2022-2023学年湖北省云学新高考联盟学校高二上学期10月联考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年湖北省云学新高考联盟学校高二上学期10月联考数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省云学新高考联盟学校高二上学期10月联考数学试题 一、单选题1．已知为虚数单位，则复数的虚部是（    ）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根据复数的虚部的定义确定复数的虚部.【详解】的虚部是．故选：A．2．已知，，且，则向量与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量数量积列出方程，求出x＝1，利用向量夹角公式计算出答案.【详解】∵∴x＝1，∴，∴，又∵，∴向量与的夹角为故选：D.3．将一枚均匀的骰子掷两次，记事作A为“第一次出现1点”，B为“第二次出现6点”，则有（    ）A．A与B互斥 B．C．A与B相互独立 D．【答案】C【分析】根据事件“第一次出现1点”和“第二次出现6点”可以同时发生，判断A,B;根据事件A的发生与否对事件B没有影响，判断C;进而根据，计算，可判断D.【详解】由于“第一次出现1点”和“第二次出现6点”可以同时发生，故A与B不互斥，所以，故A，B错误；由于事件A的发生与否对事件B没有影响，故A与B相互独立，C正确；由于 ,且A与B相互独立，故,D错误，故选:C.4．直线过点，且与轴正半轴围成的三角形的面积等于的直线方程是（   ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先设直线方程为：，根据题意求出，即可得出结果.【详解】设所求直线方程为：，由题意得，且解得故，即.故选：A.【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记直线的斜截式方程即可，属于常考题型.5．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为，酒杯的容积为，则其内壁表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据酒杯是由圆柱和半球的组合体，设出圆柱体的高，根据已知酒杯的容积计算出圆柱的高，再利用圆柱表面积和球的表面积公式即可求解.【详解】由题意可知，酒杯是由圆柱和半球的组合体，所以酒杯内壁表面积是圆柱的侧面积与半球的表面积之和，因为球的半径为，所以半球的表面积为，半球的体积为 ，设圆柱体的高为，则体积为 ，又酒杯的容积为 所以 ，解得： ，因为球的半径为，酒杯圆柱部分高为，所以圆柱的侧面积为，所以酒杯内壁表面积为.故选：D.6．“五一”劳动节放假期间，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合对立事件以及相互独立事件概率计算公式，计算出正确答案.【详解】∵甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，．∴他们不去北京旅游的概率分别为，，．∵至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人去北京旅游，∴至少有1人去北京旅游的概率为：．故选：B7．已知圆，直线过点交圆于两点，则弦长的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先得到圆心坐标与半径，即可判断点在圆内，即可求出弦长最大、最小值，即可得解.【详解】解：圆的圆心，半径，又，所以点在圆内，当直线过圆心时，弦长取最大值，当直线时，圆心到直线的距离最大，最大值为，此时弦长取最小值；故选：D.8．已知平面向量满足，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立如图所示直角坐标系，由向量的坐标运算得点C的轨迹，进而根据三角形相似将转为求线段和最短，即可将根据图形求解【详解】建立如图所示直角坐标系，由题意可设，，则，，由得，故C在以为圆心，半径为1的圆上，取，则在AD上，则，又，∴，∴，即，∴.故选：D 二、多选题9．某市今年夏天迎来罕见的高温炎热天气，当地气象部门统计进入八月份以来（8月1日至8月10日）连续天中每天的最高温和最低温，得到如下的折线图：根据该图，关于这天的气温，下列说法中正确的有（    ）A．最低温的众数为 B．最高温的平均值为C．第天的温差最大 D．最高温的方差大于最低温的方差【答案】AC【分析】根据折线图分别判断各选项.【详解】A选项，由折线图可知最低温的众数为，A选项正确；B选项，由折线图得最高温的平均值为，B选项错误；C选项，由折线图得这天的温差分别为，，，，，，，，，，其中温差最大的为第天，C选项正确；D选项，由折线图可知最高温的方差，最低温的平均值为，方差，D选项错误；故选：AC.10．若圆：与圆：的交点为，，则（    ）A．公共弦所在直线方程为B．线段中垂线方程为C．公共弦的长为D．在过，两点的所有圆中，面积最小的圆是圆【答案】AD【解析】根据题意，依次分析选项：对于，联立两个圆的方程，分析可得公共弦所在直线方程，可判断，对于，有两个圆的方程求出两圆的圆心坐标，分析可得直线的方程，即可得线段中垂线方程，可判断，对于，分析圆的圆心和半径，分析可得圆心在公共弦上，即可得公共弦的长为圆的直径，可判断，对于，由于圆心在公共弦上，在过，两点的所有圆中，即可判断．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于，圆与圆，联立两个圆的方程可得，即公共弦所在直线方程为，正确，对于，圆，其圆心为，，圆，其圆心为，直线的方程为，即线段中垂线方程，错误，对于，圆，即，其圆心为，，半径，圆心，在公共弦上，则公共弦的长为，错误，对于，圆心，在公共弦上，在过，两点的所有圆中，面积最小的圆是圆，正确，故选：．