2022-2023学年四川省绵阳市江油市太白中学高二（下）质检数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省绵阳市江油市太白中学高二（下）质检数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知命题：，，则为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

2.  复数是纯虚数的充分不必要条件是(    )

A. 且 B.  C. 且 D.

3.  已知，，，均为实数，下列不等关系推导成立的是(    )

A. 若，
B. 若，
C. 若，
D. 若，

4.  下列每组中的函数是同一个函数的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5.  已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  我国明朝数学家程大位著的算法统宗里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  下列函数中，图像关于原点对称且在区间上单调递增的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  已知函数为，则的大致图象是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  高斯函数也称取整函数，记作，是指不超过实数的最大整数，例如，，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域下列关于高斯函数的性质叙述错误的是(    )

A. 值域为 B. 不是奇函数
C. 为周期函数 D. 在上单调递增

12.  若，不等式成立，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  在复平面内，复数对应的点位于第______ 象限．

14.  函数的单调递增区间为______ ．

15.  已知函数且，则的值为______ ．

16.  已知偶函数在区间上单调递增，且满足，给出下列判断：；在上是增函数；的图象关与直线对称；函数在处取得最小值；函数没有最大值，其中判断正确的序号是          ．

三、解答题（本大题共7小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
设全集，，．
当时，求，；
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18.  本小题分
函数是定义在上的奇函数，且．
确定的解析式；
判断在上的单调性，并证明你的结论；
解关于的不等式．

19.  本小题分
一艘渔船在进行渔业作业的过程中，产生的主要费用有燃油费用和人工费用，已知渔船每小时的燃油费用与渔船速度的立方成正比，已知当渔船的速度为海里小时时，燃油费用是元小时，人工费用是元小时，记渔船的航行速度为海里小时，满足，记渔船航行一个小时的主要费用为元主要费用燃油费人工费，渔船每航行海里产生的主要费用为元．
用航行速度海里小时表示出航行一小时的主要费用元；
用航行速度海里小时表示出航行海里产生的主要费用元；
求航行海里产生的主要费用元的最小值，及此时渔船的航行速度海里小时的大小．

20.  本小题分
已知二次函数的图像与直线只有一个交点，且满足，．
求二次函数的解析式；
若对任意，，恒成立，求实数的范围．

21.  本小题分
已知函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
设，讨论函数的单调性；
若对任意的，，当时，恒成立，求实数的取值范围．

22.  本小题分
如图，曲线是著名的笛卡尔心形曲线．它的极坐标方程为曲线是经过极点且在极轴上方的圆，其圆心在经过极点且垂直于极轴的直线上，直径为．
求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线交点的极坐标；
以极点为坐标原点，极轴所在的直线为轴，经过极点且垂直于极轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为为参数若曲线与曲线相交于除极点外的，两点，求线段的长度．

23.  本小题分

已知．

当时，求不等式的解集

若时，，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由特称命题的否定形式可知：，，为：，．
故选：．
根据特称命题的否定形式判定即可．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为复数是纯虚数的充要条件是且，
又因为且是且的充分不必要条件，
所以且是复数为纯虚数的充分不必要条件．
故选：．
运用纯虚数的定义求出参数的范围，结合集合的包含关系即可求得结果．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由，，可得，则选项A判断错误；
由，，可得，则选项B判断错误；
，又，则则选项C判断错误；
由，可得，又，
则，则则选项D判断正确．
故选：．
举反例否定选项AB；求得的正负判断选项C；求得的大小关系判断选项D．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：对于，函数的定义域为，函数的定义域为，
所以这两个函数不是同一个函数；
对于，因为，且，的定义域均为，所以这两个函数是同一个函数；
对于，，和的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于，函数的定义域为，且，函数的定义域为，
所以这两个函数不是同一个函数．
故选：．
根据相同函数的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了函数的基本性质，判断两个函数是否相同，需要判断定义域与对应法则是否相同，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
的对称轴为，
要使在上是增函数，
需满足：，
故选：．
求出函数的对称轴，根据函数的单调性求出的范围即可．
本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
所以．
故选：．
根据导数的定义可得．
本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：当时，，函数在上单调递增，
在上单调递减，所以，即；
若函数的值域是，则需当时，．
当时，在上单调递增，
此时，不合题意；
当时，在上单调递减，
此时，即，则，
所以，显然，解得，又，所以．
综上所述，实数的取值范围是．
故选：．
首先求出在上的取值范围，依题意需当时，，分、两种情况讨论，结合对数函数的性质计算可得．
本题主要考查了函数的单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：当时，，，不满足退出循环的条件；
当时，，，不满足退出循环的条件；
当时，，，不满足退出循环的条件；
当时，，，不满足退出循环的条件；
当时，，，不满足退出循环的条件；
当时，，，满足退出循环的条件；
故输出的值为．
故选：．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由函数的图像关于原点对称且在区间上单调递增，
可得为奇函数，且在递增．
对于，，为奇函数，在上递减；
对于，为奇函数，但在不单调；
对于，的定义域为，且，即为奇函数，
又且在递减；
对于，，有，为奇函数，在递增．
故选：．
由题意可得为奇函数，且在递增．由奇偶性的定义和常见函数的单调性，可得结论．
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：函数．
可得函数，显然时，导函数，函数是增函数；排除，；
时，，不是函数的极值点，排除，
故选：．
求出函数的导数判断函数的单调性，然后判断选项即可．
本题考查函数的导数的应用，函数的图象的判断，考查转化思想以及计算能力．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，，依次分析选项：
对于，由的解析式可得值域为，正确，
对于，，例如，，则不是奇函数，B正确，
对于，根据题意，，则为周期函数，C正确，
对于，由函数的解析式可得在上不是增函数，D错误，
故选：．
根据题意，写出的解析式，依次分析选项，综合可得答案．
本题考查分段函数的性质以及应用，注意理解“取整函数”的定义，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为，
此时不等式等价于，
可得，
即，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以函数在上单调递增，
此时，
即，
可得，
解得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
即，
所以．
故选：．
由题意，根据，将不等式转化成，构造函数，利用导数求函数的单调性得到，参变分离结合函数的最值即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
 

