2022-2023学年上海市嘉定区第一中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市嘉定区第一中学高二上学期10月月考数学试题

一、填空题

1．函数的最小正周期为_____．

【答案】

【详解】试题分析：

【解析】三角函数的周期.

2．设复数满足，其中是虚数单位，则___________．

【答案】－3

【分析】利用复数的除法运算化简复数，即可求解.

【详解】由可得：，

所以，

故答案为：.

3．已知，则________.

【答案】

【分析】根据诱导公式化简求值.

【详解】由诱导公式可知.

故答案为:

4．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是________

【答案】相交或异面

【分析】分为共面和不共面，可确定两种位置关系.

【详解】若为异面直线，

当共面时，相交；当不共面时，异面

故答案为相交或异面

【点睛】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，属于基础题.

5．已知向量，，若，则实数的值是______．

【答案】

【分析】应用向量共线的坐标表示得，即可求.

【详解】由题意知：，解得.

故答案为：

6．如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为________．

【答案】8

【分析】根据斜二测画法，还原出原图，根据原图与直观图的关系，求得边长，即可得答案.

【详解】根据直观图，还原原图可得OABC，如图所示：

根据原图与直观图的关系可得，，且，

所以，

所以原图形OABC的周长为3+1+3+1=8，

故答案为：8

7．若复数（为虚数单位）是方程（、均为实数）的一个根，则___

【答案】

【分析】先由题意，得到，化简整理，再由复数相等，得到，根据复数模的计算公式，即可求出结果.

【详解】因为复数（为虚数单位）是方程（、均为实数）的一个根，

所以，整理得：，

因此，解得.

所以.

故答案为

【点睛】本题主要考查求复数的模，熟记复数模的计算公式，以及复数相等的充要条件即可，属于常考题型.

8．在正方体中，分别为的中点，则与平面所成角的大小为______．

【答案】

【分析】连接相交于，连接，，转化为求直线和平面所成的角，再利用线面垂直的判定定理可得就是直线和平面所成的角，由可得答.

【详解】连接，由于分别是的中点，所以，

所以直线和平面所成的角的大小等于直线和平面所成的角，

连接相交于，连接，

根据正方体的几何性质可知平面，平面，

所以，又因为，，平面，

所以平面，所以就是直线和平面所成的角，

因为，所以，所以，，

所以，故与平面所成角的大小为.

故答案为：.

9．在中，若，，，则的面积为___________.

【答案】

【分析】利用公式求出，利用正弦定理求出，利用三角形的面积公式可求出结果.

【详解】因为，所以，，

所以，所以，所以，

所以，，

所以，

由正弦定理得，得，得，

所以的面积.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：利用正弦定理、三角形面积公式求解是解题关键.

10．已知、满足，在方向上的数量投影为，则的最小值为______．

【答案】10

【分析】根据数量投影的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.

【详解】设、的夹角为，因为在方向上的数量投影为，

所以，因此，因此，所以，

，

因此有，因为，

所以当时，有最小值，最小值为，

故答案为：10

11．已知函数，，若函数在区间内单调递增，且函数的图象关于直线对称，则的值为______．

【答案】

【分析】化函数为f（x）＝2sin（ωx），由正弦函数的单调增区间求出x的取值范围，结合题意列不等式组求出k的值，再根据函数f（x）的对称轴求出ω的值．

【详解】函数，，

函数在区间内单调递增，，

，；

可解得函数的单调递增区间为：，，

可得：，

，其中，

解得：且，，

，解得：，，可解得：，

又由，；

可解得函数的对称轴为：，，

由函数的图象关于直线对称，可得：，可解得：．

故答案为．

【点睛】本题主要考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，正确确定k的值是解题的关键，是中档题

12．已知为的外心，，，则的最大值为________

【答案】

【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系，设，列方程用表示出，代入圆的方程，再利用不等式解出的范围即可.

【详解】设的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，

因为，所以，

不妨设，，，

则，，，

因为，所以，

解得，

因为在圆上，

所以，

即，

所以，

所以，

解得或，

因为只能在优弧上，所以，

故

【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及其意义，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.

二、单选题

13．若、是两条不重合的直线，垂直于平面，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用线面垂直性质定理去判断“”与“”逻辑关系即可解决.

【详解】若、是两条不重合的直线，垂直于平面，

则由，可以得到，即“”是“”的充分条件；

由，可得或，即“”不是“” 的必要条件.

故“”是“”的充分不必要条件

故选：A

14．函数图象的一条对称轴方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由和差公式化简函数，由整体法令，即可求解.

