2022-2023学年四川省宜宾市第四中学校高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年四川省宜宾市第四中学校高二上学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．若，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用不等式的基本性质可判断A，采用作差法逐一判断选项B,C,D的正误即可.

【详解】对于选项A：因为，，所以，故A不正确；

对于选项B：由于，因为，，所以，所以，即，故B正确；

对于选项C：因为，所以，故C不正确；

对于选项D：因为，所以，故D不正确.

故选：B.

2．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.

【详解】解：因为命题“，”是存在量词命题，

所以其否定是全称量词命题，即“，”.

故选：C.

3．椭圆x2+4y2=4的焦点坐标为（    ）

A．（±2，0） B．（0，±2） C． D．

【答案】C

【分析】将椭圆的方程化为标准方程，写出a，b的值，再由a，b，c之间的关系求出c的值，可得焦点的坐标．

【详解】椭圆x2+4y2=4的标准方程为：，可得a2=4，b2=1，可得c2=a2-b2=4-1=3，

所以，焦点在轴上，故焦点为.

故选：C．

4．已知向量，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用向量平行和垂直的坐标表示逐个分析判断即可

【详解】对于A，因为，，所以，所以与不平行，所以A错误，

对于B，因为，，所以，所以与不垂直，所以B错误，

对于C，因为，，所以，因为，所以与不平行，所以C错误，

对于D，因为，，所以，所以，所以D正确，

故选：D

5．已知直线，直线，若直线与直线互相垂直，则实数的值为（    ）

A．2或－1 B．－1 C．2 D．

【答案】D

【分析】根据垂直关系列方程，即可得解.

【详解】因为直线与直线互相垂直，

所以，.

故选：D

6．若变量、满足约束条件，则目标函数取最大值时的最优解是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出满足约束条件的可行域，平移直线，即可得出结果.

【详解】作出满足约束条件的可行域（如图中阴影部分所示）.

可化为，

平移直线，

当其经过点时，目标函数取得最大值，

联立，解得，，

故最优解是，

故选：C.

7．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题知，再解不等式即可.

【详解】解：方程表示焦点在轴上的椭圆，

，解得：．

故选：D．

8．不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求解一元二次不等式可得的解集，再由题意得关于的不等式组求解即可.

【详解】由不等式，得，

∵不等式成立的一个充分不必要条件是，

∴⫋，

则且与的等号不同时成立，解得，

∴的取值范围为，

故选：D．

【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，属于中档题.

9．椭圆的以为中点的弦所在直线的方程是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】设直线与椭圆交于，则，

两式相减得，

因为弦的中点坐标，所以 ，代入得到 ，

所以，即斜率 ，且过点，

所以直线方程是 ，化简为，

故选D.

10．设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ）

A． B．3 C． D．2

【答案】B

【分析】根据双曲线方程可得焦点坐标，，由得出点在以为直径的圆上，根据勾股定理和双曲线的定义可得，结合三角形面积公式计算即可.

【详解】由已知，不妨设，，因为，

所以点在以为直径的圆上，即是以为直角顶点的直角三角形，

故，即，又，

所以，

解得，所以，

故选：B．

11．已知椭圆C的焦点为，，过的直线与C交于A，B两点．若，，则椭圆C的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，用表示，，由椭圆定义得，判断出，故点为椭圆的上（下）顶点，设，由得，代入椭圆方程即可得解，求得后再得，可得椭圆方程．

【详解】设，则，，

由椭圆定义知，

所以，

所以，

故点为椭圆的上（下）顶点，设，

由，得，

点在椭圆上，故，

解得，又由，可得，

故椭圆方程为．

故选：D．

【点睛】关键点点睛：本题考查了椭圆基本量的运算，考查了椭圆的定义，关键点是把几何关系转化为数量关系，考查了转化思想，有一定的计算量，属于基础题．

12．已知椭圆和双曲线有相同焦点与，设椭圆和双曲线的离心率分别为，为两曲线的一个公共点，且(其中O为坐标原点），则的最小值为（    ）

A． B．10 C． D．15

【答案】C

【分析】利用椭圆、双曲线的定义，确定，利用离心率的定义，结合基本不等式，即可得出结论．

【详解】解：由题意设焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，不妨令在双曲线的右支上

由双曲线的定义①，

由椭圆的定义②，

又，即，所以，即，

故③，

①②得④，

将④代入③得，

，

当且仅当，即时取等号；

故选：C

二、填空题

13．已知圆与圆关于直线对称，则直线方程______．

【答案】

【分析】求得两圆的圆心，可得过两圆心直线的斜率和中点坐标，根据对称性可得直线斜率，从而求得直线的方程.

【详解】解：圆，圆心为，半径

圆，经整理为，其圆心为，半径；

故中点为， ，

由对称性知，

，整理得直线l的方程为.

故答案为：

14．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.

【答案】

【分析】作出函数和函数在区间上的图象，由图象得出为增函数且，由此可解出实数的取值范围.

【详解】如下图所示：

由上图所示，当时，不等式恒成立，则函数为增函数，且有，所以，解得，因此，实数的取值范围是，

故答案为.

