2022-2023学年河北省秦皇岛市海港区八年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河北省秦皇岛市海港区八年级（上）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河北省秦皇岛市海港区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（每题3分，共36分）
1．（3分）若分式1x−3有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x＝3
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列实数，是无理数的是（　　）
A．0.6. B．38 C．2 D．−13
4．（3分）若ab=M(a≠b)，则M可以是（　　）
A．a−2b−2 B．a+2b+2 C．2a2b D．a2b2
5．（3分）计算11−x+x2x−1时，第一步变形正确的是（　　）
A．1+x2 B．1﹣x2
C．11−x+x21−x D．11−x−x21−x
6．（3分）下列命题的逆命题一定成立的有（　　）
A．对顶角相等
B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＝b，则|a|＝|b|
D．同位角相等，两直线平行
7．（3分）如图，∠BAD＝∠CAD，添加一个条件不能判断△ABD≌△ACD的是（　　）

A．BD＝CD B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠ADB＝∠ADC
8．（3分）若(x−3)2=x−3，则x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
9．（3分）利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，画出的三角形不唯一的是（　　）
A．已知三条边 B．已知三个角
C．已知两角和夹边 D．已知两边和夹角
10．（3分）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③AB：BC：AC＝3：4：5；④∠A＝∠B＝∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（　　）

A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm
12．（3分）如图，AB＝AC，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，CF与BE交于点D．有下列结论：
①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上；④点C在AB的中垂线上．
以上结论正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（13-14每空3分，15-20每空2分，共32分）
13．（6分）4的平方根是　 　，﹣27的立方根是　 　．
14．（12分）计算：
（1）(3−1)(3+1)=　 　；
（2）(5−1)2=　 　．
（3）48÷3=　 　；
（4）12×50=　 　．
15．（2分）将5=2.23606797⋅⋅⋅精确到千分位取近似数，结果为 　 　．
16．（2分）已知实数m、n满足m−3+|n−12|=0，则m+n=　 　．
17．（2分）若5和12是等腰三角形的两条边长，则这个等腰三角形的周长为 　 　．
18．（2分）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△BDC的面积为24，BC＝12，则DE＝　 　．

19．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C＝60°，若P为BC边上一个动点，则DP长的最小值为　 　，若点P为BC边中点，则DP长为　 　．

20．（2分）如图的5个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 　 　（填序号）．


三、解答题：（共5个小题，共32分）
21．（6分）先化简，再求值：(xx−1−1)÷x2+2x+1x2−1，其中x=2−1．
22．（6分）在△ABC中，AB＝BC＝AC，点D、E分别是BC、AC上的点，且CD＝AE．
（1）图中有 　 　对全等三角形．
（2）求∠APB的度数．

23．（6分）复课返校后，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，已知跳绳的单价比毽子的单价多4元，用1000元购买的跳绳个数和用800元购买的毽子数量相同，求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
24．（6分）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，将长方形ABCD沿直线AF折叠（点F是折痕和边CD的交点），使点D落在BC上的E处．
（1）请你利用尺规作图确定点E和点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）将图形补充完整，EF＝　 　．

25．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）画出△ABC关于EF成轴对称的△A1B1C1；
（2）在直线MN上找一点P，使△PAB的周长最小，请用画图的方法确定点P的位置，并直接写出△PAB周长的最小值为 　 　．
（3）若在直线EF上存在一点Q，使△QAB是等腰三角形，则这样的点Q有 　 　个．
（4）若点D也在格点上（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，在图上画出符合条件的点D，并分别写出每个△ABD与△ABC的位置关系：　 　．