13.【答案】一 

【解析】解：复数对应的点位于第一象限．
故答案为：一．
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
令得：，
所以单调递增区间为．
故答案为：．
由导数与单调性的关系求解．
本题考查函数的单调性，解题关键是求导分析符号，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
所以，
所以，
故答案为：．
由函数的解析式发现，它是由一个奇函数加一个常数的形式，再注意到已知的函数值和要求的函数值，它们的自变量互为相反数，所以可以直接代入利用奇函数的性质求解．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了抽象函数的奇偶性，单调性和周期性，属于较难题．
根据偶函数的性质，得出函数的周期为，结合函数单调性，模拟函数图象，判断结论即可．

【解答】

解：由得到，
再结合函数为偶函数，，
，将换做得：，
，所以函数的周期是．
在中，
令时，得，所以，
又周期为，，所以正确；
在区间上单调递增，
是偶函数，图像关于轴对称，
又，函数图象关于点对称，
函数在区间上单调递增，在上减，在上增，
函数的大致图象可模拟如下：

故函数在处可取得最小值，函数在处可取得最大值，
轴和都是函数的对称轴，而不是对称轴，
所以错误，错误，正确，错误；
故答案为．

17.【答案】解：令可得，解得，
所以，或
当时，，
所以，
或．
由“”是“”的充分不必要条件可得，集合是集合的真子集，
又，，
所以，解得，
故实数的取值范围为． 

【解析】解不等式可得集合，将代入解出集合，根据集合基本运算即可求得结果；
根据题意可得集合是集合的真子集，根据集合间的基本关系即可求得实数的取值范围．
本题考查充分不必要条件的定义，集合运算、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：因为是定义在上的奇函数，且，
所以，，
所以，，；
在上的单调递增，
理由如下：设，
则，
所以，
所以在上的单调递增；
由得，
故，
解得，
故的取值范围为． 

【解析】由已知结合奇函数的性质及代入即可求解，，进而可求函数解析式；
结合函数的单调性的定义即可判断；
结合函数的单调性及奇偶性即可求解．
本题主要考查了函数解析式的求解，还考查了函数单调性的判断及利用单调性求解不等式，属于中档题．
 

19.【答案】解：设渔船每小时的燃油费用为元，由题设可设，
又当渔船的速度为海里小时时，燃油费用是元小时，
得，，
航行一小时的主要费用为：，；
；
，则；
由，得到，，得到，
可得函数的增区间为，减区间为，
故当时，，
即当航行速度为海里小时时，航行海里产生的主要费用有最小值元． 

【解析】设，代入数据计算得到，得到的解析式．
确定，计算得到答案．
求导得到单调区间，计算最值得到答案．
本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：因为二次函数的图像与直线只有一个交点，
，
所以二次函数的对称轴为，
设，
由题意可得，
所以，解得，
所以．
由得，
因为在区间单调递增，
所以，
所以，对恒成立，
即，对恒成立，
所以且，
所以或或．
所以． 

【解析】由已知可得二次函数的对称轴和最值，设出函数解析式，再由求得结论；
由的单调性得出的最小值，而关于的不等式是一次时的，只要和时成立即可，由此可解得的范围．
本题考查了二次函数的性质、转化思想，属于中档题．
 

21.【答案】解：当时，，则，
当时，，切点坐标为，
又，切线斜率为，
曲线在处切线方程为：．
，，
，，
，，
当时，成立，
的单调递减区间为，无单调递增区间．
当时，令，
所以当时，，在上单调递减
时，，在上单调递增
综上：时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
，，，
令，，
由已知可得：
且，
的单调区间是，
，，
时，恒成立，
，，
令，，即证，
成立，
的单调递减区间为，
，恒成立，
综上：的取值范围是． 

【解析】将代入函数中，对函数求导，求出切线斜率，利用点斜式即可；
先对原函数求导，然后利用分类讨论的思想进行分析求解即可；
构造函数，将问题转化，然后利用函数导数的单调性求解即可．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：曲线是著名的笛卡尔心形曲线．它的极坐标方程为，
曲线的极坐标方程为，
与方程联立代入得，，
解得或，
曲线和曲线交点的极坐标分别为，
曲线为过原点倾斜角为的直线，
其极坐标方程为和，
联立两曲线和的方程，解得两交点的极坐标分别为，，
． 

【解析】根据圆的极坐标方程方程求出，联立曲线和曲线的方程，求出交点即可．
写出的极坐标方程，求出，的极坐标，由极坐标的意义求出线段的长度．
本题考查极坐标方程、线段长度的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

23.【答案】解：当时，，
，
当时，，恒成立，
；
当时，恒成立，
；
综上，不等式的解集为．
时，．
当时，在上恒成立；
当时，
若，，
，成立
若，则，不满足题意；
所以当时，不满足题意；
综上，的取值范围为． 

【解析】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，关键是掌握相关知识，逐一分析解答即可，属于中档题．
将代入得，然后分和两种情况讨论即可；
根据条件分和两种情况讨论即可．