2021-2022学年湖北省云学新高考联盟学校高一上学期12月联考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年湖北省云学新高考联盟学校高一上学期12月联考数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省云学新高考联盟学校高一上学期12月联考数学试题 一、单选题1．已知集合，，若，则实数a的取值集合是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接根据集合间的关系即可得结果.【详解】因为集合，，，所以故选：B.2．“”是“”的（    ）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先证明充分性，再证明非必要性，即得解.【详解】若，则，故充分性成立；由得，所以，则或，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件．故选：C3．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得a>1，b>1，利用作差法可得b>a，进而得出答案.【详解】因为c+1≥0，所以c+4≥3，故，因为c+2≥0，所以c+3≥1，故，，，因为（c+2）（c+3）-（c+1）（c+4）=2>0，所以b2>a2，故b>a>1.故选：B4．函数的值域是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，利用换元法转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质求出函数的值域.【详解】解：令，，则，所以原函数即为，，对称轴方程为，可知，即，函数的值域为.故选：C5．若点在幂函数的图象上，则函数的值域是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由幂函数的定义知函数的系数为,可求出的值，再把点代入函数的解析式中求出的值，然后把的值代入函数中，求出函数的定义域，进而可求出值域.【详解】由已知可得 ，解得，，故，对于函数，有 ，解得，故函数的定义域为，因此函数的值域为故选：B.6．已知函数，则函数的大致图象为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】证明函数没有奇偶性，即得解.【详解】函数的定义域为R，，，所以没有奇偶性.由于选项ABD都是偶函数.故选：C7．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则=（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先证明函数是周期为4的函数，再利用函数的周期性和奇偶性得解.【详解】因为，所以，所以，所以是周期为4的函数，所以，因为是奇函数，所以故选：D8．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】分，与三种情况，考虑分母的正负及根号下非负，求出实数a的取值范围.【详解】当时，为常数函数，不具有单调性，舍去；当时，单调递减，此时还需要满足分母大于0且根号下非负，故要满足，解得：，当时，单调递增，此时根号下大于2，还需要满足分母小于0，故要满足，解得：，综上：实数a的取值范围是.故选：B 二、多选题9．下列函数是奇函数的是（    ）A． B．C．， D．【答案】BD【分析】先要满足定义域关于原点对称，再满足，即为奇函数，A选项，函数为偶函数；BD选项，满足两个条件，为奇函数；C选项，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数；【详解】对于A选项，定义域为R，关于原点对称，，为偶函数，不满足题意．对于B选项，定义域为，关于原点对称，当时，，当时，，故为奇函数，满足题意．对于C选项，定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，不满足题意．对于D选项，，定义域为R，关于原点对称，且，故为奇函数，满足题意．故选：BD10．已知，则下列选项中正确的有（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据幂的运算法则求解判断．【详解】，，因此A正确；，因此B不正确；，，解得，因此C正确；，因此D正确．故选：ACD．11．设，且，那么（    ）A．有最小值6 B．有最大值6C．ab有最小值9 D．ab有最大值9【答案】AC【分析】利用基本不等式将已知等式转化为只含所求式子的二次不等式即可.【详解】对于A选项，由有，当且仅当时取等，得，因，解得，故有最小值6，故A正确，B错误；对于C选项，由有，当且仅当取等，因，，解得，得.则ab有最小值9，故C正确，D错误．故选：AC12．已知函数，则（    ）A．B．的值域为C．是R上的减函数D．不等式的解集为【答案】ACD【分析】计算得选项A正确；的值域是，得选项B错误；恒正且在R上递增，得选项C正确；等价于，再利用函数的单调性解不等式得选项D正确．【详解】，所以选项A正确；的值域是，故的值域是，所以选项B错误；恒正且在R上递增，故是R上的减函数，所以选项C正确；由于，故不等式等价于，即，又是R上的减函数，故，解得，所以选项D正确．故选：ACD 三、填空题13．函数的定义域为__________．【答案】且【分析】解不等式组即得解.