辽宁省实验中学2023-2024学年高三数学上学期高考适应性测试（一）试题（Word版附答案）

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考生注意：
1.本试卷共150分,考试时间120分钟。分四大题，22小题，共4页
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容
一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）
1．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，点为的中点，为坐标原点，，，的面积为，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则下列说法正确的是
①函数图象的一条对称轴的方程为；②函数在闭区间上单调递增；
③函数图象的一个对称中心为点；④函数的值域为.
A．①②B．③④C．①③D．②④
3．定义在R上的函数和的导函数分别为，，则下面结论正确的是
①若，则函数的图象在函数的图象上方；
②若函数与的图象关于直线对称，则函数与的图象关于点（，0）对称；
③函数，则；
④若是增函数，则.
A．①②B．①②③C．③④D．②③④
4．的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
5．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
6．设函数，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，若g（x）满足，则的可能值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，函数、、的图象和直线将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数的图象经过的部分是④⑧，则可能是（ ）
A．y＝x2B．C．D．y=x-2
二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）
9．已知，若函数在处取得极小值，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．D．
10．下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，小明、小红分别从街道的、处出发，到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则（ ）
A．小红到老年公寓可以选择的最短路径条数为
B．小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
C．若小明不经过处，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
D．若小明先到处与小红会合，再与小红一起到老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
12．已知函数的定义域为，且．若的图象关于点对称，，则（ ）
A．B．的图象关于直线对称
C． D．
三、填空题（每题5分，共20分）
13．已知F是双曲线的右焦点，直线与双曲线E交于A，B两点，O为坐标原点，P，Q分别为，的中点，且，则双曲线E的离心率为 ．
14．为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了6个小队在校园最具有代表性的3个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有1支小队拍摄，则不同的分配方法有 种（用数字作答）
15．已知，则 .
16．已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为 ．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．如图，已知四棱锥，是等边三角形，，，，，是的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的值．
18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，的周长的取值范围．
19．已知双曲线（，）的焦距为，且双曲线右支上一动点到两条渐近线，的距离之积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线是曲线在点处的切线，且分别交两条渐近线，于、两点，为坐标原点，证明：面积为定值，并求出该定值．
20．如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且.
(1)求二面角的余弦值；
(2)求四棱锥外接球的体积.
21．已知函数，
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数在区间上的单调性．
22．已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足，求证：
(1)数列为等差数列；
辽宁省实验中学2023-2024学年度高考适应性测试（一）
数学参考答案
一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）
二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）
三、填空题（每题5分，共20分）
13．14．540 15．16．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．【详解】（1）取的中点，连接、，
根据中位线定理，，且，
又，所以，，则四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，∴平面；
（2）以为原点，、、过且垂直底面的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
设，则、、、，设，
由，，，
上面联立解方程组得，，，
故点，所以，得到，
平面的法向量为，由．
故直线与平面所成角的正弦值为．
18．【详解】(1)
解：由正弦定理得．
因为，所以．
由，可得，
所以．
因为，所以，
所以，
(2)
解：由于，，有正弦定理，
所以，，
由于，
因为，所以．
因此
19．【详解】解：（1）双曲线（，）的渐近线方程为和，
由动点到两条渐近线，的距离之积为，
则，
又，即，
解得，，
则双曲线的方程为．
（2）证明：设直线的方程为，
与双曲线的方程联立，可得，
直线与双曲线的右支相切，可得，可得，
设直线与轴交于，则，
，
又双曲线的渐近线方程为，
联立，可得，
同理可得，
则．
即有面积为定值2．
20．【详解】（1）解：在等腰梯形中，作于，
则，所以，
连接，则，
因为，所以，所以，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
又由平面，所以，
因为且，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，所以就是二面角的平面角，
在直角中，，
所以二面角的余弦值为.
（2）解：取的中点，连接，可得证四边形、均为平行四边形，
所以，所以为等腰梯形的外心，
取的中点，连接，可得，
因为平面，所以平面，
又因为，所以为四棱锥外接球的球心，
所以球的半径为，所以.

21．【详解】（1）令，即，
解得或，所以的定义域为，
而
，
所以为奇函数.
（2）令，则，
又，
设，且，
则
因为，且，
所以，，
因此，即在上单调递增，
又因为在上单调递增，
所以在上单调递增.
22．【详解】（1）解：因为数列为等差数列，，，
所以数列的公差为，，
则，又，
，故数列为等差数列.
（2）证明：假设数列中存在不同三项构成等比数列，
不妨设、、（、、均不相等）成等比数列，即，
由数列的通项公式可得，
将此式展开可得，
所以有，即，
所以，，所以，，
化简整理得，，与假设矛盾，
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
C
B
C
D
B
B
9
10
11
12
AD
AC
ABD
BC