2022-2023学年河南省平顶山市宝丰县第一高级中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省平顶山市宝丰县第一高级中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．椭圆的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据椭圆方程直接求，再根据焦点的位置，写出焦点坐标.

【详解】由椭圆方程可知，，，所以，且焦点在轴，

所以椭圆的焦点坐标是.

故选：B

2．已知向量，，且，则向量与夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示可求得结果.

【详解】由空间向量数量积的坐标运算可得，解得，所以，，

所以，.

故选：C.

3．已知直线，当实数变化时，恒过点（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将直线的方程变形为，解方程组可得出直线所过定点的坐标.

【详解】直线的方程可化为，由，解得，

因此，直线恒过定点.

故选：B.

4．已知向量，．若与向量平行，则实数（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】先算出，在利用空间向量平行的性质求解

【详解】因为向量，

所以

又与向量平行

所以

所以 ，

故选：D.

5．直线被椭圆截得的线段长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出直线与椭圆的交点坐标，利用两点间的距离公式可求得结果.

【详解】联立，解得或，

所以，直线交椭圆于点、，

所以，.

故选：B.

6．已知直线与互相垂直，且交点为，则（    ）

A．24 B．20 C．18 D．10

【答案】C

【分析】首先根据两条直线垂直求，再根据两条直线过交点，代入后分别求.

【详解】因为两直线互相垂直，所以，得，直线为，代入交点，得，，再将交点代入直线，即，得，

所以.

故选：C

7．如图，在直三棱柱中，，，，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值.

【详解】在直三棱柱中，，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

，，则.

因此，异面直线与所成角的余弦值为.

故选：B.

8．若直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】考虑当直线与曲线相切且切点在第四象限时，实数的值；考查直线分别过点、时，直线与曲线的公共点个数，数形结合可得出实数的取值范围.

【详解】由可得，且，故曲线为圆的右半圆，

作出直线与曲线的图象如下图所示：

当直线即与曲线相切且切点在第四象限时，，且有，解得，

当直线过点时，直线与曲线有两个公共点，此时；

当直线过点时，直线与曲线只有一个公共点，此时.

结合图形可知，若时，直线与曲线只有一个公共点.

故选：A.

9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这样得到的圆称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系xOy中，，，动点P满足，则动点P形成的阿波罗尼斯圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设出点坐标，由进行化简，从而求得点的轨迹方程.

【详解】设，依题意，则，，

所以，

，.

故选：D

10．已知正四棱柱的底面边长为2，且该四棱柱的外接球表面积为，M为BC的中点，则点到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先根据正四棱柱与外接球的关系，求得四棱柱的高，再以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量公式求点到平面的距离.

【详解】设正四棱柱的高为h，由其外接球的表面积为，可知，外接球半径为，

所以，得．

以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，所以．

设平面的法向量为，则，可取，

则点到平面的距离为．

故选：D

11．已知圆与圆交于、两点，且四边形的面积为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，分析可知点为的中点，由四边形的面积为，可得出的长，利用勾股定理可得出关于的等式，解出的值，即可求得.

【详解】如下图所示：

圆的标准方程为，圆心为，半径为，

由题意可知，，，，，

所以，，所以，，

设，则为的中点，

故四边形的面积为，则，

故，所以，，

，又因为，

所以，，解得，因此，.

故选：C.

12．已知点为椭圆的左焦点，过原点的直线交椭圆于、两点，若，，则的离心率（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设椭圆的右焦点为，连接、，求出，利用椭圆的定义结合已知条件求出、，利用余弦定理可得出、的等量关系式，即可得出椭圆的离心率的值.

【详解】设椭圆的右焦点为，连接、，如下图所示：

因为过原点的直线交椭圆于、两点，则、关于原点对称，即为的中点，

又因为为的中点，所以，四边形为平行四边形，则，

所以，，

因为，且，所以，，，

由余弦定理可得，则，

因此，椭圆的离心率为.

故选：A.

二、填空题

13．若直线与平行，则直线与之间的距离为______．

【答案】##

【分析】利用两直线平行可求出的值，再利用平行线间的距离公式可求得直线与之间的距离.

【详解】因为，则，解得，

所以，直线的方程为，即，

直线的方程为，即，

所以，直线与之间的距离为.

故答案为：.

14．如图，圆与圆内切于点，与轴、轴分别相切于点、，则圆的半径为______．

【答案】

【分析】连接、、，则点在线段上，，，设圆的半径为，分析可知四边形为正方形，可得出关于的等式，解之即可.

