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于x轴的直线.

(2)斜截式：y＝kx＋b，它不包括垂直于x轴的直线.

(3)两点式：＝，它不包括垂直于坐标轴的直线.

(4)截距式：＋＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.

(5)一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式.

[检验2]　已知直线过点P(1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________.

答案　5x－y＝0或x＋y－6＝0

3.两直线的平行与垂直

①l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

[检验3]　设直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m＝________时，l1∥l2；当m＝________时，l1⊥l2；当________时，l1与l2相交；当m＝________时，l1与l2重合.

答案　－1　　m≠3且m≠－1　3

4.点到直线的距离及两平行直线间的距离

(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝.

(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离为d＝.

[检验4]　已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离为(　　)

A.  B.8  C.2  D.

答案　C

5.圆的方程

(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，只有当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0才表示圆心为，半径为的圆.

[检验5]　已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为________.

答案　(x－2)2＋y2＝10

6.直线、圆的位置关系

(1)直线与圆的位置关系

直线l：Ax＋By＋C＝0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)有相交、相离、相切三种位置关系.可从代数和几何两个方面来判断；

①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ＞0⇔相交；Δ＜0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则d＜r⇔相交；d＞r⇔相离；d＝r⇔相切.

(2)圆与圆的位置关系

已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则①当|O1O2|＞r1＋r2时，两圆外离；②当|O1O2|＝r1＋r2时，两圆外切；③当|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2时，两圆相交；④当|O1O2|＝|r1－r2|时，两圆内切；⑤当0≤|O1O2|＜|r1－r2|时，两圆内含.

[检验6]　(1)已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________.

(2)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)

A.21  B.19  C.9  D.－11

答案　(1)x＋y－1＝0　(2)C

7.对圆锥曲线的定义要做到抓住关键词，例如椭圆中定长大于两定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支，在抛物线的定义中必须注意条件：F∉l，否则定点的轨迹可能是过点F且垂直于直线l的一条直线.

[检验7]　(1)椭圆＋＝1的两个焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为(　　)

A.10  B.2  C.16  D.20

(2)已知双曲线－＝1上的一点P到双曲线的一个焦点的距离为6，则点P到另一个焦点的距离为________.

(3)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，点A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　)

A.1  B.2  C.4  D.8

答案　(1)D　(2)10　(3)A

8.求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数.

(1)椭圆标准方程：焦点在x轴上，＋＝1(a＞b＞0)；焦点在y轴上，＋＝1(a＞b＞0).

(2)双曲线标准方程：焦点在x轴上，－＝1(a＞0，b＞0)；焦点在y轴上，－＝1(a＞0，b＞0).

(3)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)具有共同渐近线的双曲线系为－＝λ(λ≠0).

(4)抛物线标准方程

焦点在x轴上：y2＝±2px(p＞0)；

焦点在y轴上：x2＝±2py(p＞0).

[检验8]　(1)过点(2，－2)，且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是(　　)

A.－＝1  B.－＝1

C.－＝1  D.－＝1

(2)y＝4x2的焦点坐标是________.

答案　(1)D　(2)

9.(1)在把圆锥曲线方程与直线方程联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系.有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切.

(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题

斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝或|P1P2|＝(k≠0).

(3)过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的直线l交抛物线于C(x1，y1)，D(x2，y2)，则①焦半径|CF|＝x1＋；②弦长|CD|＝x1＋x2＋p；③x1x2＝，y1y2＝－p2.

[检验9]　已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为________.

答案　16