【详解】，

令，即，

故函数图象的一条对称轴方程为．

故选：C

15．如图，正方体中，分别为棱的中点，连接，对空间任意两点，若线段与线段都不相交，则称两点可视，下列选项中与点可视的为（    ）

A．点 B．点 C．点 D．点

【答案】B

【分析】根据异面直线的定义判断即可.

【详解】A选项：四边形是平行四边形，与相交，故A错；

C选项：四边形是平行四边形，与相交，故C错；

D选项：四边形是平行四边形，与相交，故D错；

利用排除法可得选项B正确.

故选：B.

16．已知直线垂直平面，垂足为，在矩形中，，若点A在上移动，点在平面上移动，则、两点间的最大距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用等号能成立时求得、两点间的最大距离即可解决

【详解】取AB中点E，连接OE、DE，则

则、两点间的距离，

当且仅当、、三点依次共线时等号成立，

此时平面平面，

直线AB与平面所成角为

故选：B

三、解答题

17．已知复数，且是纯虚数．

(1)求复数；

(2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由纯虚数的定义列出方程得出复数；

（2）由复数的四则运算结合复数在复平面内对应的点所在象限，列出不等式得出的取值范围．

【详解】（1）∵，

∴，

又是纯虚数，

∴且，即，

∴．

（2）由（1）得：，

则，

∵复数在复平面内对应的点在第四象限，

∴，

解得，

故的取值范围为．

18．已知向量，．

(1)当，求

(2)求的最小值，并求此时向量，的夹角大小．

【答案】(1)

(2)最小值为，此时，夹角大小为

【分析】（1）根据模长公式即可求解，

（2）根据模长的坐标运算即可利用函数的性质求最值.

【详解】（1）因

因为，

所以．

（2）解法设，，

因为，

所以，

由，

当且仅当即时取等

所以最小值为，此时，夹角大小为．

解法设，

由，

所以

故当，时最小值为，

此时．

19．如图，已知是底面为正方形的长方体，，，为的中点，

(1)求证：直线平面；

(2)求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接交于点，可证得四边形为平行四边形，由此可得，利用线面平行的判定定理可证得结论；

（2）方法一：取中点，知，则所求角为，在中，由长度关系可求得结果；

方法二：以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法可求得结果.

【详解】（1）连接交于点，连接，

四边形为长方形，为中点，又为中点，，

，又，四边形为平行四边形，，

平面，平面，平面.

（2）方法一：取中点，连接，

分别为中点，，

即为异面直线与所成角，

平面，平面，又平面，；

，，，，，

，，，

，即异面直线与所成角的余弦值为.

方法二：，，，，；

以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

，，

，

即异面直线与所成角的余弦值为.

20．在中，角、、所对的边分别是、、．且．

(1)求角的大小；

(2)求的取值范围；

(3)若，，为中点，为线段上一点，且满足．求的值，并求此时的面积．

【答案】(1)

(2)

(3)，的面积为

【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理求解即可；

（2）根据（1）可得，得到，再根据正弦的和差角公式与辅助角公式，根据角度的范围求解即可；

（3）先根据直角三角形中的关系求解得，再设，推导可得，再根据求解即可

【详解】（1）由正弦定理及，得，

即，化简得，故．

又，故．

（2）由（1）知，，

故

.

又，则，，

故．

（3）

∵，∴，∵，为中点，∴，

∵，∴，，∴，，

设，则，

∴，，

∴，

在直角中，，

∴当时，的面积为．

21．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为

(1)已知，，若函数为集合中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；

(2)已知点满足条件：，，若向量的“相伴函数”在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围；

(3)当向量时，“相伴函数”为，若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）把化为形式得“相伴向量”，求出模后可得其范围；

（2）写出“相伴函数”，根据辅助角公式得最大值及最大值点，由的范围得的范围，再得出的范围后可得的取值范围；

（3）由定义得并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程得或，求得两根，然后作出函数，的图象，由图象可得且有两根的的范围．

【详解】（1），

∴函数的相伴向量，

，

∴时，；时，.

∴的取值范围为[1，3]

（2）的相伴函数

其中，.

当，，即，时，取得最大值，

∴，

∵，∴，

∴，∴.

∴.

（3），

当时，，

由，得：，

∴或，

由，即，而，解得或，

即∴在上有两个根，

方程在上存在4个不相等的实数根，

当且仅当且在上有两个不等实根，

在同一坐标系内作出函数在上的图像和直线，如图，

方程在上有两个不等实根，

当且仅当函数在上的图像和直线有两个公共点，

观察图像知：或，

解得或，

所以实数的取值范围是.