2022-2023学年广东省广州市真光中学、深圳二中教育联盟高二上学期12月联考数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市真光中学、深圳二中教育联盟高二上学期12月联考数学试题

一、单选题

1．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ）

A．2 B．3 C．6 D．9

【答案】C

【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.

【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.

故选：C.

【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.

2．椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】C

【分析】由焦点坐标得到，求解即可.

【详解】根据焦点坐标可知，椭圆焦点在y轴上，所以有，解得．

故选：C.

3．设z为任一实数，则点表示的图形是（    ）

A．z轴 B．与平面xOy平行的一直线

C．平面xOy D．与平面xOy垂直的一直线

【答案】D

【分析】在空间直角坐标系中画出动点表示的图形后可得正确的选项.

【详解】在空间直角坐标系中画出动点表示的图形如图所示：

故点表示的图形为与平面xOy垂直的一直线，

故选：D.

4．若圆与圆有3条公切线，则（    ）

A．3 B．3 C．5 D．3或3

【答案】D

【分析】根据公切线的条数可判断两圆的位置关系即可求解.

【详解】因为两圆有3条公切线,所以两圆的位置关系为外切,

则圆心距等于两圆半径之和,

即,解得或,

故选:D.

5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.

详解：

因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.

点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.

6．如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用空间向量的加、减运算即可求解.

【详解】由题意可得

.

故选：D

7．已知平面的法向量为，点在平面内，点到平面的距离为，则（    ）

A．-1 B．-11 C．-1或-11 D．-21

【答案】C

【分析】根据点到平面距离的向量法公式求解即可.

【详解】，而，    

即，

解得或－11.

故选：C

8．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为

A．16 B．14 C．12 D．10

【答案】A

【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知

，当且仅当（或）时，取等号.

点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以

.

二、多选题

9．下列命题是真命题的有（    ）

A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面

B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直

C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α

D．平面α经过三点是平面α的法向量，则

【答案】ABD

【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可.

【详解】对于A，若不能构成空间的一个基底，则共面，可得A，B，M，N共面，A正确；

对于B，，故，可得l与m垂直，B正确；

对于C，，故，可得l在α内或，C错误；

对于D，，易知，故，故，D正确.

故选：ABD.

10．已知曲线的方程为，下列说法正确的是（    ）

A．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 B．曲线可能是圆

C．若，则曲线一定是双曲线 D．若为双曲线，则渐近线方程为

【答案】BD

【分析】根据各选项及曲线的特征一一判断即可；

【详解】解：因为曲线的方程为，

对于A：曲线为焦点在轴上的椭圆，则，即，故A错误；

对于B：当时曲线表示圆，故B正确；

对于C：若，满足，曲线为，表示圆，故C错误；

对于D：若为双曲线，则，

当时，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，

当时，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故D正确；

故选：BD

11．已知圆和圆的交点为A，B，则（    ）

A．两圆的圆心距

B．直线AB的方程为

C．圆上存在两点P和Q使得

D．圆上的点到直线AB的最大距离为

【答案】BD

【分析】求出两圆圆心距，可判断A选项；将两圆方程作差即得公共弦AB的方程，可判断B选项；求出，可判断C选项；求出圆上的点到直线的最大距离，可判断D选项.

【详解】对于A，圆的标准方程为，圆心为，半径为，

圆的标准方程为，圆心为，半径为，

所以，，A不正确；

对于B，将两圆方程作差可得，

即得公共弦AB的方程为，故B正确；

对于C选项，圆心到直线的距离为，所以，

对于圆上的任意两点、，，C不正确；

对于D选项，圆心到直线的距离的最大值为，D正确.

故选：BD.

12．如图，菱形边长为2，，E为边AB的中点.将沿DE折起，使A到，且平面平面，连接，.则下列结论中正确的是（    ）

A． B．四面体的外接球表面积为

C．BC与所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为

【答案】BCD

【分析】将沿折起，使到，且平面平面，连接，，则，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．

【详解】解：将沿折起，使到，且平面平面，连接，

，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

对于，，0，，，，，，0，， 2，，，

，，，，，，

，与不垂直，故错误；

对于，取中点，连接，

，，

过作平面，四面体的外接球球心在直线上，

设，由，得，解得，，

四面体的外接球表面积为：，故正确；

对于，，，，，，，

设与所成角的为，

则，

与所成角的余弦值为，故正确；

对于，，0，，，，，，，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，1，，

直线与平面所成角的正弦值为：

，故正确．

故选：．

三、填空题

13．若为圆的弦的中点，则直线的方程为______．

【答案】

【分析】根据条件可知，利用两直线的位置关系求直线方程.

【详解】设圆的圆心， ,则，由条件可知，

则的斜率为1，

所以直线的方程为，即.

故答案为：.

14．已知向量，，，若向量，，共面，则实数的值为______．

【答案】

【分析】根据题意：存在实数使得，再根据坐标运算解方程求解即可.

【详解】因为向量共面，

所以存在实数使得，即

所以，解得

故答案为:

15．设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的最大值为______.

【答案】

【分析】根据椭圆的定义，化简得，进而得到，结合椭圆的焦点弦的性质，即可求解.

【详解】由题意，椭圆，可得，即，

根据椭圆的定义，可得，

则，

所以，

当垂直于轴时，取得最小值，此时取得最大值，

此时，所以的最大值为.

故答案为：.

16．在平面直角坐标系中，已知，为双曲线的左､右焦点，，为C的左､右顶点，C的离心率等于2，P为C左支上一点，若平分，直线与的斜率分别为，，且，则等于___________.