【详解】连接、、，则点在线段上，，，设圆的半径为，

由切线长定理可得，因为，，，

所以，四边形为正方形，则其边长为，所以，，

故，解得.

故答案为：.

15．已知点在动直线上的射影为点M，若点，则的最大值为______．

【答案】

【分析】判断出点的轨迹，从而求得的最大值.

【详解】设动直线为，

动直线过点，

点在动直线上的射影为点M，

所以，所以点的轨迹是以为直径的圆，

圆心为，半径为，

，

所以的最大值为.

故答案为：

16．已知椭圆的两个焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，若，且的面积为，则的方程为______．

【答案】

【分析】利用椭圆的定义、余弦定理结合三角形的面积公式可求得的值，结合椭圆的离心率可求得的值，即可得出椭圆的方程.

【详解】设，，由椭圆的定义可得，

由余弦定理可得

，

所以，，则，

所以，，又因为，可得.

因此，椭圆的方程为.

故答案为：.

三、解答题

17．已知点，直线，直线过点且与平行，直线交圆于两点、．

(1)求直线的方程；

(2)求线段的长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设直线的方程为，将点的坐标代入直线的值，求出的值，可得出直线的方程；

（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得的值.

【详解】（1）解：设直线的方程为，

将点的坐标代入直线的方程可得，解得，

所以，直线的方程为.

（2）解：圆的圆心为，半径长为，圆心到直线的距离为，

因此，.

18．如图所示，平行六面体的底面是菱形，，，，，，设，，．

(1)试用，，表示，；

(2)求MN的长度．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将 当作基底，按照向量线性运算的规则计算即可；

（2）运用向量求模的方法计算.

【详解】（1）

如图，连接AM，AN， ，

，

，  ， ；

（2）由条件得： ，

，

，

；

综上，，，  .

19．已知椭圆的长轴长为10，焦距为6．

(1)求C的方程；

(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意得的值，由，即可得所求方程

（2）先用点差法及中点公式求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程.

【详解】（1）设C的焦距为，长轴长为，

则，

所以，所以，

所以C的方程为．

（2）设，

代入椭圆方程得

两式相减可得，

即．

由点为线段的中点，

得，

则l的斜率，

所以l的方程为，

即．

20．已知圆过点、、．

(1)求圆的方程；

(2)过直线上一点可作圆的两条切线、，切点分别为、，且，求点的坐标．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设圆的一般方程为，将题干中的三点坐标代入圆的一般方程，求出、、的值，即可得出圆的方程；

（2）连接、，计算出的值，设点，利用两点间的距离公式求出的值，即可得出点的坐标.

【详解】（1）解：设圆的一般方程为，

由题意可得，解得，

因此，圆的方程为.

（2）解：连接、，

圆的标准方程为，圆心为，半径为，

由切线长定理可得，又因为，，

，所以，，

因为，，

设点，则，解得或.

故点的坐标为或.

21．如图，四棱锥的底面是矩形，平面底面，平面底面，，，，为的中点．

(1)求证：；

(2)求平面与平面夹角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明出平面，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算出，即可证得结论成立；

（2）利用空间向量法以及同角三角函数的基本关系可求得平面与平面夹角的正弦值.

【详解】（1）证明：因为四边形为矩形，则，

因为平面底面，平面平面，平面，

平面，平面，，同理可证，

因为，、平面，平面，

又因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

，，，故.

（2）解：设平面的法向量为，，

则，取，可得，

由题意可知，平面的一个法向量为，

所以，，故.

因此，平面与平面夹角的正弦值为.

22．已知椭圆的离心率为，其右焦点到直线的距离为．

(1)求的方程．

(2)若点为椭圆的上顶点，是否存在斜率为的直线，使与椭圆交于不同的两点、，且？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出的值，利用离心率公式可求得的值，进而可求得的值，由此可求得椭圆的方程；

（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，对、两种情况讨论，在时直接验证；在时，求出线段的中点的坐标，利用结合可求得的取值范围.综合可得出结果.

【详解】（1）解：由题意可知，点到直线的距离为，解得，

又因为，则，所以，，

因此，椭圆的方程为.

（2）解：易知点，设直线的方程为，设点、，

联立可得，

，可得，

由韦达定理可得，，

若，则轴，此时、关于轴对称，则；

若，则，，

所以，线段的中点为，

则，所以，，

所以， ，解得且.

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.