2023届辽宁省大连市第二十四中学高三高考适应性测试（一）数学试题（word版）

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大连市第二十四中学2022-2023学年度高考适应性测试（一）

高 三 数 学

考生注意：

1.本试卷共150分,考试时间120分钟。分四大题，22小题，共6页

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容

一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数z满足，则（    ）．

A． B． C．2 D．

3．设双曲线C：的左､右焦点分别为，，以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段的中点，则双曲线C的离心率是（    ）

A． B． C． D．

4．2021年起，我市将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（    ）

A．甲的化学成绩领先年级平均分最多.

B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分.

C．甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理.

D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果.

5．已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

6．已知三棱锥为正三棱锥，且，，点、是线段、的中点，平面与平面没有公共点，且平面，若是平面与平面的交线，则直线与直线所成角的正切值为（    ）

A． B． C． D．

7．函数图像上一点向右平移个单位，得到的点也在图像上，线段与函数的图像有5个交点，且满足，，若，与有两个交点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

8．已知数列的前n项和为，，且，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）

9．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：

根据以上信息，判断下列结论中正确的是（    ）

A．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同

B．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍

C．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍

D．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同

10．若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则下列结论中正确的是（    ）

A．a0＝1 B．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2

C．a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35 D．a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝－1

11．《瀑布》（图1）是埃舍尔为人所知的作品.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”（图2）.在棱长为2的正方体中建立如图3所示的空间直角坐标系（原点O为该正方体的中心，x，y，z轴均垂直该正方体的面），将该正方体分别绕着x轴，y轴，z轴旋转，得到的三个正方体，，2，3（图4，5，6）结合在一起便可得到一个高度对称的“三立方体合体”（图7）.在图7所示的“三立方体合体”中，下列结论正确的是（    ）

A．设点的坐标为，，2，3，则

B．设，则

C．点到平面的距离为

D．若G为线段上的动点，则直线与直线所成角最小为

12．已知函数，下列结论中正确的是（    ）

A．函数在时，取得极小值-1

B．对于，恒成立

C．若，则

D．若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1

三、填空题（每题5分，共20分）

13．若函数则________．

14．如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形的斜边，直角边、，点在以为直径的半圆上．已知以直角边、为直径的两个半圆的面积之比为3，，则______．

15．某汽车销售公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：百辆）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到年销售量与年宣传费具有近似关系：以及一些统计量的值如下：372.8，4504，54.4，76.2 ．

已经求得近似关系中的系数，请你根据相关回归分析方法预测当年宣传费（千元）时，年销售量__________（百辆）．

16．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．已知点为的费马点，且，若，则实数的最小值为_________．

四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）

17．设数列的前项和为，，，数列中，，，，…，，…是首项、公差均为2的等差数列.

(1)求数列、的通项公式；

(2)令，求数列的前项和.

18．已知的内角所对边分别为，且

(1)证明：；

(2)求的最大值.

19．中国职业篮球联赛（CBA联赛）分为常规赛和季后赛.由于新冠疫情关系，今年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前8的球队进入季后赛.季后赛的总决赛采用五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）.下表是队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表.

(1)根据表中信息，依据的独立性检验，能否认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关联？

(2)已知队与队在季后赛的总决赛中相遇，假设每场比赛结果相互独立，队除第五场比赛获胜的概率为外，其他场次比赛获胜的概率等于队常规赛60场比赛获胜的频率.记为队在总决赛中获胜的场数.求的分布列.

附：，其中.

临界值表：

20．如图，在四棱锥中，平面平面PAD，，，，，，E是PD的中点．

(1)求证：；

(2)若点M在线段PC上，异面直线BM和CE所成角的余弦值为，求面MAB与面PCD夹角的余弦值．

21．已知双曲线E：（，）一个顶点为，直线l过点交双曲线右支于M，N两点，记，，的面积分别为S，，.当l与x轴垂直时，的值为.

(1)求双曲线E的标准方程；

(2)若l交y轴于点P，，，求证：为定值；

(3)在（2）的条件下，若，当时，求实数m的取值范围.

22．对于函数,,设区间是上的一个子集,对于区间上任意的,,,当时,如果总有,则称函数是区间上的函数.