【点睛】本题考查对数不等式的求解，在利用数形结合思想求解时，要充分分析出函数的单调性，并抓住一些关键点进行分析，列出不等式组进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

15．已知、是等轴双曲线的左、右焦点，点在上，，则等于___________.

【答案】

【分析】利用余弦定理结合双曲线的定义可求得的值.

【详解】解：∵双曲线的方程为：，∴，得，

由此可得、，焦距，

∵，∴，

即，①

又∵点在双曲线上，∴，

平方得，②

① ②，得，

故答案为：.

16．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面,则球的表面积为__________．

【答案】

【详解】根据题意及边长关系得到BC=2,CD=3,BD=因为平面故得到 三角形ABC为直角三角形，三角形ACD也为直角三角形，故球心在AD的中点上，球的半径为

故答案为.

点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.

三、解答题

17．命题，，命题，使得成立.

（1）若为真，为假，求实数的取值范围.

（2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由得真时的范围，由得题所表示的集合为，进而由，一真一假，列式求范围即可；

（2）设命题表示的集合为，再由列式求解即可.

【详解】（1）命题，，

则，解得，

∴命题所表示的集合为，

命题，使，即，

∵为增函数，∴解得，

∴命题所表示的集合为，

若为真，为假，则，一真一假，

①若真假，则，解得，

②若假真，则，解得，

综上，的取值范围为.

（2）设命题表示的集合为，

若是的充分不必要条件，则，即，

∴，∴的取值范围为.

18．已知点，圆

（1）若过点A只能作一条圆C的切线，求实数a的值及切线方程；

（2）设直线l过点A但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线l被圆C截得的弦长为2，求实数a的值.

【答案】（1），切线方程：或，切线方程：；（2）或

【分析】（1）由切线条数可确定在圆上，代入圆的方程可求得；根据在圆上一点处的切线方程的结论可直接写得结果；

（2）设直线方程，代入点坐标得到；利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，根据直线被圆截得的弦长可构造方程求得.

【详解】（1）过点只能作一条圆的切线    在圆上

，解得：

当时，，则切线方程为：，即

当时，，则切线方程为：，即

（2）设直线方程为：    

直线方程为：

圆的圆心到直线距离

，解得：或

【点睛】本题考查过圆上一点的切线方程的求解、根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题；关键是能够熟练掌握直线与圆问题的常用结论：

1.过圆上一点的切线方程为：；

2.直线被圆截得的弦长等于.

19．如图双曲线的焦点为，过左焦点倾斜角为的直线与交于两点．

(1)求弦长的值；

(2)求的周长．

【答案】(1)3

(2)

【分析】（1）联立直线l与椭圆的方程，消元整理得，根据根与系数的关系可求得弦长；

（2）根据双曲线的定义可求得三角形的周长.

【详解】（1）解：因为双曲线的焦点为，所以，

设．

联立，整理得：，

.

（2）解：记的周长为，则．

，又得．

点在右支，故．

同理：点在左支，．

20．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，，.

(1)当P为B1C的中点时，求证：A1B1平面APC1；

(2)试在线段B1C上找一点P（异于B1，C点），使得，并证明你的结论；

(3)当时，求多面体A1B1C1PA的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)当时，证明见解析

(3)

【分析】（1）由线面垂直的性质定理得线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明；

（2）由线面垂直的判定定理证明线面垂直后可得线线垂直；

（3）由三棱柱的体积减去两个三棱锥的体积可得．

【详解】（1）连接交于O点，连接.

因为为棱柱，所以O为的中点，又P为的中点，所以，

因为平面，所以平面.

（2）当时，.

因为为直棱柱，所以；

又，交于C点，平面，

所以平面，平面，所以

又，，平面，

所以平面，平面，所以．

（3）为直棱柱，所以，又，，所以.

由（2）知，当时，，此时，.

所以；

；

.

所以多面体的体积为.

21．已知椭圆的离心率为，点在上.

（1）求的方程；

（2）设直线与交于，两点，若，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题可得，，再结合点在上，代入即可解出，得出椭圆方程；

（2）设，的坐标为，，联立直线与椭圆，由韦达定理结合建立方程，即可求出k值.

【详解】（1）解：由题意得，

所以，

①，

又点在上，

所以②，

联立①②，解得，，

所以椭圆的标准方程为.

（2）解：设，的坐标为，，依题意得，

联立方程组消去，

得.

，

，，，

，

∵，

∴，

，

所以.

【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查利用韦达定理求参数，属于中档题.

22．已知椭圆以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线与椭圆交于，两个不同的点，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】(1)由给定条件求出椭圆C1的半焦距，短半轴长即可得解；

(2)设出直线的方程，联立直线与椭圆的方程组，消去x得关于y的一元二次方程，借助韦达定理表示出面积的关系式，再利用对勾函数的性质即可作答.

【详解】（1）直线过定点，即椭圆的一个焦点为，

依题意：椭圆的半焦距，短半轴长，长半轴长a有，

所以椭圆的标准方程为；

（2）显然点在椭圆内部，即直线与椭圆必有两个不同的交点，

由题意得直线不垂直于y轴，设直线的方程为，

由消去整理得,

设，，则，,

从而有

，

令，函数在单调递增，

则，即时，，

于是有，当且仅当时等号成立，

所以面积的最大值为．