11．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（    ）A． B．C．的取值范围为 D．的取值范围为【答案】ABD【分析】利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简，可判断A;结合锐角，可判断B;利用正弦定理边化角结合三角函数性质判断C;将化简为，结合A的范围，利用对勾函数单调性，可判断D.【详解】由题意得在锐角中，，∴由正弦定理可得 ，又 ，故 ，即，，为锐角， ，即 ，故选项A正确；在锐角中，，，故B正确；由，故C错误；, 又 ， ， 令，则，由对勾函数性质可知，在时单调递增， ，，故，故D正确．故选： ．12．如图，在五面体中，底面为矩形，和均为等边三角形，平面，，，且二面角和的大小均为．设五面体的各个顶点均位于球的表面上，则（    ）A．有且仅有一个，使得五面体为三棱柱B．有且仅有两个，使得平面平面C．当时，五面体的体积取得最大值D．当时，球的半径取得最小值【答案】ABC【分析】根据棱柱的定义，主要利用线面、面面平行判定和性质定理判定A；利用线面、面面垂直的判定定理和性质定理判定B；利用体积分割，求得体积关于角度的函数关系，利用导数判定函数单调性，进而求得五面体的体积最大值的条件，从而判定C；利用球的性质找到外接球的球心，进而得到半径的变化规律，从而判定何时外接球的半径最小，从而判定D.【详解】对于选项A:∵平面,经过的平面与平面交于直线,∴,取的中点分别为,连接,则连接,∵和均为等边三角形，∴,又∵底面为矩形，∴垂直,故得二面角的平面角为,二面角的平面角为,因为，分别在平面和平面中，平面与平面和分别交于直线，所以当且仅当时，平面平面,故当且仅当，即时，平面平面,即五面体为三棱柱，故A正确；对于选项B:当平面和平面不平行时，它们的交线为,由于,平面，平面，∴平面,又∵平面,平面平面=直线，∴，∴同理，∴当且仅当时，平面平面，由于四边形为等腰梯形，∴当且仅当或时，,∴当且仅当或时，平面平面，故B正确；对于选项C:设的补角为，过A作直线AR与直线PQ垂直相交，垂足为R，连接DR,∵AD⊥EF,EF//PQ,∴AD⊥PQ,又∵AD∩AR=A,AD,AR⊂平面ADF,∴平面ADR⊥直线PQ，同理做出S,得到平面SBC⊥直线PQ，为直三棱柱的底面，且RS=EF为直三棱柱的高，、为三棱锥和的底面上的高因为， 所以五面体的体积为（如上图）或（如下图）两种情况下都有，令则，所以，对求导得 ，令得（舍去）或，  ,,故时体积取得极大值也是最大值.所以，所以.五面体的体积取得最大值.故C正确；对于D项：取等边的中心 ，的中点，过作平面QBC的垂线与过的平面ABCD的垂线的交点即为五面体PQABCD的外接球的球心，如图所示，连接,,则,∵四边形为边长一定的矩形，∴为定值，∴当且仅当最小，即重合时外接球的半径最小，此时为锐角，故D不对.故选：ABC. 三、填空题13．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是__________．【答案】【分析】求出两线交点，求出垂直于直线的直线的斜率，由点斜式即可求【详解】由解得，直线的斜率为，故过且垂直于直线的直线方程为：，即.故答案为：14．甲、乙两支乒乓球队体检结果如下：甲队的体重的平均数为，方差为100，乙队体重的平均数为，方差为200；又已知甲、乙两队的队员人数之比为，那么A、B两队全部队员的方差等于___________．【答案】166【分析】直接根据平均数和方差公式进行计算，即可得到答案.【详解】甲队队员在所有队员中所占权重为；乙队队员在所有队员中所占权重为.已知甲队的体重的平均数为，方差为；已知乙队的体重的平均数为，方差为.所以甲、乙两队全部队员的平均体重为；甲、乙两队全部队员的体重方差为.故答案为：15．如图，三棱锥的底面的斜二测直观图为，已知底面，，，，则三棱锥外接球的体积____________．【答案】【分析】根据底面的斜二测直观图为，确定三角形形状以及边长，继而将三棱锥补成相邻三侧棱分别为的长方体，则三棱锥外接球即为该长方体的外接球，求得球的半径，可得答案.【详解】由题意可知在斜二测直观图中，，，则 ,则在中，,三棱锥中， ，则可将三棱锥补成相邻三侧棱分别为的长方体，则三棱锥的外接球即为该长方体的外接球，长方体的体对角线长即为外接球的直径，则外接球半径为 ，故三棱锥外接球的体积，故答案为：16．为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为 三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距，且与C村相距的地方．已知B村在A村的正东方向，相距，C村在B村的正北方向，相距，则垃圾处理站M与B村相距__________．【答案】或.【分析】建立平面直角坐标系，求出圆A的方程和圆C的方程，进而求得两圆公共弦的方程，联立圆A的方程求得点M坐标，进而求得答案.【详解】以A为原点，以为x轴建立平面直角坐标系，则，以A为圆心，以5为半径作圆A，以C为圆心，以 为半径作圆C，则圆A的方程为： ，圆C的方程为∶ ，即 ，∴两国的公共弦方程为∶ 设 ，则 ，解得 或，即 或 ．∴ 或，故答案为∶或 . 四、解答题17．如图，在空间四边形中，已知E是线段的中点，G在上，且．(1)试用表示向量；(2)若，求的值．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由向量的线性运算法则及其几何表示结合图形即可表示；（2），由向量的数量积运算求值【详解】(1)∵，∴，∴，又E是线段的中点，则，∴；(2)由（1）可得知18．设直线的方程为.