(1)判断下列函数是否是定义域上的函数:①,②;

(2)已知定义域上的严格增函数也是定义域上的函数,试问:是否是定义域上的函数?若是,请给出证明;若不是,请说明理由;

(3)若函数为区间上的函数,证明:对于任意的,和任意的,总有

大连市第二十四中学2022-2023学年度高考适应性测试（一）

数学参考答案

1．B

3．A

4．A

5．B

6．D

7．A

8．A

9．BD

10．ACD

11．ACD

12．BCD

13．1

14．

15．780.6

16．

17．(1)，.

(2)

【分析】（1）由判断出数列为等比数列，求出的通项公式；利用累加法求出的通项公式；（2）先得到，利用裂项相消法求和.

【详解】（1）当时，由可得：；

当时，由①，②

则得：

所以.

因为，，所以数列为等比数列，所以.

因为，，，…，，…是首项、公差均为2的等差数列，

所以，，，……，

累加得：，

所以.n=1成立

综上所述：，.

（2）.

所以数列的前项和

所以.

18．(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）将正切化成正弦，化简整理，再利用正弦定理即可得证；

（2）结合（1）及余弦定理化简，再利用基本不等式可求得的最大值，进而得解.

【详解】（1），，

，

由正弦定理可得

（2）由（1）知，则

由余弦定理可得

，当且仅当时，即为正三角形时，等号成立，

由知，为锐角，

所以的最大值为，的最大值为

19．(1)不能认为比赛的“主客场”与“胜负”有关

(2)见解析

【分析】（1）写出列联表，根据公式求出，对照临界值表判断即可；

（2）根据题意得到队除第五场外，其他场次获胜的概率为，然后分情况求概率，写分布列即可.

【详解】（1）根据题意可得列联表如下：

，

所以不能认为比赛的“主客场”与“胜负”有关，即认为比赛的“主客场”与“胜负”无关.

（2）由题意得队除第五场外，其他场次获胜的概率为，

，，，

，

所以的分布列如下，

20．(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）证明平面PAB即可;

（2）由异面直线BM和CE所成角的余弦值为可得M坐标，后可得答案.

【详解】（1）证明：在中，

∵，，，

由余弦定理可得：，

即，

∴，

从而

∵，∴

∵平面平面PAD，平面ABCD平面PAD，AB平面ABCD.

∴平面PAD，

∴平面PAD，

∴.

∵，AB平面PAB，PA平面PAB，

∴平面PAB.

∵平面PAB，

∴．

（2）以A为原点，以AD为y轴，建系如图所示，则，，，，

则，，

，.

设，则

设异面直线BM和CE所成角为，则

得.此时，

设面MAB的一个法向量为，

有

令，则，，取 .

设面PCD的一个法向量为，

有

令，则，，取

设面MAB与面PCD的夹角为，

则.

即面MAB与面PCD夹角的余弦值为.

21．(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）由题意可得，再由结合三角形面积公式可求得，由此可得双曲线E的标准方程；

（2）由向量的坐标表示求得，代入双曲线方程得，同理可得，再由韦达定理即可得到，得证；

（3）由得到，结合（2）中结论可将式子化简为，再利用换元法与双勾函数的单调性即可求得m的取值范围.

【详解】（1）由题意得，，

则当l与x轴垂直时，不妨设，

由，得，

将代入方程，得，解得，

所以双曲线E的方程为．

（2）设，，，

由与，得，

即，，将代入E的方程得：，

整理得：①，

同理由可得②．

由①②知，，是方程的两个不等实根．

由韦达定理知，所以为定值．

（3）又，即，

整理得：，

又，不妨设，则，

整理得，又，故，

而由（2）知，，故，

代入，

令，得，

由双勾函数在上单调递增，得，

所以m的取值范围为．

.

22．(1)①是;②不是

(2)不是,理由见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)利用作差法,结合函数的定义即可逐个判定;

(2)不是定义域上的函数,由反函数的性质及函数的定义即可证明;

(3)假设,则,利用函数的定义化简即可得证.

【详解】（1）①当时,

，所以①是定义域上的函数;

②当时,

,所以②不是定义域上的函数.

（2）不是定义域上的函数,理由如下:

因为是定义域上的严格增函数,

所以当时,,即,

若原函数为增函数,则反函数也是增函数,即若,则,

又因为是定义域上的函数,即当时,总有,

所以,即当时,,

综上所述,不是定义域上的函数.

（3）证明:若对于任意的,和任意的,假设,则,

因为函数为区间上的函数,所以,

化简得,

∵,∴,

∴,

∴,

∴.