2022-2023学年天津市第二十五中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年天津市第二十五中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角.

【详解】直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为，故选C.

【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.

2．已知四面体ABCD，=，=，=，点M在棱DA上，=，N为BC中点，则＝（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件用表示出，再借助向量加法法则即可得解.

【详解】在四面体ABCD中，连接DN，如图所示，

=，=，=，因=，N为BC中点，则，，

于是得.

故选：C

3．若直线，平行，则实数的值为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.

【详解】由于，，解得.

故选：B.

【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题.

4．已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】若△AF1B的周长为4,

由椭圆的定义可知,,

,,

，

所以方程为，故选A.

【解析】椭圆方程及性质

5．若方程表示的曲线为圆，则的取值范围是（    ）

A． B．或 C． D．

【答案】B

【解析】根据二元二次方程表示圆的条件，可以求得若方程表示圆，必有，即可求出的取值范围.

【详解】方程表示圆，必有，

即，解可得，或，

故选：B.

【点睛】本题考查二元二次方程表示圆的条件，若方程表示圆，则有，考查计算能力，属于基础题.

6．已知圆关于直线对称的圆的方程为，则（    ）

A．-2 B． C．-4 D．

【答案】C

【解析】求出的圆心关于对称点，即可写出圆的标准方程，故可求得出

【详解】本题考查圆的方程和圆的几何性质.

 圆的圆心是坐标原点，半径为1，易得点关于直线对称的点的坐标为，所以圆关于直线对称的圆的方程为，化为一般式为，所以，即.

故选：C

【点睛】求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：

(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；

(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．

7．已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的一条切线，切点为B，则线段的长为（    ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】D

【分析】由直线过圆心求得，求出到圆心距离，由勾股定理求得切线长．

【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径．

由题意可得，在直线l上，

故有，解得，则点，

故，

则．

故选：D．

8．两直线和之间的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】把两个方程中对应项系数化为相同，然后由平行间距离公式计算．

【详解】方程化为，

所求距离为．

故选：A．

9．已知线段两端点的坐标分别为和，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据直线方程可得直线的斜率k，且过定点，根据两点坐标求出直线PA、PB的斜率、，当时且；当时，满足题意.

【详解】由直线，知直线恒过定点，

由，得直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，

当时，直线的斜率为，

所以，解得或；

当时，满足题意.

所以m的取值范围为.

故选：A

10．设曲线上的点到直线的距离的最大值为，最小值为，则的值为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将曲线化成圆的方程的形式，结合图像，过曲线上任意一点作平行于直线的直线，可得到当直线的方程为时，直线与直线的距离为，然后利用圆心到直线的距离减去半径可得，进而可得到答案.

【详解】由可知，，且，即曲线是以为圆心，半径为1的半圆，

过曲线上任一点作平行于直线的直线，如下图所示：

其中实线为直线，虚线为直线，

曲线上的点到直线的距离可转化为直线与直线之间的距离，

结合图像易知，当直线过时，直线与直线之间的距离最大，

即曲线上的点到直线的距离最大，易知此时直线的方程为：，

由平行线间的距离公式可得，，

因为到直线的距离为，

所以曲线上的点到直线的距离的最小值为，

从而.

故选：D.

二、填空题

11．设圆和圆交于，两点，则线段的所在直线的方程为___________.

【答案】

【分析】先求解两圆的圆心和半径，由可得两圆相交，将两圆的方程作差消去平方项即得交线的方程

【详解】由题意，圆的圆心

圆的圆心

两圆的圆心距离，

故，因此两圆相交

圆

圆

两式作差可得：，即为两圆交线的所在直线的方程

故的所在直线的方程为

故答案为：

12．直线与圆交于，两点，则的面积为___________.

【答案】

【分析】圆的标准方程为，计算圆心到直线的距离为，，计算面积得到答案.

【详解】，即，圆心，.

圆心到直线的距离为，，

.

故答案为：.

13．与直线相切于点且半径为1的圆的标准方程为________.

【答案】或.

【分析】根据题意求得圆心，从而可得出答案.

【详解】解：与直线相切于点且半径为1的圆的圆心为或，

所以所求圆的标准方程为或.

故答案为：或.

14．已知椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，若是以为顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________.

【答案】．

【分析】由椭圆对称性得，从而得离心率．

【详解】是以为顶点的等腰直角三角形，则为短轴顶点，

所以，，

故答案为：．

15．设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是__________．

【答案】

【详解】分析：设直线与轴的交点为，连接．由线段的中垂线过点，可得，所以．因为，由因为，所以．变形可得，进而可得，所以．根据椭圆的离心率，可得．

详解：

设直线与轴的交点为，连接，

∵的中垂线过点，

∴，可得，

又∵，且，

∴，即，

∴，，结合椭圆的离心率，得，

故离心率的取值范围是．

点睛：求圆锥曲线的离心率，应从条件得到关于的关系式．解题过程注意的关系．

（1）直接根据题意建立的等式求解；

（2）借助平面几何关系建立的等式求解；

（3）利用圆锥曲线的相关细则建立的等式求解；

（4）运用数形结合建立的等式求解．

三、解答题

16．求下列椭圆的标准方程

(1)长轴长为，离心率为；

(2)以点，为焦点，经过点.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）分别讨论椭圆的焦点在轴上和轴上，结合已知条件求出，和即可求解；

（2）结合已知条件可知椭圆的焦点在轴上，且，可得到，再将点代入椭圆方程即可求解.

