2021-2022学年江西省遂川中学高一上学期第一次月考数学试题（B卷）（解析版）

2021-2022学年江西省遂川中学高一上学期第一次月考数学试题（B卷）

一、单选题

1．已知集合A＝{0，1}，则下列关系表示错误的是

A．0∈A B．{1}∈A C．∅⊆A D．{0，1}⊆A

【答案】B

【详解】根据元素与集合关系的表示法，0∈A，故A正确；

根据集合与集合关系的表示法，{1}⊂A，判断B假；

∅是任意集合的子集，故C正确；

根据集合子集的定义，{0，1}⊆A，故D正确；

故选B．

点睛：本题考查的是集合的包含关系的判断及其应用，元素与集合关系的判断，是基础题.

2．已知集合，集合或，，则（    ）

A． B．

C．或 D．

【答案】B

【分析】先求出，从而求出.

【详解】集合，集合或，

，

又集合，

故选：B.

3．“”是“”的（        ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由不等式，解得且，再结合充分条件、必要条件的判定，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，不等式，即，解得且，

则“”是“且”必要不充分条件，

即“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，其中解答中正确求解不等式，熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

4．命题“∃x＞0，x2＝x﹣1”的否定是（　　）

A．∃x＞0，x2≠x﹣1 B．∀x≤0，x2＝x﹣1

C．∃x≤0，x2＝x﹣1 D．∀x＞0，x2≠x﹣1

【答案】D

【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识选出正确结论.

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，所以：命题“∃x＞0，x2＝x﹣1”的否定是：∀x＞0，x2≠x﹣1．

故选：D

【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定，属于基础题.

5．若集合，，且，则a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由知，利用集合间的基本关系即可解决问题

【详解】因为集合，，且，

所以，

所以，

所以的取值范围为，

故选：D

6．一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据不等式的解集可得2，5为对应方程的根，将和均用表示，代入所求不等式解出即可.

【详解】一元二次不等式的解集为，

所以，且2，5是一元二次方程的两个实数根，

所以，，所以，，且；

所以不等式化为，即，

解得

因此不等式的解集为

故选：B.

7．若不等式的解集为R，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】二次型不等式恒成立问题，先讨论二次项系数是否为0，若不为0，则根据二次项系数与判别式确定参数的不等式，求解即可.

【详解】解：，

①当时，，；

②当时，函数开口向上

只有当时，恒成立

解得，此时，；

③当时，函数开口向下

不可能恒成立

此时，，故舍去

综上所述，

故选：B.

8．已知，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

【详解】解：已知，，，可得：，，

则；

当且仅当，，时取等号．

则的最小值为：；

故选：．

【点睛】本题是应用题，考查的是基本不等式的应用，乘1法”与基本不等式的性质使用时要注意“一正，二定，三相等”．属于中档题．

二、多选题

9．设，，若，求实数a可以是（    ）

A．0 B． C． D．3

【答案】ABC

【分析】首先求集合，根据和两种情况讨论实数的值.

【详解】，，

，，①时，；

②时，或，，或 .

故选：ABC

10．下列说法正确的是（    ）

A．若集合，则

B．已知p：，，则：，

C．“”是“”的必要不充分条件

D．函数最小值为2

【答案】AC

【分析】选项A，理解集合间的关系即可得结果；选项B全称命题的否定，注意所给的条件，C选项充分必要条件的判断，选项D，利用基本不等式求最值。

【详解】对A，，则，所以，故A正确；

对B， p：，，即，

又全称量词命题的否定为存在量词命题，

所以：，，故B不正确；

对C，由“”不一定能得到“”，反之，

当“”时，可得“”，

所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确；

对选项D，函数

，取等号时，

x不存在，故函数的最小值不是2，错误.

故选：AC.

11．已知，且.则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】结合基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】当时，，所以BD选项错误.

A，，当且仅当时，等号成立，A正确.

C，，，当且仅当时，等号成立，C正确.

故选：AC

12．下列结论中，所有正确的结论是（    ）

A．若，则函数的最大值为

B．若，，则的最小值为

C．若，，，则的最大值为4

D．若，，，则的最小值为

【答案】BC

【分析】A选项，由，则，将构造出不等式的形式

B选项，，并且，所以，并且，等式化“1”，然后利用基本不等式，C选项，由，，，以及，构造出关于的二次不等式解之分析，D选项，由，，，配凑，然后等式化“1”，构造基本不等式.

【详解】选项A：由，则，

又，

当且仅当时等号成立，故A错误；

选项B：，并且，

所以，并且，

则

，当且仅当时，

即时等号成立，故B正确；

选项C：由x，，，即，

即

解得

当且仅当时，有最大值4，故C正确

选项D：若，，，

则，

所以

，

当且仅当时取等号，故D错误；

故选：BC.

三、填空题

13．某班共有38人，其中21人喜爱跑步运动，15人喜爱篮球运动，10人对两项运动都不喜爱，则对两项运动都喜爱的人数为_____________.

【答案】8

【分析】由某班共有38人、10人对两项运动都不喜爱，可以求出喜欢这两项运动的人数，再根据其中21人喜爱跑步运动，15人喜爱篮球运动，可以求出对两项运动都喜爱的人数.

