2021-2022学年江西省遂川中学高一上学期第一次月考数学试题（A卷）（解析版）

2021-2022学年江西省遂川中学高一上学期第一次月考数学试题（A卷）

一、单选题

1．已知：“，”，：“，且的图象不过第一象限”，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据指数函数的图象胶充分必要条件的定义判断．

【详解】，时，的图象不过第一象限，，时， 的图象也不过第一象限．

因此是的充分不必要条件．

故选：A．

2．化简的结果为（    ）

A． B． C．0 D．2

【答案】A

【分析】根据对数的运算性质计算即可.

【详解】解：原式

故选: A.

3．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是（    ）

0347  4373  8636  9647  3661  4698  6371  6233  2616  8045  6011  1410

9577  7424  6762  4281  1457  2042  5332  3732  2707  3607  5124  5179

A．36 B．16 C．11 D．14

【答案】C

【分析】根据随机数表法抽样的规则读取数据即可.

【详解】从题中给的随机数表第一行第3列开始从左往右开始读取，重复的数字只读一次，读到的小于40的编号分别为36，33，26，16，11.所以出来的第5个零件编号是11.

故选：C

4．一组数据中的每一个数据都乘以2，再减去80，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（    ）

A．40.6，1.1 B．48.8，4.4 C．81.2，44.4 D．78.8，75.6

【答案】A

【分析】设出原来的一组数据，使数据中的每一个数据都都乘以2，再都减去80，得到一组新数据求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，根据这些条件列出算式，合并同类项，做出原来数据的平均数，再利用方差的关系式求出方差结果．

【详解】设原来的一组数据是，，

每一个数据乘以2，再都减去80 得到新数据且求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，

又数据都减去同一个数，没有改变数据的离散程度，

， 的方差为：4.4，

从而原来数据，的方差为：．

故选：．

【点睛】本题考查了平均数和方差的计算公式即运用：一般地设有个数据，，，，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化，方差则变为这个倍数的平方倍，属于容易题．

5．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． 或  C． D．或

【答案】D

【分析】不等式有解，只需的最小值小于即可

【详解】因为正实数x，y满足，所以，当且仅当，即，时，等号成立，取得最小值4．由有解，可得，解得或．

故选：D．

6．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，化简整理，可求得的周期，代入特殊值，即可求得a，b的值，即可得的解析式，代入所求，化简整理，即可得答案.

【详解】由题意得，，

所以①，

所以②，

①②联立可得：，即的周期为4，

又，，

所以且，解得，，即

所以.

故选：B

7．设函数，则使得成立的的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】显然函数是偶函数，且在单调递增，

因此要使成立，只需，只需.

解得或.

故选D.

点睛：本题考查了函数的相关性质，涉及函数的值求法，奇偶性、单调性的证明，不等式的求解，属于难题.解决此类型问题，关键体会对定义域内任意自变量存在的性质，特别是特值的求解，即要善于发现，又要敢于试验，奇偶性在把握定义得前提下，通过赋值向定义靠拢，单调性就是要结合单调性证明格式，正用、逆用，变形使用性质，解不等式就是奇偶性及单调性的应用，注意定义域问题.

8．定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】若对任意的，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，，进而可得答案.

【详解】当时，单调递减，，

当时，单调递减，，

故在上单调递减，

由，得的对称轴为，

若对任意的，不等式恒成立，

即对，不等式恒成立，

，

即，

即，

故实数的最大值为.

故选：C.

二、多选题

9．下图是我国2011-2020年载货汽车产量及增长趋势统计图，针对这10年的数据，下列说法正确的是（    ）

A．与2019年相比较，2020年我国载货汽车产量同比增速不到15%

B．这10年中，载货汽车的同比增速有增有减

C．这10年我国载货汽车产量的极差超过150万辆

D．这10年我国载货汽车产量的中位数不超过340万辆

【答案】ABC

【分析】A．根据年载货汽车产量进行计算并判断；

B．同比增速大于说明是“增”，小于说明是“减”，据此进行判断；

C．根据载货汽车产量的最大值与最小值的差进行判断；

D．先将数据从小到大排列，然后求出中位数并进行判断.

【详解】2020年的同比增速为，故A正确；

由折线图可知，这10年中，载货汽车的同比增速有增有减，故B正确；

由图可知，极差为(万辆)(万辆)，故C正确；

将这10年载货汽车产量由小到大排列得：，

故中位数为(万辆)，故D错误.

故选：ABC

10．下列结论中，所有正确的结论是（    ）

A．若，则函数的最大值为

B．若，，则的最小值为

C．若，，，则的最大值为1

D．若，，，则的最小值为

【答案】BC

【分析】利用基本不等式求各选项目标式的最值，注意验证等号成立的条件.

