2023届四川省宜宾市第四中学校高三上学期12月月考数学（文）试题（解析版）

2023届四川省宜宾市第四中学校高三上学期12月月考数学（文）试题

一、单选题

1．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据图象判断出阴影部分为，由此求得正确答案.

【详解】，

由图象可知，阴影部分表示.

故选：A

2．已知i为虚数单位，复数z满足，则z的虚部为（    ）

A．2 B．1 C．－2 D．－1

【答案】A

【分析】令，则，利用可得答案.

【详解】令，则，

，

，∴，

，∴，

故选：A．

3．2020年10月1日是中秋节和国庆节双节同庆，很多人外出旅行或回家探亲，因此交通比较拥堵.某交通部门为了解从A城到B城实际通行所需时间，随机抽取了台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在内，按通行时间分为，，，，五组，频率分布直方图如图所示，则这台车中通行时间少于分钟的共有（    ）

A．台 B．台 C．台 D．台

【答案】A

【解析】根据直方图计算通行时间少于分钟的频率，然后利用频率乘以样本总数计算.

【详解】由频率分布直方图可知，通行时间少于分钟的共有台.

故选：A.

4．已知等比数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设数列的公比为，根据已知条件求出和，进而可求得的值.

【详解】设数列的公比为，则，即，解得.

因为，所以，则.

故选：B.

5．执行如图所示的程序框图，则输出的实数m的值为

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】C

【详解】试题分析：分析框图可知输出的应为满足的最小正整数解的后一个整数，故选C．

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先记，化简整理，由函数解析式，判定奇偶性，再判断时，，进而可得出结果.

【详解】记，

则，

因此函数是偶函数；故排除BC；

当时，，，因此；排除D；

故选：A.

【点睛】本题主要考查判定函数图像的识别，熟记函数的性质即可，属于常考题型.

7．为得到函数的图象，只需把函数的图像（    ）

A．向左平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】D

【分析】根据三角函数平移变换和诱导公式依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，向左平移个单位得：，A错误；

对于B，向左平移个单位得：，B错误；

对于C，向右平移个单位得：，C错误；

对于D，向右平移个单位得：，D正确.

故选：D.

8．已知抛物线的焦点是F，点P的坐标为．若，则a的值是（    ）

A．4 B．3 C．4或一4 D．3或

【答案】D

【分析】求出抛物线的焦点，利用距离公式可得答案

【详解】由题意知，则，所以．

故选：D．

9．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意可得数字黑洞为123，然后利用诱导公式即得.

【详解】根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，

所以数字黑洞为123，即，

∴.

故选：D.

10．有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，乙说：“甲、丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学的话只有两句是对的，则当选的同学是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】C

【分析】根据“四位同学的话只有两句是对的”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立，从而解决问题.

【详解】若甲当选，则都说假话，不合题意；

若乙当选，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意；

若丁当选，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意；

故当选是丙.

故选：C.

【点睛】本题考查的是推理的应用，主要考查逻辑思维和推理能力，解决此类问题的基本方法是假设法，属于基础题.

11．已知分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上关于x轴对称的不同两点，设直线的斜率分别为，若，则椭圆的短轴长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据椭圆方程确定点A、B的坐标，设点P坐标，根据对称性可得点Q的坐标，利用两点坐标公式求出斜率，进而列出方程，解方程即可.

【详解】根据椭圆的标准方程知，

设，则，且，，，

所以，解得，

即椭圆的短轴长为

故选C．

12．设，，，则a、b、c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用，构造且研究单调性比较大小，构造且研究单调性判断函数值符号比较的大小，即可得结果.

【详解】由，

因为，，则，，

令且，则，则递减，

所以，即，则，故；

因为，，由，

令且，则，则递增；

故，，而，

所以，则，即，

综上，.

故选：D

【点睛】关键点点睛：利用中间值得到，构造利用导数研究单调性比较，作差法并构造研究函数值符号比较大小.

二、填空题

13．已知向量，，若与垂直，则的值为______．

【答案】-10

【分析】先求得的坐标，再根据与垂直求解.

【详解】因为向量，，

所以，

因为与垂直，

所以，

解得，

故答案为：-10

14．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点,则=______．

【答案】

【分析】根据三角函数的定义，求出sinα，利用二倍角公式可得cos2α的值．

【详解】由三角函数的定义，r，

可得：sinα，

可得：cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（）2．

故答案为．

【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．

15．直三棱柱的各个顶点都在球O的球面上，且．若球O的表面积为，则这个三棱柱的体积是_________．

【答案】

【分析】由已知直三棱柱的底面为直角三角形，所以其外接球的球心位于侧面的中心，根据球的半径计算棱柱的高即可求出棱柱的体积．

【详解】解：，，，

直三棱柱外接球的球心即为侧面的中心，

设球半径为，则，

，即，

直三棱柱的高，

直三棱柱的体积，

故答案为：．

16．已知函数，若函数恰有四个不同的零点，则实数的取值范围为______．

【答案】

【分析】由可得出或，数形结合可得出方程、的根的个数，可得出关于实数的不等式，解之即可.

【详解】，

令，可得或.

作出函数的图象如下图所示：

由图可知，直线与函数的图象只有一个交点，

所以，直线与函数的图象有三个交点，所以，，解得.

故答案为：.

