河南省洛阳市2022-2023学年高二上学期期中数学理科试题

洛阳市2022——2023学年第一学期期中考试

高二数学试卷（理）

本试卷共4页，共150分。考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线在y轴上的截距是（）

A．5    B．－5    C．10    D．－10

2．已知，，则线段AB的长为（）

A．39    B．7    C．5    D．

3．已知直线：与：垂直，则实数a的值为（）

A．0或3   B．0或－3   C．－3    D．0

4．若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间另一个基底的是（）

A．，，      B．，，

C．，，      D．，，

5．已知直线l：和圆C：交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小为（）

A．    B．    C．    D．

6．已知四面体ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，则（）

A．    B．

C．     D．

7．已知，当变化时，直线过定点（）

A．   B．   C．   D．

8．已知直线AB的方向向量为，平面的法向量为，给出下列命题：

①若则直线．

②若，则直线．

③记直线AB与平面所成角的为，则．

④若，，则点C到平面的距离．

其中真命题的个数是（）

A．4    B．3    C．2    D．1

9．圆关于直线对称的圆的方程为（）

A．      B．

C．     D．

10．已知点D在确定的平面内，O是空间任意一点，实数x，y满足，则：的最小值为（）

A．    B．   C．1    D．2

11．在四面体中，平面平面DBC，且，，则直线BC与平面ABD所成角的余弦值为（）

A．    B．    C．   D．

12．若圆上至少有三个不同的点到直线l：的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）

A．   B．  C．   D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量．若，则______．

14．已知，两点到直线l：的距离相等，则______．

15．在棱长为1的正方体中，M是底面内动点，且平面，当最大时，三棱锥的体积为______．

16．若点P在直线上移动，过P作圆的切线，切点分别为A，B，则的最小值为______．

三、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知的三个顶点是，，．

（1）求边BC的垂直平分线的方程；

（2）求经过AB，AC两边中点的直线的方程．

18．（12分）如图，平行六面体的底面是菱形，且，．

（1）求的长；

（2）求异面直线与所成的角．

19．（12分）已知平面直角坐标系中有，，，四点．

（1）判断这四点是否共圆？若共圆，求出该圆的方程；若不共圆，说明理由；

（2）一条光线从点射出，经过x轴反射后与的外接圆相切．求反射光线所在直线的方程．

20．（12分）在直角梯形ABCD中，，，，如图（1）．把沿BD翻折，使得平面平面BCD，如图（2）．

（1）求证：；

（2）若M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离．

21．（12分）已知两定点，，动点P满足，直线l：．

（1）求动点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状；

（2）记动点P的轨迹为曲线E，把曲线E向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后得到曲线，求直线l被曲线截得的最短的弦长；

（3）已知点M的坐标为，点N在曲线上运动，求线段MN的中点H的轨迹方程．

22．（12分）如图，长方体中，，点E在棱CD上且平面．

（1）求的值；

（2）求平面与平面夹角的余弦值．

洛阳市2022——2023学年第一学期期中考试

高二数学试卷（理）参考答案

一、选择题

1-5 DBBCC  6-10 AACBA  11-12 DB

二、填空题

13．27  14．1或－4  15．  16．

三、解答题

17．解：（1）∵，边BC的中点为，

∴边BC的垂直平分线的方程为，

即．

（2）设经过AB，AC中点的直线为l，

∵经过AB，AC中点的直线l平行BC，

∴．

又∵AB的中点为，∴l的直线方程为，

即经过AB，AC中点的直线的方程．

18．解（1）设，，，构成空间的一个基底．

因为，

所以

，

所以．

（2）又，，

所以

∴

∴异面直线与所成的角为90°．

19．解：（1）设经过A，B，D三点的圆的标准方程是，

将A，B，D三点坐标分别代入，

得，∴．

所以经过A，B，D三点的圆的标准方程是，

将代入上面方程左边得．

所以点C在经过A，B，D，三点的圆上，即A，B，C，D，四点共圆．

过A，B，C，D四点的圆的方程为．

（2）根据光的反射原理，作与点关于x轴对称的点，从M点发出的光线经x轴反射后，反射光线所在直线就是由向圆所作的两条切线，

设切线方程为，即．

所以，解得，或，

所以反射光线所在直线的方程为或，

即或．

20．（1）证明：在中，，，

∴，∴．

∵平面平面BCD，平面平面，平面BCD，

∴平面ABD．又∵平面ABD，∴．

（2）解：以D为原点，DB，DC所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，如图，

由条件可得，，，．

∴，．

设平面ACD的法向量，则，，

∴，∴

令，得平面ACD的一个法向量为），又，

∴点M到平面ACD的距离．

21．解：（1）设点，

由得，化简得．

∴动点P的轨迹方程是，轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆．

（2）∵曲线E的方程为，

∴曲线的方程为，

又∵直线l可化为，

∴，∴．

∴直线l恒过定点．

由平面几何知识可知，当直线l垂直于时被截得的弦长最短．

∵，，∴最短弦长为．

（3）设，，

所以，∴——①

∵点N在圆：上运动，

∴．——②

把①代入②得，即．

∴点H的轨迹方程是．

22．解：（1）如图，以D为原点，以DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，，设，

则，，，，，

∴，，，

∵平面，∴，

∴，解得，即，∴，∴．

（2）由（1）可知为平面的法向量，

又，，

设平面的法向量为，则，∴．

令可得，∴，

∴平面与平面夹角的余弦值为