【详解】设喜欢欢这两项运动的学生为集合A，喜爱跑步运动的学生为集合B,喜爱篮球运动的学生为集合C，因为某班共有38人、10人对两项运动都不喜爱，所以喜欢这两项运动的人数为28人，记为card(A)=28,由 可知：

，即对两项运动都喜爱的人数为8.

【点睛】本题考查了集合元素个数问题，熟记公式

是解题的关键.

14．对于集合M，N，定义且，，设，，则__________.

【答案】

【分析】根据题意求出集合和，然后再求出即为所求．

【详解】

或

故答案为：

15．设常数，集合，，若，则的取值范围为___________．

【答案】

【分析】分类讨论的范围求出中不等式的解集，再由以及，求出的范围即可．

【详解】当时，，满足；

当时，或，，且，

则，解得，此时；

当时，或，，且，

则，合乎题意，此时.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

16．设是4个有理数，使得，则________.

【答案】3

【分析】根据题目所给条件列方程，整理求得.

【详解】依题意，集合，

即，

则.

所以.

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，

（1）分别求

（2）已知，若，求实数a的取值范围

【答案】（1）或，或；（2）.

【分析】（1）根据集合交并补集的概念即可求出结果；

（2）根据集合的包含关系得到，解不等式组即可求出结果.

【详解】解：（1）因为，所以或，

因为或，，所以或.

（2）因为，所以，解之得，所以．

18．已知，．

（1）是否存在实数m，使是的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；

（2）是否存在实数m，使是的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）存在实数，使是的充分条件；（2）当实数时，是的必要条件．

【分析】（1）要使是的充分条件，需使，列不等式求解即可；（2）要使是的必要条件，需使，分情况讨论是否为空集，列不等式求解.

【详解】（1）要使是的充分条件，需使，即，解得：，所以存在实数，使是的充分条件．

（2）要使是的必要条件，需使．

当时，，解得，满足题意；

当时，，解得，要使，则有，解得，所以．

综上可得，当实数时，是的必要条件．

19．已知命题，命题.

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）写出命题的否定，由它为真命题求解；

（2）由（1）易得命题为真时的范围，再由为真命题时的范围得出非为真时的范围，两者求交集可得．

【详解】解：(1)根据题意，知当时，.，为真命题，.

实数的取值范围是.

(2)由(1)知命题为真命题时，.

命题为真命题时，，解得为真命题时，.

，解得，即实数的取值范围为.

20．已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．

(1)当a＝2时，解关于x的不等式；

(2)当a＞0时，解关于x的不等式．

【答案】(1)；

(2)答案见解析

【分析】（1）将不等式化为（2x+1）（x﹣1）＜0即可求得结果；

（2）将不等式化为（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0，当a＞0时，不等式变为，计算（x﹣1）（ax+a﹣1）＝0的两根，根据两根大小关系讨论不等式解集．

【详解】（1）当a＝2时，不等式2x2﹣x﹣1＜0可化为：（2x+1）（x﹣1）＜0，

∴不等式的解集为；

（2）不等式ax2﹣x+1﹣a＜0可化为：（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0，

当a＞0时，，

的根为：，

①当时，，∴不等式解集为，

②当时，，不等式解集为∅，

③当时，1，∴不等式解集为{x|x＜1}，

综上，当时，不等式解集为，

当a时，不等式解集为，

当时，不等式解集为{x|x＜1}．．

21．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴.现计划建造一个室内面积为平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为米，如图所示.

（1）将两个养殖池的总面积表示为的函数，并写出定义域；

（2）当温室的边长取何值时，总面积最大？最大值是多少？

【答案】（1），定义域为；（2）当温室的边长为30米时，总面积取最大值为1215平方米．

【分析】（1）依题意得温室的另一边长为米．求出养殖池的总面积，然后求解函数的定义域即可．（2），利用基本不等式求解函数的最值即可．

【详解】（1）依题意得温室的另一边长为米．

因此养殖池的总面积，

因为，，所以．

所以定义域为．

（2）

，

当且仅当，即时上式等号成立，

当温室的边长为30米时，总面积取最大值为1215平方米．

【点睛】本题考查实际问题的解决方法，函数思想的应用，基本不等式求解函数的最值，考查分析问题解决问题的能力．

22．已知二次函数.

(1)若的解集为，求不等式的解集；

(2)若对任意，恒成立，求的最大值；

(3)若对任意，恒成立，求的最大值.

【答案】(1)

(2)1

(3)

【分析】（1）根据已知条件，利用“三个二次”的关系，得到的根为1和2，且，进而求得的关系，化简不等式后，求解即得;

（2）利用不等式恒成立的条件，得到，进而得到，从而得到结合基本不等式求得的最大值；

（3）令，可得，根据恒成立，可以得到，进而得到，然后利用基本不等式求得的最大值,并检验取到最大值时的条件使得不等式的另一边恒成立.

【详解】（1）因为的解集（1，2），

所有的根为1和2，且.

所以，，故，，

所以，即，，

所以，即不等式的解集为.

（2）因为对任意，恒成立，所以，即，

又，所以，故，

所以，

当，时取“=”，

所以的最大值为1.

（3）令，则，所以，

对任意，，恒成立，

所以恒成立，

所以，

所以，此时，

，

当，，时取“=”，

此时成立；

故的最大值为.