2022-2023学年河北省秦皇岛市海港区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题3分，共36分）
1．（3分）若分式1x−3有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x＝3
【分析】分式有意义的条件是分母不为0．
【解答】解：∵分式1x−3有意义，
∴x﹣3≠0，
∴x≠3；
故选：C．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）下列实数，是无理数的是（　　）
A．0.6. B．38 C．2 D．−13
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、0.6.是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
B、38=2是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
C、2是无理数，故此选项符合题意；
D、−13是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键．
4．（3分）若ab=M(a≠b)，则M可以是（　　）
A．a−2b−2 B．a+2b+2 C．2a2b D．a2b2
【分析】根据分式的基本性质进行判断即可．
【解答】解：根据分式的基本性质：分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，A、B选项是分子分母同时减或加2，不符合题意；
D选项是分子分母同时平方，不符合题意；
C选项是分子分母同时乘2，符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，解题关键是熟记分式的基本性质，准确进行判断．
5．（3分）计算11−x+x2x−1时，第一步变形正确的是（　　）
A．1+x2 B．1﹣x2
C．11−x+x21−x D．11−x−x21−x
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=11−x−x21−x
=x2−1x−1
＝x+1，
故选：D．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
6．（3分）下列命题的逆命题一定成立的有（　　）
A．对顶角相等
B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＝b，则|a|＝|b|
D．同位角相等，两直线平行
【分析】根据对顶角的性质，不等式的性质，绝对值的意义和平行线的判定方法求解即可．
【解答】解：A、对顶角相等的逆命题为相等的角是对顶角，
∵相等的角不一定是对顶角，
∴逆命题不一定成立，不符合题意；
B、若a＞b，则a2＞b2的逆命题为若a2＞b2，则a＞b，a＝b若a2＞b2，则|a|＞|b|，a不一定大于b，
∴逆命题不一定成立，不符合题意；
C、若a＝b，则|a|＝|b|的逆命题为若|a|＝|b|，则a＝b，
∵若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b，
∴逆命题不一定成立，不符合题意；
D、同位角相等，两直线平行的逆命题为两直线平行，同位角相等，
逆命题成立，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了对顶角的性质，不等式的性质，绝对值的意义和平行线的判定方法，逆命题的概念等知识解题的关键是熟练掌握以上知识点．
7．（3分）如图，∠BAD＝∠CAD，添加一个条件不能判断△ABD≌△ACD的是（　　）

A．BD＝CD B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠ADB＝∠ADC
【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判定即可．
【解答】解：在△ABD与△ACD中，
∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴A、若添加BD＝CD，则两三角形有两边及一边的对角对应相等，不能判定两三角形全等，故此选项符合题意；
B、若添加AB＝AC，则两三角形有两边及其夹角对应相等，可利用SAS判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
C、若添加∠B＝∠C，则两三角形有两角及一角的对边对应相等，可利用AAS判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
D、若添加∠ADB＝∠ADC，则两三角形有两角及其夹边对应相等，可利用ASA判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
8．（3分）若(x−3)2=x−3，则x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
【分析】根据题意可知x﹣3≥0，直接解答即可．
【解答】解：∵(x−3)2=x−3，
即x﹣3≥0，
解得x≥3，
故选：B．
【点评】考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．
9．（3分）利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，画出的三角形不唯一的是（　　）
A．已知三条边 B．已知三个角
C．已知两角和夹边 D．已知两边和夹角
【分析】看是否符合所学的全等的公理或定理即可．
【解答】解：A、符合全等三角形的判定SSS，能作出唯一三角形；
B、不正确，已知三个角可画无数个三角形；
C、正确，符合ASA判定，画出的三角形是唯一的；
D、正确，符合SAS判定，画出的三角形是唯一的．
故选：B．
【点评】此题主要考查由已知条件作三角形，可以依据全等三角形的判定来做．
10．（3分）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③AB：BC：AC＝3：4：5；④∠A＝∠B＝∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180，
解得：x＝30°，
∴∠C＝30°×3＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵AB：BC：AC＝3：4：5，
设AB＝3k，则BC＝4k，AC＝5k，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
④∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝3∠A＝180，
解得：∠A＝60°，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴△ABC不是直角三角形；
∴能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③共3个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理以及三角形内角和定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
11．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（　　）

