2023届黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校高三上学期期中数学试题含解析

2023届黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意先求出，再利用交集定义即可求解.

【详解】全集，集合，

则，故

故选：B

2．若命题，，则是

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】根据特称命题的否定是全称命题，得出选项.

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“命题，，”的否定是，，

故选A.

【点睛】本题考查特称命题与全称命题的关系，属于基础题.

3．在边长为3的正方形ABCD中，E是BC上靠近B点的三等分点，则（    ）

A．3 B．－3 C．－4 D．4

【答案】A

【分析】以为原点建立直角坐标系，写出相关坐标，得到，，代入计算即可.

【详解】以为原点建立如图所示直角坐标系，是上靠近点的三等分点，且边长为3，

所以，所以，

所以.

故选：A.

4．已知函数是幂函数，则实数m的取值为（    ）

A．1 B．0或2 C．1或2 D．无解

【答案】B

【分析】由幂函数定义求解即可

【详解】由幂函数定义知，

解得或2．

故选：B

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】以为整体，结合诱导公式和倍角公式化简求值.

【详解】∵，

∴

.

故选：C.

6．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种果树的高度随着栽种时间x（单位：年）变化的规律，若刚栽种（x＝0）时该果树的高为1.5m，经过2年，该果树的高为4.5m，则该果树的高度不低于5.4m，至少需要（    ）

A．3年 B．4年 C．5年 D．6年

【答案】A

【分析】根据函数模型解析式，代入值得到方程组，解出，则得到函数解析式，代入或列不等式均可.

【详解】由题意可得,,则,

解得,所以,，

由函数的解析式可得,在上单调递增,且,

故该果树的高度不低于,至少需要3年.

故选：A.

7．记为等差数列的前n项和．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用等差数列的通项公式、求和公式即可得出．

【详解】由题意可得，解得，

∴.

故选：C.

8．在锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先通过正弦定理边化角，确定A，C的关系，消元后用辅助角公式化简，结合正弦函数的图像和性质解出范围即可.

【详解】由正弦定理可得，即，∵，，可得，∴，即，∵为锐角三角形，可得，解得，∴，∵，可得，∴，∴.

故选：B.

二、多选题

9．若，则下列正确的选项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】由条件可知，再根据函数的单调性和不等式的性质判断选项.

【详解】因为，所以，

根据单调性和是单调递增函数，所以，，故A正确，B不正确；根据不等式的性质可知，故C正确；当时，，故D不正确.

故选：AC

【点睛】本题考查不等式的性质，函数的单调性，重点考查推理，属于基础题型.

10．已知正项的等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】由，根据等比数列的通项公式的计算，求得，进而求得通项公式和的值，再由，，结合选项，即可求解.

【详解】因为，可得，即，解得或，

又由正项的等比数列，可得，所以，所以A正确；

数列的通项公式为，所以B正确；

则，所以C不正确；

由，则，，所以，所以D正确.

故选：ABD.

11．已知函数的图象在点处的切线的斜率为2，则（    ）

A． B．有两个极值点

C．有2个零点 D．有1个零点

【答案】ABD

【分析】首先求导得，利用切线斜率与导数关系得到，解出值即可判断A选项，将代回原函数与导函数，利用导数与极值的关系，求出时的两根，即可判断B选项，利用零点存在定理和数形结合的思想即可判断其零点个数.

【详解】，由题得，，，故A正确，

，，令，或，

令，即，，令，则或，

在上单调递增，在上单调递减，

在取得极大值，在取得极小值，故有两极值点，故B正确，

又，，则且在上单调递增，且图像连续不断，故在上有一零点，

而，则其无其他零点，大致图像如图所示：

故C错误，D正确.

故选：ABD.

12．已知，则下列说法错误的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数为奇函数

C．函数在上的值域为

D．函数在区间上的零点个数为8

【答案】ABC

【分析】首先利用二倍角公式及同角平方和关系，化简，再利用最小正周期公式即可判断A；求出，根据奇函数的性质可判断其不是奇函数；先求出在，，最后确定值域，可判断C；对D选项，直接求出其在区间所有零点即可.

【详解】

，

对A选项，其最小正周期，故A错误，

对B选项，令，，故其不是奇函数，故B错误，

对C选项，，则，

故，故C错误，

对D选项，，显然其在零点为，共8个零点，故D正确.

故选：ABC.

三、填空题

13．已知平面向量，，若，则实数的值为______．

【答案】

【分析】计算出，再利用向量共线定理得到方程，解出即可.