【详解】解：由已知可得，解得且.故函数的定义域为且故答案为：且14．已知集合，，若，则__________．【答案】【分析】根据集合相等及集合中元素的互异性求解即可.【详解】由集合，，若，则集合B中或，若，则或舍去，此时且；若，则集合A中，不符合集合中元素的互异性，不成立，综上，故答案为：15．如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知，，则矩形花坛AMPN面积最小值为__________．【答案】64【分析】设出，利用三角形相似得到，表达出矩形花坛AMPN面积，利用基本不等式求出最小值.【详解】设，则，，由三角形相似可得：，即，，故，当且仅当时取等号成立，故面积的最小值是故答案为：64.16．已知函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是__________．【答案】【分析】等价于在区间上有解，设，，求出函数的最值即得解.【详解】函数在区间上有零点，即在区间上有解，所以在区间上有解，设，，由于在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，，所以所以，即故答案为： 四、解答题17．已知函数的定义域为集合A，函数，的值域为集合(1)求(2)若集合，且，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由函数定义域求出，由函数值域求出，从而求出交集；（2）由得到，分与两种情况，进行求解，最后求出数a的取值范围．【详解】（1）由得到，故，即，故，由，得到，即，故；（2），当时，即时，，满足条件；当时，即时，，要使，则，解得：，综上所述，实数a的取值范围为.18．已知函数(1)用定义证明在区间上单调递减：(2)若，求x的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）设出，，且，证明；（2）由在上单调递减，等价于，求解即可【详解】（1）证明：因为，设任意的，，且，则，因为，，且，所以，，所以，所以在上单调递减；（2）因为、，且在上单调递减，所以等价于，即，所以，所以，即19．已知函数(1)求不等式的解集；(2)当时，求的最小值及相应x的值．【答案】(1)(2)的最小值为，此时 【分析】（1）由分式不等式的解法得即可；（2）结合基本不等式求解最值即可.【详解】（1）解：，即即解得或不等式的解集为（2）解：当时，令，则，则，又当时，，当且仅当即即时取等号，故的最小值为，此时20．已知函数，，其中且(1)求(2)若对于，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)0(2) 【分析】（1）利用对数的运算可得，进而计算原式即可；（2）由可得，利用对的取值分类讨论对数函数的单调性，得出对应的一元二次不等式，分别解不等式即可.【详解】（1）由，定义域所以在定义域内有：原式（2）由，可得，又恒成立．当时，，要使题中不等式恒成立，则，易得，即，解得当时，，要使题中不等式恒成立，则，易得²，即，解得或所以综上所述，21．若两个函数和对任意都有，则称函数和在上是疏远的．(1)已知命题“函数和在上是疏远的”，试判断该命题的真假．若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；(2)已知常数，若函数与在上是疏远的，求实数c的取值范围．【答案】(1)假命题，举例见解析(2) 【分析】（1）利用“疏远函数”的定义，举例直接判断即可；（2）由函数与在上是疏远的，构造函数恒成立， 进而得到，令，进而利用单调性的定义证明的单调性，得到，进而可求得的范围.【详解】（1）由题意可知，命题“函数和在上是疏远的”，则在上恒成立，即证在上恒成立，令，故，又函数的对称轴为，故函数在上递增，所以，即，并不恒大于3，故为假命题，反例为当时（2）根据题意在上恒成立，即又，，所以，故，令，取，则，因为，，则，，则，所以，所以函数在上递增，故，解得或，所以22．2020年我国全面建成了小康社会，打赢了脱贫攻坚战.某村全面脱贫后，通过调整产业结构，以秀美乡村建设为契机，大力发展乡村旅游。2021年上半年接待游客逾5万人次，使该村成为当地旅游打卡网红景点.该村原有500户从事种植业，据了解，平均每户的年收入为4万元。调整产业结构后，动员部分农户改行从事乡村旅游业，据统计，若动员户从事乡村旅游，则剩下的继续从事种植业的平均每户的年收入有望提高x%，而从事乡村旅游的平均每户的年收入为万元。在动员x户从事乡村旅游后，还要确保剩下的户从事种植业的所有农户年总收入不低于原先500户从事种植的所有农户年总收入.(1)求x的取值范围；(2)要使从事乡村旅游的这x户的年总收入始终不高于户从事种植业的所有农户年总收入，求a的最大值（保留三位小数）.（参考数据：，，）【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据题意，列出不等式，求解即可；（2）根据题意，列出不等式，分离参数，利用函数的单调性求最小值，即可求得参数的最值.【详解】（1）根据题意，剩余户从事种植业的平均每户的年收入为，故要确保剩下的户从事种植业的所有农户年总收入不低于原先500户从事种植的所有农户年总收入，则，整理得：，解得，又，故的取值范围为.（2）户从事乡村旅游的年收入为，从事种植业的年收入为，依题意可得：，整理得：，又，即恒成立，因为在单调递减，在单调递增.又，故可得，又，故取得最小值时，或，当时，，当时，，故，即的最大值为.