【详解】（1）椭圆的标准方程分以下两种情况：

①椭圆焦点在轴上时，设椭圆标准方程为：，，焦距为，

由题意可知，，即，

由离心率，可得，

又由，得，

故椭圆标准方程为：；

②椭圆焦点在轴上时，设椭圆标准方程为：，，焦距为，

由题意可知，，即，

由离心率，可得，

又由，的，

故椭圆标准方程为：，

故椭圆的标准方程为：或.

（2）由题意可知，椭圆的焦点在轴上，设椭圆标准方程为：，，焦距为，即，

故 ①，

又因为在椭圆上，

所以，即 ②，

联立①②可得，，，

故椭圆的标准方程为：.

17．在长方体中，，，点､分别是直线､直线的中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：点到平面的距离；

(3)求直线与平面的夹角.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）设,连接，则可得四边形是平行四边形，即得从而可证.

（2）以点为坐标原点，以、、为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求解.

（3）由（2）建立的空间坐标系，利用向量法可求解.

【详解】（1）（1）设,连接.

由题得四边形是平行四边形，

所以又平面，不在平面内，

所以平面；

（2）以点为坐标原点，以、、为，，轴建立空间直角坐标系，

则：，0，，，2，

，2，，，1，，，2，,

,,

设为平面的一个法向量，则

所以，取。可得

点到平面的距离为

（3）,设直线与平面的夹角为

则

所以

18．已知圆过点，，圆心在直线

(1)求圆的标准方程；

(2)求过点的圆的切线方程.

【答案】(1)

(2)和

【分析】(1)结合已知条件，利用圆心在圆上任意两点的中垂线可求出圆心，然后再求出半径即可求解；(2)首先利用点和圆的位置关系可知点在圆外，进而得出切线的条数，然后设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径可求出切线斜率，进一步求出切线方程即可，若斜率只有一个值，则其中一条切线的斜率不存在，结合已知条件求解即可.

【详解】（1）由题意，过和的直线的斜率，和的中点为，

从而和的连线的垂直平分线为：，化简，

由圆的性质可知，圆心在上，

又因为圆心在直线，

所以由，解得，即圆的圆心为，

又因为圆过点，所以圆的半径，

故圆的标准方程为：.

（2）因为，所以在圆的外部，

故由圆的性质过点的圆的切线有两条，

设过点的圆的切线方程：，即，

由直线和圆相切可得，圆心到直线的距离，解得，

从而所求切线方程为：，化简得，

由圆的性质可知，另外一条切线的斜率不存在，其方程为：.

故过点的圆的切线方程为和.

19．如图，在三棱锥中，平面平面，，，分别为､的中点，，.

(1)求点到直线的距离

(2)求平面与平面夹角的余弦值

(3)已知是平面内一点，点为中点，且平面，求线段的长.

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）通过题中关系可推出△为等边三角形，进而可得解；

（2）通过证明，，可得即为所求，进而可得解；

（3）建立空间直角坐标系，设，利用可得坐标，进而得距离.

【详解】（1）（1）,为中点，所以，

平面平面，平面平面，所以平面，

因为，所以，

，所以,

连接，则，所以，

所以△为等边三角形，所以点到直线的距离为；

（2）平面平面，，平面平面，

所以平面，所以

易知，满足，所以，

又，平面，所以平面，

平面，所以.

所以即为平面与平面夹角，

，所以；

（3）

如图建立空间直角坐标系，是平面内一点，设，

，点为中点，，

，，

由平面，可得，

解得.所以，.

所以

20．已知椭圆的离心率为，且椭圆过点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过右焦点的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值．

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）考虑直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，当直线斜率不存在时，求出，当直线斜率存在时，设出直线方程，联立后利用弦长公式求出，再表达出直线PQ的方程，表达出，用基本不等式求解最小值，与比较大小，求出最小值.

【详解】（1）由题意得：，解得：，

所以椭圆方程为

（2）由（1）知：，

当直线的斜率不存在时，，，，

此时，

当直线的斜率存在时，故可设直线为，

联立椭圆方程得：，

设，则，

其中

所以，

其中，

所以，

因为直线PQ为线段MN的垂直平分线，

所以直线PQ：，

令得：，

所以，

故，

因为，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以，

因为，所以的最小值为2.

【点睛】圆锥曲线求解取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，表达出线段长或面积等，最后用基本不等式或配方，求导等求解最值或取值范围.