三、解答题

17．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，，，后得到如图的频率分

布直方图．

（1）求图中实数的值；

（2）若该校高一年级共有学生1000人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数．

（3）若从样本中数学成绩在，与，两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的概率．

【答案】（1）a=0.03．（2）850（人）．（3）．

【详解】试题分析：（1）由频率分布直方图的性质能求出的值；（2）先求出数学成绩不低于分的概率，由此能求出数学成绩不低于分的人数；（3）数学成绩在的学生为分，数学成绩在的学生人数为人，由此利用列举法能求出这名学生的数学成绩之差的绝对值大于的概率．

试题解析：（1）由频率分布直方图，得：

0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，

解得a=0.03.

（2）数学成绩不低于60分的概率为：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，

∴数学成绩不低于60分的人数为：

1000×0.85=850（人）．

（3）数学成绩在[40，50）的学生为40×0.05=2（人），

数学成绩在[90，100]的学生人数为40×0.1=4（人），

设数学成绩在[40，50）的学生为A，B，数学成绩在[90，100]的学生为a，b，c，d，

从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，

基本事件有：{AB}，{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，{ab}，{ac}，{ad}，{bc}，

{bd}，{c，d}，

其中两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的情况有：

{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，共8种，

∴这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的概率为．

【解析】频率分布直方图；古典概型及其概率的求解．

18．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

(1)求角C的值；

(2)若，D为AB的中点，求中线CD的范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理化简可得出，结合角为锐角可求得结果；

（2）由余弦定理可得出，利用平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算可得出，利用正弦定理结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围，可得出的取值范围，即可得解

【详解】（1）由，

，

，，，．

（2），，，

由余弦定理有：，，

所以，，

由正弦定理，，，，

，

，因为为锐角三角形，所以且，

则，,则，．

19．如图，在三棱柱中，平面，，，，M为棱的中点.

(1)证明：平面；

(2)求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由平面，证得，结合，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面.          

（2）由平面，证得平面，得到到平面的距离为，结合棱锥的体积公式，即可求解.

【详解】（1）证明：∵平面，平面，∴，

又∵，且，平面，

∴平面.

（2）解：∵平面，，∴平面，

即到平面的距离为，

又由，所以.

20．已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于点P..

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点F的直线与C交于A，B两点，与圆交于D，E两点，若，求直线的方程，

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合抛物线的定义求得点的坐标，代入抛物线的方程，由此求得，从而求得抛物线的方程.

（2）设直线，结合直线与抛物线相交所得弦长、直线与圆相交所得弦长以及已知条件列方程，化简求得，从而求得直线的方程.

【详解】（1）依题意，设.

由抛物线的定义得，解得.

因为在抛物线上，所以，

所以，解得，

故抛物线C的方程为.

（2）依题意，直线的斜率存在，F的坐标为，设直线.

联立得，故，

则.

圆的圆心为，半径为，

因为坐标原点O到直线的距离，

所以，

因为，即，

化简整理得，

解得，

故直线的方程是.

21．已知函数

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求的单调区间；

（3）若关于x的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：

【答案】（1）；（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（3）证明见解析.

【分析】（1）求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解；

（2）由，分和两种情况讨论导函数的正负，可得函数的单调区间；

（3）分析可得要证，，令，利用导数证得，即可得证．

【详解】（1），，

，，

所以在点处的切线方程为，

整理得：，

（2）函数定义域为，

当时，，此时在上单调递增；

当时，令，得，

此时在上，单调递减，

在上，单调递增，

综上：时，在上单调递增

时，在上单调递减，在上单调递增；

（3）证明：由（2）可知，当时，才有两个不相等的实根，且，

则要证，即证，即证，

而，则，否则方程不成立），

所以即证，化简得，

令，则，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以（1），而，

所以，

所以，得证．

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是通过证明即可得解，分析函数在极小值左侧的单调性，关键再由证明，利用构造函数的方法即可.

22．在平面直角坐标系中，曲线：，曲线：(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系

（1）求曲线，的极坐标方程：

（2）射线：(，)分别交曲线，于，两点，求的最大值.

【答案】（1）：，：；（2）最大值为.

【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程､极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.

（2）利用极径的应用和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出最大值.

【详解】（1）曲线：，根据，转换为极坐标方程为，整理得，

曲线：(为参数)，转换为直角坐标方程为，根据转换为极坐标方程为.

（2）射线：(，)交曲线于点，

所以，

所以，

射线：(，)交曲线于点两，

所以，

所以，

故，

当，即时，的最大值为.

【点睛】坐标系与参数方程问题常用处理方法：

(1)把极坐标方程和参数方程分别化成直角坐标方程，根据解析几何的知识进行求解计算；

(2)有时利用极坐标的意义，用极径的几何意义分别表示线段长度，可简化运算．

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）依题意可得，再利用零点分段法分类讨论，分别计算可得；

（2）依题意可得对于恒成立，即在上恒成立，即可得到不等式组，解得即可；

【详解】解：（1）即，

所以或或

解得或或，即或，

所以原不等式的解集为.

（2）即.

因为不等式的解集包含，

所以对于恒成立.

因为，所以，，

所以等价于，即恒成立，

所以在上恒成立，

所以解得，即实数的取值范围为.

【点睛】本题是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集∅的对立面(如f(x)＞m的解集是空集，则f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.