2022-2023学年重庆市巴蜀中学校高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市巴蜀中学校高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．点是椭圆上的动点，则到椭圆两个焦点的距离之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据椭圆的定义求得正确答案.

【详解】椭圆的焦点在轴上，，

所以到椭圆两个焦点的距离之和为.

故选：C

2．一条直线过两点，则该直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，设直线的倾斜角为，由两点的坐标求出直的斜率，即可得，进而分析可得答案．

【详解】根据题意，设直线的倾斜角为，

∵直线过两点，∴直线的斜率，

∴，；

故选：．

3．圆与圆的公切线共有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】B

【分析】先判断两个圆的位置关系，由此判断出公切线的条数.

【详解】圆的圆心为，半径；

圆的圆心为，半径.

，所以，

所以两个圆相交，公切线有条.

故选：B

4．点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，线段的中点为，且（为坐标原点），则线段的长为（    ）

A．2 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【分析】结合三角形的中位线以及椭圆的定义求得正确答案.

【详解】不妨设为左焦点，为右焦点，

依题意，

由于线段的中点为，而是线段的中点，

所以,

根据椭圆的定义可知.

故选：D

5．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点为椭圆的上顶点，，则椭圆的短轴长为（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件列方程，由此求得，从而求得短轴长.

【详解】依题意①，

由于，所以，所以②，

由①②解得，所以短轴长.

故选：B

6．圆与直线相切于点，且圆心的横坐标为1，则圆被轴截得的弦长为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】设圆心为，由切线性质得，可求出n，进而由垂径定理求得弦长.

【详解】设圆心为，∵圆与直线相切于点，直线斜率∴，

∴半径，则圆被轴截得的弦长为.

故选：D

7．已知分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆上两点，线段经过点，且，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求得，结合勾股定理列方程，化简求得椭圆的离心率.

【详解】依题意线段经过点，且，

设，则，

，

，

在直角三角形中，有，

整理得，

解得或（舍去），

所以，

在直角三角形中，有，

.

故选：C

8．平行四边形内接于椭圆，椭圆的离心率为，直线的斜率为1，则直线的斜率为（    ）

参考知识：椭圆内接平行四边形的对称中心就是椭圆的对称中心.

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用点差法求得直线的斜率.

【详解】，

设，

设是的中点，由于是的中点，所以，

所以直线的斜率为.

，

两式相减并化简得，

即.

故选：A

二、多选题

9．过点且与圆相切的直线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】过圆外一点求圆的切线，先讨论直线斜率不存在时是否满足；当斜率存在时设直线方程，用圆心到直线的距离等于半径求斜率从而得到直线方程.

【详解】当斜率不存在时直线满足题意.

当斜率存在时，设直线方程为，由直线与圆相切得

，解得，故切线方程为.

故选：AC

10．下列关于曲线的说法正确的是（    ）

A．当时，曲线表示圆；

B．当时，曲线表示焦点在轴的椭圆；

C．点是曲线的对称中心；

D．曲线表示椭圆时，其焦距为.

【答案】ACD

【分析】根据给定的方程，结合圆、椭圆的定义、性质逐项判断作答.

【详解】曲线，

对于A，当时，方程为表示圆心在原点，半径为的圆，A正确；

对于B，当时，方程为，，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，B不正确；

对于C，曲线上任意点，显然有，

即点也在曲线上，因此点是曲线的对称中心，C正确；

对于D，曲线表示椭圆，则，令曲线的半焦距为c，则，

因此椭圆的焦距，D正确.

故选：ACD

11．下列结论正确的是（    ）

A．若三点共线，则的值为0；

B．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为；

C．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1；

D．与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有三条.

【答案】ACD

【分析】根据三点共线、直线与线段有公共点、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，，

由于三点共线，所以共线，

所以，A选项正确.

B选项，，结合图象可知，直线的斜率的取值范围为，

所以B选项错误.

C选项，圆的圆心为，半径为，

圆心到直线的距离为，所以圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，

C选项正确.

D选项，当直线过原点时，设直线方程为，

圆心到直线的距离等于半径，

即，解得，直线方程为或.

当直线不过原点时，设直线方程为，

圆心到直线的距离等于半径，

即，解得或（舍去）.

直线方程为，

综上所述，与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有三条，D选项正确.

故选：ACD

12．过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为，如果，那么点的轨迹可能是（    ）的一部分

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．线段

【答案】BC

【分析】设出过点的椭圆的切线的方程并与椭圆方程联立，消去后利用判别式、根与系数关系求得点的轨迹方程，从而确定正确答案.

【详解】依题意可知直线和直线的斜率存在，

设过的椭圆的切线方程为，

由消去并化简得：，

其，

整理得，，

其，整理得，符合题意，

所以，

整理得①，，

当时，，①即，

即点的轨迹是圆的一部分.

当或时，，由于，所以点的轨迹是椭圆的一部分.

