2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市一中普高联谊校高一上学期10月期中考试数学含答案

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考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：必修一第三章结束.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用交集的定义运算即可.
【详解】由题意可知.
故选：D
2. 命题“”的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据命题的否定的概念求解.
【详解】命题“”的否定是，
故选:C.
3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】B
【解析】
【分析】结合函数的定义求得正确答案.
【详解】A选项，的值域为,的值域为，所以不是同一函数.
B选项，，所以两个函数是同一函数，B选项正确.
C选项，中；中，所以不是同一函数.
D选项，中；
中或，所以不是同一函数.
故选：B
4. 已知、，且，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由不等式的基本性质可判断A选项；取，，可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，因为，由不等式的基本性质可得，A对；
对于B选项，取，，则，B错；
对于C选项，取，，则，C错；
对于D选项，取，，则，D错.
故选：A.
5. 若函数的定义域为，则实数m的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据解析式的特点列出限定条件，求解可得答案.
【详解】因为的定义域为，所以恒成立，
当时，显然成立；
当时，有，解得；
综上可得实数m的取值范围为.
故选：C.
6. “关于的不等式的解集为”的一个充分不必要条件是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出关于不等式的解集为的充要条件，即可判断.
【详解】若关于的不等式的解集为，
当时，，显然成立；
当时，则，解得；
综上可得.
即关于的不等式的解集为的充要条件为，
因为，
所以关于的不等式的解集为的一个充分不必要条件可以是.
故选：C
7. 某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中同时参加数、理、化三科竞赛的有7名，没有参加任何竞赛的学生共有10名，若该班学生共有51名，则只参与两科竞赛的同学有（）人
A. 19B. 18C. 9D. 29
【答案】A
【解析】
【分析】设只参加数理的有a人，只参加数化的有b人，只参加理化的有c人，由题意画出Venn图求解.
【详解】解：设只参加数理的有a人，只参加数化的有b人，只参加理化的有c人，
由题意画出Venn图，如图所示：
则只参加数学竞赛的有：人，只参加物理竞赛的有人，只参加化学竞赛的有：人，
所以参加竞赛的有人，
由题意得，
解得，
所以只参与两科竞赛的同学有19人，
故选：A
8. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据是定义在上的偶函数，得到，解得，结合函数奇偶性得到在上单调递减，从而列出不等式，求出不等式的解集.
【详解】因为是定义在上的偶函数，
所以，解得：，
因为在上单调递增，所以在上单调递减，
因，所以，
故，解①得：或，
解②得：，故
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若集合，且，则集合可能是（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据子集关系逐项进行判断可得答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，，，，
故选：ABD
10. 在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率小数点后第n位上的数字为y，下列结论正确的是（）
A. y不是n的函数
B. y是n的函数，且该函数定义域为
C. y是n的函数，且该函数值域为
D. y是n的函数，且该函数在定义域内不单调
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数的定义以及函数单调性性质一一判断各选项，即可得答案.
【详解】由题意可知圆周率小数点后第n位上的数字y是唯一确定的，即任取一个正整数n都有唯一确定的y与之对应，
因此y是n的函数，且该函数定义域为，值域为，
并且y在每个位置上的数字是确定的，比如取到小数点后面4个数字时为，故函数不具有单调性，
故A错误，正确,
故选：
11. 已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（）
A.B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由基本不等式逐一判断．
【详解】对于A，当为负数时不成立，故A错误，
对于B，，则，故B正确，
对于C，，则都为正数，，
当且仅当，即时等号成立，故C正确，
对于D，，
当且仅当和同时成立，即时等号成立，故D正确，
故选：BCD
12. 已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由，利用条件②和③判断选项AB；得，根据，由②得到，再根据，利用②判断选项C；根据，，利用②得到，再由③得到，，进而再由②判断.
【详解】因为，由②得，，，由③得，故A正确，B错误；
因为，由②得，所以，故C正确；
因为，，由②得，由③得，，由②得，由③得，由②得，故D正确；
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若函数满足，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式，令，即可求得答案.
【详解】因为函数满足,
故令，可得，
故答案为：.
14. 已知幂函数在上单调递增，则实数的值为________．
【答案】
【解析】
分析】
由函数是幂函数可得，由单调性可得，即可求解.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，即，
解得：或，
当时不满足在上单调递增，
当时，在上单调递增，
所以，
故答案为：
15. 已知正实数，满足，则的最小值为________________.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解．
【详解】因为，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
16. 已知函数且在上恒成立，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式在上恒成立，按照分段函数，分段处理，结合参变分离求最值即可得实数a的取值范围.
【详解】解：在上恒成立，
则当时，恒成立，所以，又，即，
故当时，，所以；
当时，恒成立，所以，
又
当且仅当，即时，等号成立，所以，所以；
综上，实数a的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知全集，，，求：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用集合的交集运算求解；
（2）利用集合的补集和并集运算求解.
【小问1详解】
解：因为，，
所以.
【小问2详解】
因为或，
所以或.
18. 设集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】先利用补集概念求，再结合交集概念求；
由“”是“”的充分不必要条件，可得，再建立不等关系求m的取值范围即可.
【小问1详解】
由题意知当时，，故，
而，故．
【小问2详解】
由“”是“”的充分不必要条件，可得为的真子集，
又，故需满足且中等号不能同时取得，
解得，
综上所述：的取值范围为
19. 已知函数为上的奇函数，且当时，.
（1）求的解析式；
（2）解不等式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性求得的解析式.
（2）根据函数的奇偶性、单调性化简不等式，从而求得不等式的解集.
【小问1详解】
是定义在上的奇函数，所以，
当时，，所以.
所以.
【小问2详解】
由于二次函数的开口向上，对称轴为，
所以在上递增，故在上递增，
由，得，
所以，
所以不等式的解集为.
20. 已知二次函数．
（1）若，求的值；
（2）讨论在区间上的最小值．
【答案】（1）；
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据，列出方程，即可求解；
（2）根据二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解.
【小问1详解】
解：由二次函数，
因为，可得，解得.
【小问2详解】
解：由函数的图象开口向上，且对称轴为，
①当时，即时，此时在区间上单调递增，
则；
②当时，即时，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以；
③当时，即时，此时在区间单调递减，
则，
综上可得，当时，；
当时，；
当时，．
21. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米.
（1）设的长为米，试用表示矩形的面积；
（2）当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小?并求出最小值.
【答案】（1）
（2）的长为2米时，矩形花坛的面积最小，最小值为24平方米.
【解析】
【分析】（1）设的长为米，则米，由得到AM，然后由求解；
（2）由，利用基本不等式求解.
【小问1详解】
解：设的长为米，则米，
∵，∴，
∴；
【小问2详解】
记矩形花坛的面积为，
则，
当且仅当，即时取等号，
故的长为2米时，矩形花坛的面积最小，最小值为24平方米.
22. 若函数.
（1）讨论的解集；
（2）若时，总，对，使得恒成立，求实数b的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）分类讨论a的范围，根据二次方程根的分布情况，解不等式即可；
（2）令，原题等价于，对使得恒成立，再根据恒成立与有解关系分别转化即可求出实数b取值范围.
【小问1详解】
已知，
①当时，时，即；
②当时，，
若，，解得，
若，，解得或，
若，，解得，
若时，，解得或，
综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为.
【小问2详解】
若，则，，
令，原题等价于，对使得恒成立，
令，是关于的减函数，
对，恒成立，
即，
又，，
即，
故，解得或.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解综合问题，可按如下规则转化：
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④在上有解，则.