【详解】A：由，则．又，当且仅当时等号成立，错误；

B：，所以可化为，则，当且仅当时等号成立，正确；

C：由，，，即，解得，当且仅当时等号成立，正确；

D：由，即，即，当且仅当，即，时等号成立，错误.

故选：BC．

【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”，“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值.

11．关于已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．的图像关于原点对称 B．在上单调递增

C．在上单调递增 D．的值域为

【答案】BD

【分析】根据奇偶性定义判断A，根据单调性定义判断C，由对称性判断B，再由单调性判断D．

【详解】函数定义域为，

，，

故函数为偶函数，其图像关于y轴对称，所以A错误；

当时，，且在单减，

设，则．所以

故在单减，故C错误；

又由的图像关于y轴对称，故在上单增，所以B正确；

结合的单调性可知，，故的值域为，所以D正确．

故选：BD．

12．已知函数的两个零点为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】函数即为函数函数，，交点的横坐标，作出函数图像，根据图像，易判断A；

根据，化简整理即可判断B；

结合基本不等式将和化为积的形式即可判断C；

利用整体代换结合基本不等式即可判断D.

【详解】解：令，则，

令，，

则函数的两个零点为，即为函数，交点的横坐标，作图如下图所示：

故，故A正确；

根据题意得，即，

因为，所以，

故，即，

所以，即，

所以，故B正确；

因为，

所以，即，

所以，当且仅当时取等号，

又因，所以，故C错误；

，

当且仅当，即时，取等号，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．方程的解都在内，则的取值范围为_______.

【答案】5≤k＜10

【分析】本题根据f（x）＝2x+3x在[1，2）内是增函数，然后代入值即可得到k的取值范围．

【详解】由题意，可知：f（x）＝2x+3x在[1，2）内是增函数，

又f（1）＝21+3×1＝5，f（2）＝22+3×2＝10．∴5≤k＜10．

故答案为5≤k＜10

【点睛】本题主要考查利用函数单调性求具体区间值域，属基础题．

14．设A，B是非空集合，定义且，已知，，则__________.

【答案】

【分析】先化简集合A，再利用集合的定义求解.

【详解】解：因为，，

所以，，

所以或

故答案为：

15．等式对恒成立，其中，则______.

【答案】或4

【解析】对分类讨论，当时，由得到，由一次函数的图象可知不存在；当时，由，利用数形结合的思想得出的整数解.

【详解】当时，由得到在恒成立，

则不存在；

当时，由，

可得，，

又的大致图象可知：

，再由，得到或，

所以或4.

故答案为：或4.

【点睛】关键点点睛：本题考查了不等式恒成立求参数值，解题的关键是利用数形结合求出满足的关系式，考查了数形结合、 分类讨论的思想.

16．已知函数在定义域上是单调函数，若对任意的，都有则的值是________．

【答案】6

【解析】由函数在定义域上是单调函数，且，知是一个常数，

令，则，所以，解得，即可求出的解析式以及的值.

【详解】因为在定义域上是单调函数，，

所以是一个常数，

令，则，且，

令，则，所以，即，解得：，

所以 ，

故答案为：6

【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求值，属于中档题.

四、解答题

17．命题p：实数x满足其中，命题q：实数满足

(1)若，且p、q有且只有一个为真，求实数x的取值范围；

(2)若p的否定是q的否定的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求出命题为真时的取值范围，再根据一真一假得的取值范围.

（2）根据p的否定是q的否定的充分不必要条件列不等式求解.

【详解】（1）由得，

又，所以，

当时，，即p为真时实数x的取值范围是

由得解得，

即q为真时实数x的取值范围是，

因为有且只有一个为真命题，即p真q假或p假q真两种情况，

当p真q假时，，当p假q真，

所以实数x的取值范围是

（2）由知p：，q：，

若p的否定是或，q的否定是或

p的否定是q的否定的充分不必要条件，

，解得，

故实数a的取值范围是

18．二次函数在区间上有最大值4，最小值0.

（1）求函数的解析式；

（2）设，若在时恒成立，求的范围.

