2021-2022学年江西省上饶中学高一下学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2021-2022学年江西省上饶中学高一下学期第一次月考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．与-2022°终边相同的最小正角是（ ）
A．138°B．132°C．58°D．42°
【答案】A
【分析】根据任意角的周期性，将-2022°化为，即可确定最小正角.
【详解】由-2022°，
所以与-2022°终边相同的最小正角是138°.
故选：A
2．若，，则角的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】应用诱导公式可得，，进而判断角的终边所在象限.
【详解】由题设，，，
所以角的终边在第二象限.
故选：B
3．已知向量，，若，则（ ）
A．5B．C．D．26
【答案】B
【分析】由向量垂直的坐标表示求得，进而由向量线性运算的坐标表示求的坐标，最后利用向量模的坐标运算求即可.
【详解】依题意，，解得，则，
所以，故．
故选：B．
4．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，由正弦定理可直接完成求解.
【详解】因为，由正弦定理可得：，
所以.
故选：B.
5．函数的定义域为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】令可求得的范围，根据正切函数值域可求得定义域.
【详解】令，解得：，，
定义域为，.
故选：C.
6．铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设为内切圆的圆心，为内切圆的半径，根据正多边形的性质，可得，再根据锐角三角函数计算可得；
【详解】解：如图，
设为内切圆的圆心，为内切圆的半径．正十边形的每个外角为，内角为，所以，所以，，
，得，解得．
故选：B．
7．要得到的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度
【答案】C
【分析】将函数转化成求解即可.
【详解】因为函数，
所以要得到的图象，只需将的图象向左平行移动个单位长度．
故选：C.
8．在中， 为边上一点(不含端点)， ， 则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】先将条件进行化简并得出，进而通过转化法求出平面向量数量积.
【详解】由题意，，即.
因为点D在BC上，所以，于是.
故选：C.
二、多选题
9．函数的图象为，则以下结论中正确的是（ ）
A．图象关于直线对称B．图象关于点对称
C．函数在区间内是增函数D．是偶函数
【答案】BC
【分析】利用正弦型函数的对称性可判断AB选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的奇偶性可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，故图象不关于直线对称，A错；
对于B选项，因为，故图象关于点对称，B对；
对于C选项，当时，，
所以，函数在区间内是增函数，C对；
对于D选项，为奇函数，D错.
故选：BC.
10．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或B．的充要条件是
C．若，则D．若，则
【答案】AB
【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用平面向量共线的坐标表示可判断B选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用平面向量的模长公式可判断D选项.
【详解】对于A，若，则，解得，
因为，所以或，故A正确；
对于B，若，则，解得或（舍去），
因为，所以，即，
当时，，，，则，即，故B正确；
对于C，若，则，解得，
因为，所以，故C错误；
对于D，若，则，
整理得，解得或，
因为，所以或或，故D错误.
故选：AB.
11．已知为上的奇函数，且当时，，记，下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数
B．若的一个零点为，且，则
C．在区间的零点个数为3个
D．若大于1的零点从小到大依次为，则
【答案】ABD
【分析】运用奇函数的定义和诱导公式可判断A；由零点的定义和同角三角函数关系可判断B；由零点的定义和图象的交点个数，可判断C；由时，和的图象，结合正切函数的性质，可判断D.
【详解】因为，
所以函数为奇函数，故A正确；假设，即，时，
，
所以当，时，，
当，时，，
当，，则，由于的一个零点为，则，故B正确；
如图：
当时，令，，则大于0的零点为，，的交点，由图可知，函数在区间的零点有2个，由于函数为奇函数，则函数在区间的零点有1个，并且，所以函数在区间的零点个数为4个，故C错误；
由图可知，大于1的零点，，，所以，
而，故推出，故D正确.
故选：ABD.
12．已知的重心为，点是边上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则的面积是面积的
C．若，，则
D．若，，则当取得最小值时，
【答案】ACD
【分析】由三角形重心性质可判断A;由变为，
结合向量的线性运算可推出，由此可判断B;求出，
根据数量积的运算求得，判断C;求出的表达式，
确定当时，取得最小值，由此计算，判断D.