A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝CD，然后求出△ABD的周长＝AB+BC，再求出AC的长，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC，
∵AE＝4cm，
∴AC＝2AE＝2×4＝8cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝14+8＝22cm．
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，求出△ABD的周长＝AB+BC是解题的关键．
12．（3分）如图，AB＝AC，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，CF与BE交于点D．有下列结论：
①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上；④点C在AB的中垂线上．
以上结论正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由∠A＝∠A，AB＝AC，∠B＝∠C，可推出①选项正确；由AE＝AF，AD＝AD可知②正确；由∠B＝∠C，BF＝CE，可证得△BDF≌△CDE，得到③正确；而点F不一定是AB的中点，故④错误．
【解答】证明：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，
∴∠AFC＝∠AEB＝90°，故在Rt△AEB中，∠B＝90°﹣∠A，在Rt△AFC中∠C＝90°﹣∠A，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△ACF中，
∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
故①选项正确，
由AE＝AF，AC＝AB，得BF＝CE，
在△BDF和△CDE中，
BFD=CED=90°∠B=∠CBF=CE，
∴△BDF≌△CDE，选项②正确，
∵△ABE≌△ACF，
∴AE＝AF，AC＝AB，
连接AD，
在Rt△AFD和Rt△AED中，
AE=AFAD=AD，
∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL），
∴∠DAF＝∠DAE，即点D在∠BAC的平分线上，选项③正确，
而点F不一定是AB的中点，故④错误．
故选：C．


【点评】本题主要考查了垂直定义，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质与判定，角平分线的判定，熟记三角形判定定理是解决问题的关键．
二、填空题：（13-14每空3分，15-20每空2分，共32分）
13．（6分）4的平方根是　±2　，﹣27的立方根是　﹣3　．
【分析】根据平方根的性质和立方根的性质进行求解．
【解答】解：∵22＝4，（﹣2）2＝4，
∴4的平方根是±2；
∵（﹣3）3＝﹣27，
∴﹣27的立方根是﹣3．
故答案为±2，﹣3．
【点评】此题考查了平方根的性质和立方根的性质．
正数有两个平方根，且它们互为相反数；负数有一个负的立方根．
14．（12分）计算：
（1）(3−1)(3+1)=　2　；
（2）(5−1)2=　6−25　．
（3）48÷3=　4　；
（4）12×50=　5　．
【分析】（1）根据平方差公式和二次根式的运算法则求解即可；
（2）根据完全平方公式和二次根式的运算法则求解即可；
（3）根据二次根式的性质和除法运算法则求解即可；
（4）根据二次根式的性质和乘法运算法则求解即可．
【解答】解：（1）(3−1)(3+1)=3−1=2，
故答案为：2；
（2）(5−1)2=5−25+1=6−25，
故答案为：6−25；
（3）48÷3=16=4，
故答案为：4；
（4）12×50=25=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法和除法运算法则，平方差公式和完全平方公式等知识，掌握以上运算法则是关键．
15．（2分）将5=2.23606797⋅⋅⋅精确到千分位取近似数，结果为 　2.236　．
【分析】根据近似数的定义即可求出答案．
【解答】解：5=2.23606797⋅⋅⋅精确到千分位是2.236，
故答案为：2.236．
【点评】本题考查近似数，解题的关键是正确理解近似数的定义，本题属于基础题型．
16．（2分）已知实数m、n满足m−3+|n−12|=0，则m+n=　33　．
【分析】根据绝对值和平方的非负性求出x和y的值，然后代入化简求值即可．
【解答】解：∵m−3+|n−12|=0，
∴m−3=0n−12=0，
解得m=3n=12，
∴m+n=3+12=3+23=33．
故答案为：33．
【点评】本题考查了绝对值和二次根式的非负性，掌握二次根式的化简和加减运算是关键．
17．（2分）若5和12是等腰三角形的两条边长，则这个等腰三角形的周长为 　29　．
【分析】分5是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【解答】解：①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、12，
∵5+5＝10＜12，
∴此时不能组成三角形；
②5是底边长时，三角形的三边分别为5、12、12，
此时能组成三角形，
所以，周长＝5+12+12＝29，
综上所述，这个等腰三角形的周长是29．
故答案为：29．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，解题关键在于要分情况讨论．
18．（2分）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△BDC的面积为24，BC＝12，则DE＝　4　．