【详解】，

，，则有，解得.

故答案为：.

14．若函数是奇函数，定义域为，周期为2．当时，．则________．

【答案】

【分析】根据函数的奇偶性和周期性，把所求函数的值中的自变量转化到的范围，得解.

【详解】由已知得：，所以 ，又，，

又，

，

故填：．

【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和周期性求函数的值的问题，关键在于将自变量转化到已知区间内，属于基础题.

15．已知等差数列的前n项和为，若，则______．

【答案】

【分析】根据等差数列前项和公式，得，再根据等差中项得到，，整体代入即可得到答案.

【详解】等差数列的前项和为，

，

故答案为：.

16．若正实数满足，则函数的零点的最大值为______．

【答案】

【分析】由题知函数的零点最大值为，再令，结合基本不等式得，，再根据其单调性求最大值即可.

【详解】解：令，因为正实数满足

所以

所以，由求根公式得，

所以，函数的零点最大值为

令，

因为，当且仅当时等号成立，

所以，，，

因为函数在均为增函数，

所以在为减函数，

所以，

所以的最大值为

所以，函数的零点的最大值为

故答案为：

四、解答题

17．设命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】

【分析】解出命题、中的不等式，由题意得出，由此可得出关于实数的不等式组，解出即可得出实数的取值范围.

【详解】解不等式，即，解得.

解不等式，解得.

所以，，，

由于是的必要不充分条件，则，，解得.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查利用必要不充分条件关系求参数的取值范围，一般转化为集合的包含关系，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.

18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．

(1)求角C；

(2)若，求a＋b的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据题意，利用正、余弦定理将角转化为边得出，再利用余弦定理求得，从而得出角C；

（2）由已知结合正弦定理边化角公式得，利用三角恒等变换整理得，最后根据正弦型函数的值域的求法，即可求得a＋b的取值范围.

【详解】（1）∵，则，

又∵，即，

则，整理得，则

∵，则.

（2）由正弦定理，得，

则

，

∵，则，

∴，则，

故a＋b的取值范围为.

19．已知等比数列的前n项和为，公比，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等比数列通项公式及等比数列前和公式，即可得到方程，解出，再写出其通项即可；

（2）首先得到，利用乘公比错位相减法即可得到通项公式.

【详解】（1）因为数列为等比数列，且公比，，

所以，解得，

故；

（2）由(1)得,

①

②

①②得

20．已知二次函数满足，且的最小值是．

(1)求的解析式；

(2)设函数，若函数在区间上是单调函数，求实数m的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）首先求出其对称轴为，利用待定系数法求出解析式为；

（2）由（1）得，利用导数求出其单调区间，列出不等式组即可得到答案.

【详解】（1）因为二次函数满足,所以其图像的对称轴为直线，又的最小值是,

所以.

因为,所以,故.

（2）因为，所以,

令，则或，令，则，

所以的单调递增区间为,单调递减区间为.

根据题意得解得.故实数的取值范围是.

21．已知向量，，，其中A、B、C为的内角，a，b，c为角A，B，C的对边.

（1）求C；

（2）若，且，求c.

【答案】（1）；（2）6.

【分析】（1）根据向量数量积坐标运算公式结合二倍角公式，得到关于一元二次方程，求解即可；

（2）由（1）结合已知得出，再由余弦定理，配方再将代入，得到关于的一元二次方程，求解即可得出结论.

【详解】（1），

对于，，

∴，∴.

又∵，

∴，

，或（舍去）

又，；

（2）∵，，∴，

由余弦定理，

∴，，

∴.

22．已知函数.

(1)当，时，求函数的图象在处的切线方程；

(2)证明：存在实数，当时，.

【答案】(1)

(2)证明见详解

【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；（2）先根据不等式性质放缩可得，构建新函数，利用导数证明.

【详解】（1）当，时，则，，

∴，，

即切点坐标，切线斜率，

故函数的图象在处的切线方程为，即.

（2）当时，，则，

令，则，

当时，则当时恒成立，

∴在上单调递增，则，

故对，，符合题意；

当时，则有：

∵，则，

若，则在时恒成立，

∴在上单调递增，则，

构建，则

构建，则当时恒成立，

∴在上单调递增，则，

∴在上单调递增，则，

故对，，符合题意，

综上所述：存在实数，当时，.

【点睛】利用导数证明不等式的基本步骤

(1)作差或变形；

(2)构造新的函数h(x)；

(3)利用导数研究h(x)的单调性及最值；

(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．

特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．