【答案】

【分析】根据结合直线与的斜率分别为，的斜率关系，角平分线定理以及双曲线的定义，可得，又由离心率得，又在焦点三角形中用余弦定理得直线倾斜角的余弦值，从而可得直线的斜率的值.

【详解】解：由题意得下图：

则，，，，

双曲线的离心率，所以，则

又直线与的斜率分别为，，且，且在第二象限

所以，则，

因为平分，由角平分线定理得：，结合，

即可得，所以

又在双曲线中有，所以

则在中，

由题意，可得为锐角，

所以

则.

故答案为：.

四、解答题

17．如图，在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．

(1)求证： 平面；

(2)证明：EF与平面不垂直．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）连结，连结，先利用平行四边形证得，再利用线面平行的判定定理得到平面；

（2）建立坐标系求出点的坐标，表示出，因为，所以不垂直，则EF与平面不垂直．

【详解】（1）如图，连结，连结，

因为在正方体中，面是正方形，所以，

是的中点，又因为是的中点，所以且，

因为是的中点，所以，又，所以，

所以四边形是平行四边形，故，

又面，面，所以平面；

（2）建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图：

则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，

，分别为，的中点，

，1，，，1，，所以

，而，故不垂直，

则EF与平面不垂直．

18．已知圆C以为圆心，被直线截得的弦长为．

(1)求圆C的方程；

(2)若点，点P为在圆C上任一点，当最小时，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出到圆心距离，结合弦长，可得圆半径.

（2）当且仅当PB与圆相切时，最小.则

【详解】（1）直线到圆心距离为：，又弦长为，

则圆半径为：.故圆C方程为：.

（2）由题可得，当且仅当PB与圆相切时，最小.

则此时，，故.

19．如图，已知直线，直线，C是夹在两直线中的动点，过点C作任意直线交于点A，交于点B，且都满足．

(1)求动点C的轨迹方程；

(2)已知点，是否存在点C，使得﹖若存在，求出点C的坐标、若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)存在点C，使得，且或.

【分析】（1）设，，由题意可得，代入消去可得动点C的轨迹方程；

（2）设，，解方程即可得出答案.

【详解】（1）因为分别在直线和直线上，

所以设，

设，因为，所以，

而，

所以，即

消去可得：.

所以动点C的轨迹方程为：.

（2）由（1）知，在直线上，

可设，而，

则，则，

解得：或.

当时，，

当时，.

故存在点C，使得，且或.

20．三棱柱中已知侧面．

(1)求证：平面ABC；

(2)E是棱上的一点，若平面与平面的夹角为，求CE的长．

【答案】(1)证明见解析；

(2)2.

【分析】（1）由侧面，可得，在中利用余弦定理可得，然后利用勾股定理的逆定理可得，再由线面垂直的判定定理可证得结论；

（2）由（1）可知两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，令，然后分别表示出平面和的法向量，再由已知条件列方程可求得结果.

【详解】（1）证明：因为侧面，平面，

所以，

在中，，

则由余弦定理得

，

所以，

所以，

所以，

因为，平面，

所以平面；

（2）解：由（1）可知两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则

，

所以，

令，则，

所以，

设平面的法向量为，

，

令，则，

所以，

因为侧面，

所以是平面的一个法向量，

因为平面与平面的夹角为，

所以，

所以，

化简得，解得或（舍去），

所以.

21．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，B在x轴的上方，且点B到F的距离为5，且B的纵坐标为．

(1)求抛物线C的标准方程与点B的坐标；

(2)设点M为抛物线C上异于A，B的点，直线MA与MB分别交抛物线C的准线于E，G两点，x轴与准线的交点为H，求证：为定值，并求出定值．

【答案】(1)，

(2)定值为4，证明见解析

【分析】（1）由抛物线的焦半径公式可得，代入抛物线方程解得即可；

（2）由（1）直线l的方程：，联立抛物线方程可得，再设点，可得直线MA方程，进而可得，同理，即可得定值.

【详解】（1）由题意得：，因为点B到F的距离为5，且B在x 轴的上方，且B的纵坐标为所以，故，即，因为得，

故抛物线C的方程为：，此时.

（2）由（1）得：，线方程，

直线l的方程：，

由，解得或，于是得．

设点，又题意且，

所以直线MA：，即，令，得，即.

同理直线MB：，即，

令，得，

即，

故．

22．如图，椭圆的下顶点为C，右顶点为D，且，左焦点为，过F且斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，交y轴于点P，M为线段AB的中点，直线OM交CD于点N，过点P作交x轴于点E．

(1)求椭圆的方程和直线CD的斜率；

(2)当的面积为时，求的值．

【答案】(1)；.

(2)

【分析】（1）由题意可得，，可求出，即可得椭圆的方程，即可求出直线CD的斜率；

（2）设，，直线的方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，结合韦达定理可求出的坐标，表示出直线的方程，可求出，再进一步表示出的面积可求出，可求出点的坐标，即可得出的值.

【详解】（1）由题意可得：，

，又因为，

解得：，所以椭圆的方程为：.

则.

故直线CD的斜率为.

（2）设，，因为直线l过F且斜率为，

设，

由得，

所以，，

因为M为线段AB的中点，所以，，

所以，又因为，

所以，因为在直线上，

令，所以，所以直线的方程为：，

令，所以，

，

所以，

到直线的距离为：，

所以的面积为：，

化简得：，则，解得：即，

所以，则直线的方程为：，

而则.

所以直线的方程为：，

联立直线的方程与的方程可得：，

所以.