2022-2023学年天津市第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年天津市第一中学高二上学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年天津市第一中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．已知点A（1，-1），B（1，2），则直线AB的倾斜角为（    ）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】由两点的横坐标相等，得出倾斜角.【详解】由题意可知，两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角为.故选：D2．抛物线的焦点到其准线的距离是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】求出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得解；【详解】解：抛物线的焦点为，准线方程为，所以焦点到准线的距离；故选：A3．椭圆的焦距是2，则m的值是A．5 B．5或8 C．3或5 D．20【答案】C【详解】试题分析：因为焦距是，所以，当焦点在轴时，解得：，当焦点在轴时，解得：，故选择C．【解析】椭圆简单的几何性质．4．若圆被直线平分，且直线与直线垂直，则直线的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知得直线过圆心，再根据垂直可得直线方程.【详解】因为圆被直线平分，所以圆心在直线上，又直线与直线垂直，设直线的方程为，把，代入上式，解得，所以直线的方程为，故选：B.5．若圆：与圆：相切，则的值可以是（    ）A．16或-4 B．7或-7 C．7或-4 D．16或-7【答案】A【分析】根据两圆位置关系，以及二元二次方程表示圆，列出关系式求解即可.【详解】因为表示圆，故，解得：；对圆，其圆心为，半径；对圆，其圆心为，半径；当两圆外切时，，即，解得；当两圆内切时，，即，解得；综上所述：的取值可以为或.故选：.6．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.7．已知双曲线的一条渐近线过点，是的左焦点，且，则双曲线的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据一条渐近线过点，可确定，再结合，，推得为等边三角形，从而确定，可求得双曲线方程.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，点在一条渐近线上，如图示：所以，则，且两条渐近线的倾斜角分别为60°，120°，则 ,又，（为坐标原点），所以为等边三角形，从而,由，，解得，，所以双曲线的方程为,故选：A.8．设A，B为双曲线Γ：的左，右顶点，F为双曲线Γ右焦点，以原点O为圆心，为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线的一个交点为M，连接AM，BM，则tan∠AMB=（    ）A．4 B． C．2. D．【答案】A【分析】首先求点的坐标，并判断轴，这样中，直接求解.【详解】，以原点O为圆心，为半径的圆的方程是，设点是圆与渐近线在第一象限的交点，，解得：，即 ，轴，中， 故选：A【点睛】本题考查圆与双曲线的方程，双曲线的渐近线，三角函数的简单综合问题，意在考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.9．已知双曲线：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，.以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，且点在第一象限，与另一条渐近线平行.若，则的面积是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据与渐近线平行，得到是等边三角形，，从而求出各边长，由勾股定理求出，结合渐近线斜率求出，从而求出，，从而求出的面积.【详解】过点M作MB⊥x轴于点B，OM与ON是双曲线的两条渐近线，故，因为与渐近线ON平行，所以，故，因为，所以，所以是等边三角形，，故，，，因为，由勾股定理得：，即，又因为，所以，由得：，从而，解得：，所以，则，，故.故选：A10．曲率半径可用来描述曲线在某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小，已知椭圆：上点处的曲率半径公式为.若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值为4，最小值为，则椭圆的标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据，得到，结合，确定的最大值和最小值，得到立与，联立求出，求出椭圆方程.【详解】因为点在椭圆上，则，即，所以，因为，所以当时，取得最大值，最大值为，此时取得最大值，为，当时，取得最小值，最小值为，此时取得最小值，为，联立与，解得：，所以椭圆方程为：.故选：D 二、填空题11．己知直线：，与双曲线：的一条渐近线垂直，则__________.【答案】4【分析】求得双曲线的渐近线方程，根据直线垂直列出等量关系，即可求得结果.【详解】对双曲线：，其渐近线方程为，对直线：，且斜率为，根据题意可得，解得.故答案为：.12．与：外切于原点，且被轴截得的弦长为4的圆的标准方程为__________.