2022-2023学年上海市嘉定区第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海市嘉定区第一中学高二上学期期中数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市嘉定区第一中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．下列说法中正确的是（    ）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D．若球O的半径为2，球心到平面的距离为1，则球O被平面截得的截面面积为【答案】D【分析】棱锥是有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体；圆锥是以直角三角形一条直角边为轴旋转，其余两边旋转所围成的几何体；正六边形中心到顶点的距离等于边长；球心与截面圆圆心的连线垂直于截面.【详解】棱锥是有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体，所以A错，三棱锥不仅各面是三角形，还要除底面外其余各面都有公共顶点；圆锥是以直角三角形一条直角边为轴旋转，其余两边旋转所围成的几何体，以斜边为轴旋转不是圆锥，所以B错；正六边形中心到顶点的距离等于边长，所以正六棱锥侧棱一定大于底面边长，所以C错；球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，球O半径为2，到平面距离为1，则截面圆半径，截面圆面积为，D正确.故选：D.2．已知，则在方向上的投影为（    ）A． B． C．4 D．8【答案】C【分析】由两向量夹角的正切值计算余弦值，再计算投影.【详解】因为，且向量夹角取值范围为，所以，所以在方向上的投影为.故选：C.3．已知一个圆柱底面圆半径为1，高为2，上底面的直径为AB，C是底面圆周上的一个动点，关于的面积大小下列说法正确的是（    ）A．的面积是定值 B．的面积没有最大值C．的面积最大值是 D．的面积最大值是2【答案】C【分析】AB长度不变，分析C到直线AB距离的取值范围，得到三角形面积的取值范围.【详解】如图，过C作CD垂直于AB，过D作DE垂直于底面，连接CE，因为长为2，则的面积为，，因为CD垂直于AB，DE垂直于圆柱底面，所以DE垂直于AB，所以AB垂直于平面CDE，所以CE垂直于AB，C是底面圆周上动点，所以CE最大等于底面半径，等于1，所以CD最大为，即面积最大为.故选：C.4．设函数，其中（，，）为已知实常数，，下列关于函数的性质判断正确的个数是（    ）①若，则对任意实数x恒成立；②若，则函数为奇函数；③若，则函数为偶函数；④当时，若，则；A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】由，得出，通过判断，得到为奇函数；由，得到，通过判断，得到为偶函数，然后对四个命题进行判断，得到答案.【详解】函数，其中（，，）为已知实常数，若，则，所以函数为奇函数，故②正确；若，则，所以，所以函数为偶函数，故③正确；若，则函数为奇函数，也为偶函数，所以对任意实数恒成立，故①正确；当时，若，则，，所以，所以，可得，，故④正确.故选：A.【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，主要考查的三角函数的化简，考查新定义三角函数的性质，对题意的理解和计算能力要求较高，属于难题. 二、填空题5．己知为虚数单位，则在复平面上对应的点在第___________象限.【答案】四【分析】计算复数，转化为复数的代数形式，得到其在复平面上对应的点的坐标.【详解】，在复平面上对应的点为，在第四象限.故答案为：四.6．已知扇形的中心角为2弧度，扇形的半径为3，则此扇形的弧长为___________.【答案】6【分析】利用弧长公式求弧长.【详解】因为扇形的中心角为2弧度，扇形半径为3，所以扇形的弧长.故答案为：6.7．已知正三棱锥底面边长为3，高为，则斜高为___________.【答案】1【分析】由正三棱锥的几何特征，过顶点向底面作垂线，计算斜高.【详解】过P作PO垂直于平面ABC，过O作OD垂直于BC，连接PD，因为正三棱锥底面边长为3，所以，又因为三棱锥高为，所以斜高.故答案为：1.8．已知集合（其中 为虚数单位），则满足条件的集合M的个数为___________.【答案】8【分析】因为具有周期性，分别计算n取1,2,3,4时x的值，根据集合元素的个数，写出子集个数.【详解】周期为4，当时，；当时，；当时，；当时，，所以集合的子集个数为个.故答案为：8个.9．已知圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，则该圆锥的体积为___________.【答案】【分析】由圆锥的轴截面是等腰三角形，得圆锥的底面半径，及母线长，求出圆锥的高，得圆锥的体积.【详解】圆锥的轴截面是等腰三角形，且是斜边长为的直角三角形，所以该圆锥轴截面是等腰三角形，得圆锥底面半径为，母线长为，所以圆锥的高为，体积为.故答案为：.10．已知关于的方程的一个根是（其中为虚数单位），则___________.