故选：BC

【点睛】求解直线和圆锥曲线的位置关系的题目，联立方程组后，消元化简的运算量一般比较大，要注意运算的准确性.另外还要注意判别式和二次项系数要符合题意.

三、填空题

13．已知直线过圆的圆心，且与直线平行，则的方程是___________.

【答案】

【分析】求出圆心坐标，再利用给定条件设出直线l的方程，代入求解作答.

【详解】圆的圆心为，依题意，设直线l的方程，

因此，解得，

所以直线的方程是.

故答案为：

14．过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为中点，则直线的方程为___________.

【答案】

【分析】结合点差法求得直线的方程.

【详解】椭圆，

由，令得：，所以在椭圆内，

同时，当直线的斜率不存在，即直线时，，

不是线段的中点，所以直线的斜率存在.

设，则，

两式相减并化简得，

即，

所以直线的方程为，即.

故答案为：

15．实数满足，那么的最大值为___________.

【答案】

【分析】判断点的轨迹，然后结合斜率以及图象求得的最大值.

【详解】得，

所以点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆的上半部分，

表示点与点连线的斜率，

过作半圆的切线，切点为，如下图所示，则，

由于，

所以三角形是等腰直角三角形，所以直线的斜率为，

也即的最大值为.

故答案为：

16．现有两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】由得，然后利用圆与圆的位置关系列不等式来求得的取值范围.

【详解】由于，所以，

由于直径所对的圆周角是直角，

所以，以线段为直径的圆与圆有公共点，

线段为直径的圆，圆心为，半径为（），

圆的方程可化为，所以圆心为，半径为，

圆心距，

所以，解得，

所以的取值范围是.

故答案为：

四、解答题

17．已知直线，直线与相交于点；

(1)求点的坐标；

(2)若经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）通过联立和的方程来求得点的坐标.

（2）先求得直线的横纵截距，利用与两坐标轴围成的三角形的面积列方程来求得.

【详解】(1)依题意，

由解得，

所以.

(2)依题意，

由于经过点，所以①，

由令得，

令得，

所以②，

由①②解得.

18．已知圆的方程为：

(1)求实数的取值范围.

(2)当圆半径最大时，点在圆上，点在直线上，求的最小值.

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）方程配方化为圆的标准方程，由右边大于0可得；

（2）由（1）得圆半径，由函数性质得最大值，从而得值，求出圆心坐标，然后求得圆心到已知直线的距离，确定直线与圆相离，由距离减半径得最小值．

【详解】(1)方程配方得：，它表示圆，

则，解得；

(2)由（1），时，，

圆方程为，圆心为，

圆心到直线的距离为，已知直线与圆相离，

所以的最小值是．

19．在正方体中，直线与平面交于点.

(1)求证：直线平面；

(2)若，求的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得直线平面.

（2）计算出，由此求得.

【详解】(1)设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，

，

，

所以，

所以，

由于平面，

所以平面.

(2)连接，由于平面，平面，

所以.

根据正方体的性质可知，

在直角三角形中，，

所以，

所以，

所以，所以.

20．已知椭圆的左､右焦点分别为和，离心率是，直线被椭圆截得的弦长等于2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程.

（2）联立直线的方程和椭圆的方程，求得两点的坐标，进而求得，结合到直线的距离求得的面积.

【详解】(1)由令得，解得，所以，

结合，解得，

所以椭圆的标准方程为.

(2)由解得或

不妨设设，即，

所以，

原点到直线的距离为，

所以.

21．已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)若是椭圆上异于点的两动点，当的角平分线垂直于椭圆长轴时，试问直线的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】(1)

(2)是定值，定值为

【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.

（2）根据直线、直线的方程求得两点的坐标，从而计算出直线的斜率为定值.

【详解】(1)依题意得，解得，

所以椭圆方程为.

(2)依题意可知直线和直线的斜率存在且互为相反数，

设直线的斜率为，则直线的斜率为，

直线的方程为，

由消去并化简得，

，

则，根据直线、直线的对称性可知.

设，则，

，则，

故，

以替换，得，

所以，

所以直线的斜率为定值.

22．已知点在椭圆上，直线的斜率之积是，且.

(1)求椭圆的方程；

(2)若过点的直线与椭圆交于点，且，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）点代入椭圆方程，得，直线的斜率之积是，得，∴，得到椭圆方程.

（2）当直线斜率不存在时；当直线斜率存在，直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，得关于的一元二次方程，由，得，由结合韦达定理，得，解的取值范围即可.

【详解】(1)椭圆方程改写为:，点在椭圆上，

有，，两式相乘，得：，

由，得，

由直线的斜率之积是，得，即，

∴，，椭圆的方程为：.

(2)过点的直线若斜率不存在，则有，，此时；

当过点的直线斜率存在，设直线方程为，由，消去，得，直线与椭圆交于点两点，

∴，得

设，，

由韦达定理 ，消去 ，得，

由，，∴，由，解得，

综上，有，∴的取值范围为