【答案】【分析】根据两圆的位置关系，结合弦长公式，求得圆心和半径，即可得解.【详解】对圆：，其圆心的坐标为，半径，设所求圆的圆心为，半径为，因为所求圆与圆外切于原点， 故可得，且；又所求圆被轴截得的弦长为4，故，联立上式可得：，，故所求圆的标准方程为：.故答案为：.13．如果数满足等式,那么的最大值是__________.【答案】【分析】化简等式,可得到满足椭圆方程,故用线性规划把看做与椭圆上点连线的斜率,临界条件为相切,联立可得的取值范围,即得的最大值.【详解】解:由题知,,即,所以可以看做在椭圆上的点,记,即,即是与椭圆上点连线的斜率,当直线与椭圆相切时,斜率可取得最值,联立直线和椭圆,即,可得,因为相切,所以,所以,所以,故答案为:.14．已知椭圆：的焦点为，，短轴端点为，若，则__________.【答案】1【分析】根据题意可得，列出等量关系，即可求得结果.【详解】对椭圆：，其，又，故，，根据椭圆的对称性，因为，故可得，解得.故答案为：.15．已知直线与抛物线：的准线相交于点A，O为坐标原点，若则抛物线的方程为___________.【答案】【分析】由抛物线方程求得准线方程，联立直线方程求得点坐标，再根据斜率，即可求得，则问题得解.【详解】对抛物线：，其准线方程为：，又其与直线交于点，故可得点的坐标为，因为，则，解得，则抛物线方程为：.故答案为：.16．已知双曲线：的右焦点，过点作一条渐近线的垂线，垂足为M，若与另一条渐近线交于点N，且满足，则该双曲线的离心率为____________.【答案】【分析】根据的正切值，结合渐近线的斜率，即可列出等量关系，求解即可.【详解】根据题意，作图如下：设点坐标为，其到渐近线：的距离，因为，显然，又因为，故可得，在中，，设，则，又，故，解得：，故双曲线的离心率.故答案为：. 三、解答题17．已知抛物线：的焦点到双曲线的渐近线距离为，且抛物线的焦点与椭圆：的右焦点F重合，直线与椭圆相交于A，B两点，若.(1)求抛物线的标准方程；(2)求椭圆的标准方程.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据点到直线的距离公式，结合题意，即可求得参数以及抛物线方程；（2）根据椭圆的定义，结合题意，即可求得以及椭圆方程.【详解】（1）抛物线：的焦点为，双曲线的一条渐近线为，根据题意可得：，解得，故抛物线的标准方程为：.（2）取椭圆的左焦点为，连接，如下所示：根据椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，故，解得，根据题意，，又，解得，故椭圆的标准方程为：.18．直线：，圆：，圆：.(1)求直线被圆截得的弦长；(2)过直线上一点作的一条切线，切点为，当最小时，求外接圆的方程.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）求得圆的半径长度，以及点到直线的距离公式，结合弦长公式求解即可；（2）根据题意求得满足题意的点的坐标，求得线段的长度以及其中点的坐标，即可求得外接圆方程.【详解】（1）对圆：，其圆心，半径，点到直线的距离，故直线被圆截得的弦长为；（2）对圆：，其圆心，半径，因为为直角三角形，故，当最小时，显然最小，此时即为点到直线的距离，故满足题意时，，设此时点的坐标为，由，可得，故点坐标为，因为为直角三角形，故其外接圆圆心为线段的中点，半径为，则外接圆的方程为：.19．已知椭圆：的离心率为，且短轴长等于双曲线：的实轴长.(1)求椭圆的标准方程；(2)若，为椭圆上关于原点对称的两点，在圆：上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程..【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）根据题意，列出满足的等量关系，求解即可；（2）根据的长度求得，结合弦长公式，即可求得结果.【详解】（1）由椭圆的离心率为可得：；对双曲线，其实轴长为，故可得，又，解得，则椭圆的标准方程为：;（2）根据题意，，因为为等边三角形，由，可得.当直线的斜率不存在时，此时不满足题意，故直线的斜率存在，设其为，则直线方程为，联立椭圆方程可得：，根据题意，显然有，设坐标分别为，则，，解得，故直线的方程为：或.20．已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，两个焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，过与平行的直线与椭圆交于，D两点（点A，D在x轴上方）.(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ABCD面积的最大值以及此时直线的方程，【答案】(1)；(2)，. 【分析】（1）根据椭圆的离心率以及椭圆上的一点，求得，则椭圆方程得解；（2）根据四边形为平行四边形，将问题转化为求三角形面积的最大值；设出直线的方程，利用弦长公式和点到直线的距离公式表达其面积，再求最小值即可.【详解】（1）根据题意可得：，又，解得：，故椭圆的标准方程为：.（2）根据（1）中所求可得的坐标为，根据题意，连接作图如下：根据椭圆的对称性，四边形为平行四边形，设其面积为，故，当直线斜率为零时，显然不满足题意，故直线的斜率不为零，设其方程为：，联立椭圆方程：可得：，设的坐标分别为，则，，点到直线的距离，，令，则，故对函数，，故在单调递增，在单调递减，故，当且仅当，即时取得等号；故四边形ABCD面积的最大值为，此时直线的方程.【点睛】关键点点睛：处理问题的关键是能够根据四边形的形状，将四边形面积最大值的问题转化为求三角形面积的问题.