【答案】【分析】根据虚根成对原理可得也为方程的根，利用韦达定理求出、，再根据复数模的计算公式计算可得.【详解】解：因为关于的方程的一个根是，所以其另外一个根为，所以，所以，所以；故答案为：11．有以下命题：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②若直线和是异面直线，直线和是异面直线，则直线和也是异面直线；③四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；④如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等.其中正确命题的序号是___________.（把你认为正确命题的序号都填上）【答案】③【分析】根据线段与平面的位置关系判断①，根据空间中直线与直线的位置关系判断②，显然四边形的四个点均在同一平面内，即可判断③，根据空间等角定理判断④.【详解】解：①如果一条线段的中点在一个平面内，则线段与平面可能相交或线段在平面内，故①错误；②若直线和是异面直线，直线和是异面直线，则直线和可能平行、异面、相交，故②错误；③若一个四边形有三条边在同一个平面内，即四边形的四个顶点均再同一个平面内，则第四条边也在这个平面内，故③正确；④如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故④错误．故答案为：③．12．甲乙两名实习生每人各加工一个零件，若甲实习生加工的零件为一等品的概率为，乙实习生加工的零件为一等品的概率为，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为___________.【答案】【分析】两个零件中恰好有一个一等品，即甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品，或乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品，计算概率即可.【详解】甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品的概率为，乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品的概率为，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率为.故答案为：.13．如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，是小正方形的其余各个顶点，则的不同值的个数为___________.【答案】3【分析】根据向量数量积的几何意义，只需分析在上的投影即可.【详解】，表示在上的投影，由图，在上的投影相同，在上的投影相同，在上的投影相同，所以的不同值有3个.故答案为：3.14．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3.【答案】【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为圆柱体积为所求几何体体积为故答案为： 【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.15．已知A､B､C为的三个内角，有如下命题：①若是钝角三角形，则；②若是锐角三角形，则；③若G､H分别为的外心和垂心，且，则；④在中，若，则，其中正确命题的序号是___________.【答案】①②③④【分析】由三角恒等变换公式，平面向量数量积的运算律对命题逐一判断【详解】对于①，若是钝角三角形，由得，故①正确，对于②，若是锐角三角形，则，有且，则，同理得，故，故②正确，对于③，由，故③正确，对于④，若，则，，则，故，故④正确，故答案为：①②③④16．如图所示，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点，分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为______.【答案】【分析】由题意得：周长取最小值时,在上.在平面上,设关于的对称点为,关于的对称点为,求出,即可得到周长的最小值.【详解】由题意得：周长取最小值时,在上,在平面上,设关于的对称点为,关于的对称点为,连结,当与的交点为,与的交点时,则是周长的最小值,,,,∴.∴周长的最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查了立体几何中的线段最值问题,需要根据题意转换对应的线段长度,再利用三角形的性质求最小值即可.属于中档题. 三、解答题17．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm.(1)这种“浮球”的体积是多少cm3?(2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少?【答案】(1)(2)1200π克 【分析】根据圆柱和球的体积公式，面积公式计算即可.【详解】（1）所以，（2）上下半球的表面积圆柱侧面积所以，1个浮球的表面积为2500个浮球的表面积为.因此，共需胶克.18．