（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的值；（2）若不经过第三象限，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）先分析斜率为的情况，然后分别考虑轴对应的截距，根据截距相等求解出的值即可；（2）先分析过定点，然后根据条件结合图示判断出直线斜率满足的不等式，由此求解出的取值范围.【详解】（1）由题意知，当时不符合题意；当时，令得，令得，若在两坐标轴上的截距相等，则，解得或.（2）直线的方程可化为，所以，所以，所以直线过定点，如下图所示：若不经过第三象限，则，解得，故实数的取值范围为.【点睛】思路点睛：根据直线的截距相等求解参数的常规思路：（1）先考虑直线过坐标原点的情况；（2）再分析直线不过坐标原点但截距相同的情况；（3）两者综合求解出最终结果.19．已知锐角内角，，的对边分别为，，．若．(1)求；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，再结合三角形内角和、诱导公式和二倍角公式得到，即可得到；（2）利用正弦定理、三角形内角和和和差公式将转化成，再结合的范围求的范围即可.【详解】(1)，又为锐角，所以，，因为为锐角，所以，.(2)因为，所以，，因为三角形为锐角三角形，所以，解得，令，所以，，所以.20．年月日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长．某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取人，经统计，这人去年可支配收入（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第百分位数为．(1)求的值，并估计这位居民可支配收入的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的人中至少有两人去年可支配收入在内的概率．【答案】(1)；平均值为(2) 【分析】（1）根据频率分布直方图的矩形面积和为1，结合第百分位数的性质求解，进而根据频率分布直方图的平均值算法求解即可；（2）分抽取的人中有两人和三人去年可支配收入在内两种情况求解即可【详解】(1)由频率分布直方图，可得，则①因为居民收入数据的第60百分位数为8.1，所以，则②将①与②联立，解得．所以平均值为．(2)根据题意，设事件A，B，C分别为甲、乙、丙在[7.5，8.5）内，则．①“抽取3人中有2人在[7.5，8.5）内”，且与与互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得．②“抽取3人中有3人在[7.5，8.5）内”，由事件独立性定义，得．所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5，8.5）内的概率：．21．已知四棱锥中，底面是矩形，且，是正三角形，平面，、、、分别是、、、的中点．(1)求平面与平面所成的锐二面角的大小；(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在，. 【分析】（1）证明出平面，，设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得结果；（2）设，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，结合可求得的值，即可得出结论.【详解】(1)解：因为是正三角形，为的中点，所以，，因为平面，平面，，，平面，因为且，、分别为、的中点，所以，且，所以，四边形为平行四边形，所以，，，则，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则，、、、、、、，，，设平面的法向量为，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，所以，，因此，平面与平面所成的锐二面角为.(2)解：假设线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的大小为，设，其中，，由题意可得，整理可得，因为，解得.因此，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的大小为，且.22．在平面直角坐标系中，圆M是以两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线对称．(1)求圆N的标准方程；(2)设，过点C作直线，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上．①过点C作与直线垂直的直线，交圆N于两点，记四边形的面积为S，求S的最大值；②设直线,相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1)(2)①7；②点G在定直线上. 【分析】（1）以为直径的圆，圆心为的中点，半径为的一半，则可直接得圆M的方程，然后由对称的性质可得圆N的圆心和半径，写出圆的标准方程即可.（2）利用点到直线的距离公式，可用的斜率表示出四边形的面积，由均值定理可得其最大值；点在定直线上的问题可以用参数表示出点的坐标，然后研究纵、横坐标之间的联系，确定其所在直线的方程.【详解】(1)由题意得：为线段的中点，故圆M的圆心坐标为，半径圆M的方程为：，因为圆N关于圆M关于直线对称，所以圆N的圆心为所以圆N的标准方程为：.(2)解：设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，所以，（ⅰ）若，则直线斜率不存在，则，,则，若，则直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，所以，则，当且仅当，即时，等号成立.综上所述，因为，所以S的最大值为7；（ⅱ）设，联立方程组得：消y得，则，直线的方程为，直线的方程为，联立解得则，所以，所以点G在定直线上.