2023高考数学三轮专题考前回顾 回顾2 函数与导数

　函数与导数

1.求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.

[检验1]　函数f(x)＝的定义域为________.

答案　[2，＋∞)

解析　要使函数f(x)有意义，则log2x－1≥0，即x≥2，则函数f(x)的定义域是[2，＋∞).

2.求函数解析式的主要方法：(1)代入法；(2)待定系数法；(3)换元(配凑)法；(4)解方程法等.用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题.

[检验2]　已知f()＝x＋2，则f(x)＝________.

答案　x2＋2x(x≥0)

3.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数.

[检验3]　已知函数f(x)＝则f＝________.

答案　

4.函数的奇偶性

若f(x)的定义域关于原点对称，则

f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|);

f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x).

定义域含0的奇函数满足f(0)＝0；定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分的条件；判断函数的奇偶性，先求定义域，若其定义域关于原点对称，再找f(x)与f(－x)的关系.

[检验4]　(1)若f(x)＝2x＋2－xlg a是奇函数，则实数a＝________.

(2)已知f(x)为偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，若f(lg x)＞f(1)，则x的取值范围是________.

答案　(1)　(2)

5.函数的周期性

由周期函数的定义“函数f(x)满足f(x)＝f(a＋x)(a≠0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：

①若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(x)(a≠0)，则f(x)是周期T＝2a的周期函数；

②若f(x＋a)＝(a≠0)恒成立，则T＝2a；

③若f(x＋a)＝－(a≠0)恒成立，则T＝2a.

[检验5]　函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________.

答案　

解析　因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，

所以函数f(x)的最小正周期是4.

因为在区间(－2，2]上，

f(x)＝

所以f(f(15))＝f(f(－1))＝f＝cos ＝.

6.函数的单调性

(1)定义法：设任意x1，x2∈[a，b]，x1≠x2那么

(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；

(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数.

(2)导数法：注意f ′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定.如函数f(x)＝x3在

(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，∴f ′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件.

(3)复合函数由同增异减的判定法则来判定.

(4)求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.

[检验6]　(1)函数f(x)＝的单调减区间为________.

(2)已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　(1)(－∞，0)，(0，＋∞)　(2)D

7.求函数最值(值域)常用的方法

(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；

(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；

(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；

(4)导数法：适合于可导函数；

(5)换元法(特别注意新元的范围)；

(6)分离常数法：适合于一次分式；

(7)有界函数法：适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子.

无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域.

[检验7]　函数y＝的值域为________.

答案　(0，1)

8.函数图象的几种常见变换

(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”.

(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|).

(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；

②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；

③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称.

[检验8]　(1)函数y＝的图象关于点________对称.

(2)函数f(x)＝|lg x|的单调递减区间为________.

答案　(1)(－2，3)　(2)(0，1]

9.二次函数问题

(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系.

(2)二次函数解析式的三种形式：

①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；

③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).

(3)一元二次方程实根分布：先观察二次项系数，Δ与0的关系，对称轴与区间的关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图.

尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形.

[检验9]　关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根的充要条件是________.

答案　a∈

10.指数与对数的运算性质

(1)指数运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r，s∈Q).

(2)对数运算性质：已知a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN，

loga＝logaM－logaN，

logaMn＝nlogaM，

对数换底公式：logaN＝.

推论：logamNn＝logaN；logab＝.

[检验10]　设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝(　　)

A.  B.10 

C.20  D.100

答案　A

11.指数函数与对数函数的图象与性质

可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(0，1)，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1，0).

[检验11]　(1)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则(　　)

A.a＞b＞c  B.a＞c＞b 

C.c＞b＞a  D.c＞a＞b

(2)函数y＝loga|x|的增区间为_______________________.

答案　(1)D　(2)当a＞1时，(0，＋∞)；当0＜a＜1时，(－∞，0)

12.函数与方程

(1)对于函数y＝f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.事实上，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根.

(2)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时这个c就是方程f(x)＝0的根；反之不成立.

[检验12]　设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在区间是(　　)

A.(0，1)  B.(1，2) 

C.(2，3)  D.(3，4)

答案　B

13.导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0).

注意　过某点的切线不一定只有一条.

[检验13]　已知函数f(x)＝x3－3x，过点P(2，－6)作曲线y＝f(x)的切线，则此切线的方程是____________.

答案　3x＋y＝0或24x－y－54＝0

14.几个常用的基本初等函数的导数公式

(1)(sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x.

(2)(ln x)′＝(x>0)，

(logax)′＝(x>0，a>0，且a≠1).

(3)(ex)′＝ex，(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1).

[检验14]　已知f(x)＝xln x，则f′(x)＝________；已知f(x)＝，则f′(x)＝________.

答案　ln x＋1　

15.利用导数判断函数的单调性

设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)＜0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数.

注意　如果已知f(x)为减函数求字母取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0，增函数亦如此.

[检验15]　函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　)

A.[3，＋∞)  B.[－3，＋∞)

C.(－3，＋∞)  D.(－∞，－3)

答案　B

16.导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)＝x3，有f ′(0)＝0，但x＝0不是极值点.

[检验16]　函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是(　　)

A.2  B.1 

C.0  D.由a确定

答案　C