已知，是不平行的两个向量，是实数，且（）．（1）用，表示；（2）若，，，记，求及其最小值．【答案】（1）（2）．最小值为．【分析】（1）根据向量的线性运算求解．（2）由计算．【详解】解：（1）（2）．∴．∴．的最小值为．【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查向量的数量积，解题关键是利用数量积的定义把模的运算转化为数量积．19．某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第个月从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画，其中正整数表示月份且，例如表示1月份，和是正整数，，. 统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：① 每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；② 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.（1）试根据已知信息，求的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.【答案】(1)；(2)答案见解析.【详解】试题分析：（1）根据三条规律，知该函数为周期为12的周期函数，进而求得，利用规律②③可求得三角函数解析式中的振幅，和，则函数的解析式可得；（2）利用余弦函数的性质根据题意求得的范围，进而求得的范围，再根据，，进而求得的值.试题解析：（1）根据三条规律，知该函数为周期为12的周期函数，所以.∵该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人，2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人∴，解得.∵最少的2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人∴，即.∵∴∴（2）令∴∴∵∴∴答：一年中月是该地区的旅游“旺季”.20．已知a､b､c分别为的三个内角A､B､C的对边.现有如下四个条件：①；②；③；④.(1)对条件①化简，并判断含有条件①的三角形的形状；(2)从以上四个条件中任选几个作为一个组合，请写出能构成三角形的所有组合，并说明理由；(3)从上述能构成三角形的组合中任选一组，求出对应三角形边c的长及三角形面积.【答案】(1)，钝角三角形；(2)①③④和②③④；(3)答案见解析. 【分析】（1）利用余弦定理，即可求得，结合的范围即可判断三角形形状；（2）利用正弦定理化简②，结合（1）中所求以及余弦函数的单调性即可判断；（3）根据（2）中所求，结合余弦定理和三角形面积公式，求解即可.【详解】（1）因为，故可得，即，由余弦定理可得，又，故可得，则含有条件①的三角形的形状为钝角三角形.（2）条件①的化简结果为：；条件②：，由整形定理可得，即，又故可得，又，则；因为，又，故可得，则条件①和条件②不能同时选择.故能构成三角形的所有组合为：①③④和②③④.（3）当选择①③④时，由余弦定理可得：，整理得：，解得（舍）或即，此时三角形的面积.当选择②③④时，由余弦定理可得，整理得：，解得或，此时三角形有两解，当时，三角形的面积；当时，三角形的面积.综上所述：选择①③④时，，三角形的面积；选择②③④，时，三角形的面积，时，三角形的面积.21．如图，在棱长为1的正方体中，E是棱上的一个动点.(1)判断三棱锥的体积是否为定值，若是求出其体积，若不是说明理由；(2)是否存在点E，使得平面，若存在请找出点E的位置，若不存在，说明理由；(3)过点和C作正方体的截面.①判断截面的形状，并求出截面面积的最小值；②当截面的面积取最小值时，在线段上是否存在一个动点M，使得，若存在求出M的位置，若不存在请说明理由.【答案】(1)三棱锥的体积为定值，且体积为；(2)不存在点E，使得平面；理由见解析(3)见解析 【分析】（1）由平面，可知到平面距离为，即可求解；（2）平行四边形不是菱形，所以对角线与不垂直，由直线垂直平面的定义即可求解；（3）①    截面为平行四边形，利用余弦定理与三角形面积公式，结合二次函数的性质求解截面面积的最小值；②当截面的面积取最小值时，在线段存在点，使得，此时为线段的中点，利用线面垂直的判断定理证明即可【详解】（1）因为平面，平面，所以平面，因为是棱上的一个动点，所以到平面距离为，又的面积为，所以，所以三棱锥的体积为定值，且体积为；（2）因为，所以平行四边形不是菱形，所以对角线与不垂直，又平面，所以由直线垂直平面的定义可知：不可能垂直于平面，所以不存在点E，使得平面；（3）在上取点，在上取点，且使得在，连接，则易知，所以为平行四边形，又平面，所以过点和C作正方体的截面即为平面，①截面为平行四边形，因为平行四边形的面积为，设 ，则，则中，，所以截面的面积为，因为，所以当时，截面面积的最小值为；②当截面的面积取最小值时，由①可知分别为，的中点，因为，，平面，所以平面，又平面，所以，同理可证，因为，，平面，所以平面，又平面，所以，当为线段的中点时，由，可知，又分别为，的中点，易知，所以，因为，，平面，所以平面，即所以在线段存在点，使得，此时为线段的中点