【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线的性质，三角形的面积计算公式解题即可．
【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，
∴DE＝DF，
∵S△BDC=12×BC×DF=24，BC＝12，
∴12×12×DF=24，
∴DF＝4，
∴DE＝DF＝4．
故答案为：4．

【点评】本题考查角平分线的知识，解题的关键是掌握角平分线的性质．
19．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C＝60°，若P为BC边上一个动点，则DP长的最小值为　3　，若点P为BC边中点，则DP长为　23　．

【分析】根据等角的余角相等求出∠ABD＝∠CBD，再根据垂线段最短可知DP⊥BC时DP最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP＝AD；再根据含30度角的直角三角形的性质依次求得BD，BC，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求得DP长．
【解答】解：∵BD⊥CD，∠A＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，∠CBD+∠C＝90°，
∴∠ABD＝∠CBD，
由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，
此时DP＝AD＝3，
∵∠ADB＝∠C＝60°，
∴BD＝6，
∴BC＝43，
∵点P为BC边中点，
∴DP=23．
故答案为：3，23．

【点评】本题考查了30度角的直角三角形的性，直角三角形斜边上的中线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质并判断出DP最小时的位置是解题的关键．
20．（2分）如图的5个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 　②⑤　（填序号）．


【分析】根据等腰三角形的性质，即可．
【解答】解：①过点B作∠B的角平分线，

∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∠BDC＝72°，
∴△ABD和△BCD是等腰三角形，
∴①正确；
②不能分成两个小等腰三角形；
③过点A作∠A的角平分线，

∴∠BAD＝∠CAD＝45°，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴△ABD和△ACD是等腰三角形；
∴③正确；
④把点A分成36°和72°的角，
∴∠BAD＝36°，∠CAD＝72°，
∵∠A＝108°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝36°，
∴∠BAD＝∠B，∠ADC＝∠CAD
∴△ABD和△ACD是等腰三角形；
∴④正确；

⑤不能分成两个小等腰三角形．
∴②⑤不能分成两个小等腰三角形
故答案为：②⑤．
【点评】本题考查等腰三角形的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
三、解答题：（共5个小题，共32分）
21．（6分）先化简，再求值：(xx−1−1)÷x2+2x+1x2−1，其中x=2−1．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（xx−1−x−1x−1）÷(x+1)2(x+1)(x−1)
=1x−1×x−1x+1
=1x+1，
当x=2−1时，原式=12−1+1=22．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
22．（6分）在△ABC中，AB＝BC＝AC，点D、E分别是BC、AC上的点，且CD＝AE．
（1）图中有 　2　对全等三角形．
（2）求∠APB的度数．

【分析】（1）利用SAS可证明△ABE≌△CAD，△ABD≌△BCE，即可得出结论；
（2）由AB＝BC＝AC，得△ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°，证△ABD≌△BCE即可得∠BAD＝∠CBE，则∠ABE+∠BAD＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝60°，即可由三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝BC＝AC，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠C，
在△ABE和△CAD中，
AB=AC∠BAE=∠CAE=CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∵AC＝CB，CD＝AE，
∴AC﹣AE＝CB﹣CD，即CE＝BD，
在△ABD和△BCE中，
AB=BC∠ABD=∠CBD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴图中有2对全等三角形．
故答案为：2；