【详解】设的中点为，则，由重心性质可知，
则， 故A正确；
由，得，则，
即，所以为边上靠近点的三等分点，
则的面积是面积的，故B错误；
在中，由余弦定理得，
则，故C正确；
由余弦定理得，
所以
，
则当时，取得最小值，
此时，，
故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
13．已知正方形ABCD的边长为2，，则＝_____．
【答案】
【分析】利用向量的加法计算即可.
【详解】.
故答案为：.
14．函数的单调增区间为________．
【答案】 ，
【分析】整体法求解函数单调区间.
【详解】设，的大致图象如图所示，函数的周期是π.
当，时，函数递增．即，解得：，，所以函数的单调递增区间是，.
故答案为：，.
15．在平面直角坐标系中，平面向量，将绕原点逆时针旋转得到向量-，若A，B，C三点共线，则在方向上的投影是___________.
【答案】2
【分析】求得，接着求得，根据三点共线求得的坐标，根据投影的计算公式可得答案.
【详解】由题意可得，
OA绕原点逆时针旋转,得到，
所以 ，
由A，B，C三点共线，可得, ,
故在方向上的投影为 ,
故答案为：2
16．函数，已知且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为______.
【答案】5
【分析】根据已知条件，利用和建立起关于的等量关系，然后根据在上单调，卡出的范围，在前面的等量关系中选取合适的值即可.
【详解】因为函数，，
所以，
所以，,
因为于任意的都有，所以，
所以，
所以，
所以
或，
所以或，
即（舍去），所以，
因为，所以，即，
令，所以，在上单调，
，且，所以在区间中包含在一个对称轴和对称中心之间（）即，
所以，而，
所以的最大值为5.
故答案为：5.
四、解答题
17．（1）已知，求的值．
（2）已知，且为第二象限角，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题得，化简原式为即得解；
（2）化简已知得，再化简即得解.
【详解】解：（1）因为，原式；
（2）由题得.
因为，为第二象限角，所以,
所以.
18．已知函数．
(1)利用“五点法”完成下面表格，并画出函数在区间上的图象．
(2)解不等式．
【答案】(1)答案见解析；
(2)，．
【分析】（1）利用“五点法”，列表，连线，作出函数图象；
（2）根据正弦函数的性质，由可得，解出不等式解集.
【详解】(1)由正弦函数的性质，上的五点如下表：
函数图象如下：
(2)由，即，
故，，
所以，，
故不等式解集为，．
19．已知平面向量与满足，已知方向上的单位向量为，向量在向量方向上的投影向量为.
(1)若与垂直，求的大小；
(2)若与的夹角为，求向量与夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）易知，得到，再根据与垂直求解；
（2）由题意得，即，再利用平面向量的夹角求解.
【详解】(1)解：由题意得，
即，则.
因为与垂直，
所以，化简为，
即，则.
(2)由题意得，
则，
，
，
设向量与的夹角为，
所以.
20．已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角；
(2)当时，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合余弦定理，即可求出结果；
（2）由（1）可知，利用余弦定理，结合基本不等式即可求出，进而求出面积的最大值.
【详解】(1)解：由，即，，
又，故；
(2)解：由（1）知，，
∴．
由余弦定理得，
即，当且仅当时等号成立，
∴，
∴面积的最大值为．
21．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，的最小值为，求的取值集合．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由图象可得出的最大值和最小正周期，可求得、的值，再由结合的取值范围可求得的值，进而可求得函数的解析式；
（2）令，，，讨论二次函数的对称轴即可求得结果.
【详解】(1)由图可知．
设函数的最小正周期为，则，
所以，
又因为，由解得．
又由图可知函数经过点，则，
又因为，
所以，
所以函数．
(2)因为，
所以，所以，
令，，
求，的最小值，即求，的最小值，
①当时，在区间上为增函数，
，
∴；
②当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，
，
∴或(舍去)；
③当时，在区间上为减函数，
，
∴(舍去)．
综上所述：．
22．如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．
（1）用和表示；
（2）求；
（3）设，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)3；(3).
【分析】(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；
(2)选定一组基向量，将由这一组基向量的唯一表示出而得解；
(3)由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解.
【详解】(1)依题意，，
，
；
(2)因交于D，
由(1)知，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，
则，，；
(3)由已知，
因P是线段BC上动点，则令，
，
又不共线，则有，
，
在上递增，
所以，
故的取值范围是.
【点睛】由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．0
0
2
0
0