【答案】（1）g（x）＝x2﹣2x+1；（2）[33，+∞）

【分析】（1）根据二次函数的性质讨论对称轴，即可求解最值，可得解析式．

（2）求解f（x）的解析式，f（x）﹣kx≤0在x∈[，8]，分离参数即可求解．

【详解】（1）g（x）＝mx2﹣2mx+n+1（m＞0）

其对称轴x＝1，x∈[0，3]上，

∴当x＝1时，f（x）取得最小值为﹣m+n+1＝0，…①．

当x＝3时，f（x）取得最大值为3m+n+1＝4，…②．

由①②解得：m＝1，n＝0

故得函数g（x）的解析式为：g（x）＝x2﹣2x+1

（2）由f（x）

当x∈[，8]时，f（x）﹣kx≤0恒成立，

即x2﹣4x+1﹣kx2≤0恒成立，

∴x2﹣4x+1≤kx2

∴k．

设，则t∈[，8]

可得：1﹣4t+t2＝（t﹣2）2﹣3≤k．

当t＝8时，（1﹣4t+t2）max＝33

故得k的取值范围是[33，+∞）

【点睛】本题主要考查一元二次函数最值的求解，以及不等式恒成立问题，属于中档题．

19．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴.为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销.经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足(其中，a为正常数)．已知生产该产品还需投入成本万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为

元／件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．

(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

【答案】(1)（）;(2)当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当时，促销费用投入万元，厂家的利润最大.

【详解】(1)由题意知，，

将代入化简得：（）.

(2)，

当且仅当时，上式取等号.

当时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；

当时，在上单调递增，

所以时，函数有最大值，即促销费用投入万元时，厂家的利润最大.

综上，当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；

当时，促销费用投入万元，厂家的利润最大.

20．（1）已知，求的值；

（2）甲乙两人同时解关于的方程：，甲写错了常数b，得两根3及；乙写错了常数c，得两根及81，求这个方程真正的根.

【答案】（1）；（2）根为27或；

【分析】（1）利用指对数互化可得，代入即得；

（2）根据题意可求出b，c，代入即求.

【详解】（1）由题可得，即，

∴；

（2）由题意可得，，

，故，

，故，

则原方程为，

∴或，

∴或，

即这个方程真正的根为27或.

21．统计某公司名推销员的月销售额（单位：千元）得到如下频率分布直方图．

（1）同一组数据用该区间的中间值作代表，求这名推销员的月销售额的平均数与方差；

（2）请根据这组数据提出使的推销员能够完成销售指标的建议；

（3）现有两种奖励机制：

方案一：设，销售额落在左侧，每人每月奖励千元；销售额落在内，每人每月奖励千元；销售额落在右侧，每人每月奖励千元．

方案二：每人每月奖励其月销售额的．

用统计的频率进行估算，选择哪一种方案公司需提供更多的奖励金？（参考数据：）

记：（其中为对应的频率）．

【答案】（1）（万元）；方差为；（2）将销售指标定为千元时，才能够使的推销员完成销售指标；（3）选择方案一，公司需提供更多的奖励金．

【分析】（1）根据频率分布直方图得到频率求均值与方差即可；

（2）设月销售额为时，计算对应概率0.3，即可求解；

（3）分别计算不同方案需提供的奖金，比较即可求解.

【详解】（1）由频率分布直方图可得，这名推销员的月销售额的平均数为

（万元）

方差为

（2），

设月销售额为，则，

则，解得，

故根据这组数据可知：将销售指标定为千元时，才能够使的推销员完成销售指标．

（3）方案一：由（1）可得，，，

则当时，，

当时，，

当时，，

共计（千元），

方案二：（千元），

因为，所以选择方案一，公司需提供更多的奖励金．

22．已知函数，，当时，恒有．

（1）求的表达式及定义域；

（2）若方程有解，求实数的取值范围；

（3）若方程的解集为，求实数的取值范围．

【答案】（1），；（2）；（3）．

【分析】（1）由已知中函数，，当时，恒有，我们可以构造一个关于方程组，解方程组求出的值，进而得到的表达式；

（2）转化为，解得，可求出满足条件的实数的取值范围.

（3）根据对数的运算性质，转化为一个关于的分式方程组，进而根据方程

的解集为，则方程组至少一个方程无解或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案.

【详解】（1）∵当时，．

，

即，

即，．

整理得恒成立，∴，

又，即，从而．

∴，

∵，∴，或，

∴的定义域为．

（2）方程有解，即，

∴，∴，∴，

∴，或，

解得或，

∴实数的取值范围．

（3）方程的解集为，

∴，∴，

∴，

方程的解集为，故有两种情况：

①方程无解，即，得，

②方程有解，

两根均在内，，

则解得．

综合①②得实数的取值范围是．

【点睛】关键点点睛：函数与方程、对数函数的单调性解不等式以及一元二次方程根的分布，综合性比较强，根据转化思想，不断转化是解题的关键，考查了分类讨论的思想，属于难题.