（2）∵AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵AC＝CB，CD＝AE，
∴AC﹣AE＝CB﹣CD，即CE＝BD，
在△ABD和△BCE中，
AB=BC∠ABD=∠CBD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠ABE+∠BAD＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝60°，
∵∠APB+∠ABE+BAD＝∠APB+∠ABP+BAP＝180°，
∴∠APB＝180°﹣（∠ABE+BAD）＝180°﹣60°＝120°．
【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质是解题的关键．
23．（6分）复课返校后，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，已知跳绳的单价比毽子的单价多4元，用1000元购买的跳绳个数和用800元购买的毽子数量相同，求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
【分析】设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为（x+4）元根据题意列出分式方程求解即可．
【解答】解：设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为（x+4）元，
依题意得：1000x+4=800x，
解得：x＝16，
经检验，x＝16是原方程的解，且符合题意，
∴x+4＝20，
答：跳绳的单价为20元，毽子的单价为16元．
【点评】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
24．（6分）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，将长方形ABCD沿直线AF折叠（点F是折痕和边CD的交点），使点D落在BC上的E处．
（1）请你利用尺规作图确定点E和点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）将图形补充完整，EF＝　5　．

【分析】（1）以A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点E，然后作出∠DAE的平分线于CD交于点F，即可求解；
（2）首先根据折叠的性质得到BC＝AD＝AE＝10，然后根据勾股定理求出BE＝6，进而得到CE＝4，然后设DF＝EF＝x，则CF＝DC﹣DF＝8﹣x，利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：（1）如图，点E、点F即为所求．

（2）如图，

∵长方形ABCD沿直线AF折叠（点F是折痕和边CD的交点），使点D落在BC上的E处，
∴BC＝AD＝AE＝10，DF＝EF，
在长方形ABCD中，AB＝8，∠B＝90°，
∴BE=AE2−AB2=6，
∴CE＝BC﹣BE＝4，
∴设DF＝EF＝x，则CF＝DC﹣DF＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴CE2+CF2＝EF2，即42+（8﹣x）2＝x2，
∴解得x＝5，
∴EF＝5．
【点评】此题考查了尺规作图，折叠的性质，勾股定理等知识，掌握尺规作图的基本操作是解题的关键．
25．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）画出△ABC关于EF成轴对称的△A1B1C1；
（2）在直线MN上找一点P，使△PAB的周长最小，请用画图的方法确定点P的位置，并直接写出△PAB周长的最小值为 　22+25　．
（3）若在直线EF上存在一点Q，使△QAB是等腰三角形，则这样的点Q有 　2　个．
（4）若点D也在格点上（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，在图上画出符合条件的点D，并分别写出每个△ABD与△ABC的位置关系：　△ABD1与△ABC关于AB所在直线成轴对称，△ABD2与△ABC关于AB的中垂线成轴对称，△ABD3与△ABC关于AB的中点成中心对称　．

【分析】（1）根据轴对称的性质求解即可；
（2）作点A关于MN的对称点A'，连接A'B与MN的交点即为所求点P，然后根据两点之间线段最短得到△PAB周长的最小值为AB+A'B，最后根据勾股定理求解即可；
（3）根据等腰三角形的概念求解即可；
（4）根据全等三角形的判定方法求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，作点A关于MN的对称点A'，连接A'B与MN的交点即为所求点P，

∵△PAB周长＝AB+PA+PB＝AB+PA'+PB≥AB+A'B，
∴△PAB周长的最小值为AB+A′B=22+22+22+42=22+25；
（3）如图所示，

∴使△QAB是等腰三角形的点Q有2个；
（4）如图所示，

△ABD1与△ABC关于AB所在直线成轴对称，△ABD2与△ABC关于AB的中垂线成轴对称，△ABD3与△ABC关于AB的中点成中心对称．
【点评】此题考查坐标系中关于轴对称的坐标点的变化，最小值，作对称图形，等腰三角形的概念，全等三角形的判定等知识，掌握以上知识点是解题的关键．