2022-2023学年河南省郑州市回民高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省郑州市回民高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【解析】根据特称命题的否定是全称命题，得到结果.

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，

所以命题“，”的否定是：，，

故选：A.

【点睛】该题考查的是有关逻辑的问题，涉及到的知识点有含有一个量词的命题的否定，属于基础题目.

2．已知集合，则满足条件的集合的个数为（  ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【详解】求解一元二次方程，得

，易知.

因为，所以根据子集的定义，

集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，

原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.

【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.

3．函数的定义域为（    ）．

A． B．

C． D．且

【答案】D

【解析】根据函数的解析式有意义可得出关于的不等式组，进而可解得函数的定义域.

【详解】对于函数，有，解得且，

因此，函数的定义域为且.

故选：D.

4．设函数，则的值为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为时，

所以；

又时，，

所以故选A.

本题考查分段函数的意义,函数值的运算.

5．设则的大小关系是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由在区间是单调减函数可知，，又，故选.

【解析】1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.

6．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f（1）＝0，则不等式＜0的解集为（    ）

A．(－1，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(0，1)

【答案】C

【分析】利用函数奇偶性，等价转化目标不等式，再结合已知条件以及函数单调性，即可求得不等式解集.

【详解】∵f(x)为奇函数，故可得，

则＜0等价于.

∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f（1）＝0，

∴当x＞1时，f(x)＜0.

∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，

即x＜－1时，f(x)＞0.

综上使＜0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

故选：.

【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性解不等式，属综合基础题.

7．若定义在R上的函数满足：对任意，，有，则下列说法一定正确的是（    ）

A．为奇函数 B．为偶函数

C．为奇函数 D．为偶函数

【答案】C

【分析】令得，令，得到，根据奇偶性定义即可得答案.

【详解】对任意，有，

令，得.

令，，得.

整理得，故为奇函数.

故选：C

8．已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上单调递增，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用周期性可得、，结合奇函数及其区间单调性判断函数值大小即可.

【详解】∵，

∴，同理，

又奇函数在区间上单调递增，故在区间上单调递增，

∴，即.

故选：D

二、多选题

9．设偶函数在上单调递增，则下列大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】由偶函数性质求得，结合对数复合函数的单调性有，应用单调性判断函数值的大小关系.

【详解】因为函数是偶函数，则恒成立，所以，

又函数在上单调递增，所以在上单调递减，则，

所以且，

所以，.

故选：BC

10．不等式成立的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】解指数不等式得解集为，再根据充分不必要条件求解即可.

【详解】解：令，

所以，不等式，解得或

所以，或，解得或，

所以，不等式的解集为，

因为所求的是不等式成立的一个充分不必要条件，

故只需满足是真子集即可，

所以，只有AB选项满足，CD选项不满足.

故选：AB

11．已知实数，，满足，，则（    ）

A． B．

C．若，则 D．若，则

【答案】AC

【分析】由题意判断，结合条件可得，判断A;举反例可判断B,D;利用作差法可判断C.

【详解】由于实数，，满足，，

故，否则 ，则，则，不合题意；

故由，可得，A正确；

取 满足，，

但，故B错误；

若，则，则，

即，C正确；

取，满足且，，

但，D错误；

故选：AC

12．已知函数，设， ，则（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABD

【分析】作出函数的图象，时，由于，可得到，化简可判断A，结合基本不等式可判断B;数形结合，结合函数的单调性，可判断C,D.

【详解】作出函数的图象，如图示：

当时，由于，可知，

则，则 ，即，A正确；

由于，则，即 ，B正确；

当时，单调递增，当时，有 ，

即，不符合C,D选项；

当时，，由于，则，即，

当时，递增，若，则即，

当时，递减，

若，则，即 ；

若，则由 ，令，

由于此时，则，

由，可得，即 ，故C错误，D正确，

故选：ABD

三、填空题

13．已知，则_________（用含a，b的式子表示）.

【答案】

【分析】先将化简，得出，然后再利用换底公式将化成以7为底的对数式，由对数的运算法则即可求出．

【详解】由，得，又，

．

故答案为．

【点睛】本题主要考查换底公式以及对数的运算性质的应用，同时考查到指数式与对数式的互化，意在考查学生的数学运算能力．

14．设集合或，，，则a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】由题意，，可得，求解即可

【详解】由题意，集合或，，

因为，故可得

解得.

故答案为：

15．已知x>0，y>0，2x+3y=6，则xy的最大值为________.

【答案】

【分析】变换，再利用均值不等式计算得到答案.

【详解】因为x>0，y>0，2x+3y=6，所以.

当且仅当2x=3y，即时，xy取到最大值.

故答案为：.

【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，变换是解题的关键.

16．已知函数，，若对于任意的，总存在，使得或，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】记函数的值域为，的值域为，进而转化为求解即可，再分别研究函数，的值域即可得答案.

【详解】解：记函数的值域为，的值域为，

因为对于任意的，总存在，使得或，

所以，

因为，，

所以，即函数的值域为，

当时，时，，当且仅当时等号成立，

所以，根据对勾函数的性质可知，的值域为，

因为，

所以，有，解得，

当时，的值域为，满足，故时成立，

综上所述，实数的范围为.

故答案为：

四、解答题

17．计算下列各式的值：

(1)；

(2).

【答案】(1)9

(2)0

【分析】（1）根据指数幂的运算法则运算求解即可；

（2）根据对数运算法则运算求解即可.

【详解】（1）解：

（2）解：

18．已知，

（1）若时，求；

（2）若，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）利用集合的并集定义代入计算即可;

（2）求出集合，利用集合包含关系，分类讨论和两种情况，列出关于m的不等式，求解可得答案.

【详解】（1）当时，，则

即．

（2）或，由，可分以下两种情况：

①当时，，解得：

②当时，利用数轴表示集合，如图

由图可知或，解得；

综上所述，实数m的取值范围是：或，

即

【点睛】易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：是任何集合的子集，所以要分集合和集合两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.

19．习近平总书记提出：“绿水青山就是金山银山”的重要理念，说明呵护地球，人人有责.某省为响应该理念，计划每年都增长相同百分比的绿化面积，且年时间绿化面积增长，（参考数据：，，，）试求：

(1)求每年绿化面积的增长率；

(2)按此增长率，若年年初时，该省的绿地面积是提出该理念时的倍，请问习近平总书记最迟是哪一年首次提出该理论.

【答案】(1)约为；

(2)年.

【分析】（1）设每年绿化面积的增长率为，可得出，求出的值即可；

（2）设经过年后该省的绿地面积是提出该理念时的倍，可得出，利用对数的运算求出的值，即可得解.

【详解】（1）解：设每年绿化面积的增长率为，则，则，

故每年绿化面积的增长率约为.

（2）解：设经过年后该省的绿地面积是提出该理念时的倍，

则，则，而，

因此，习近平总书记最迟在年首次提出该理论.

20．求函数，的值域.

【答案】

【分析】应用对数运算性质化简为，利用换元法及二次函数的性质求值域.

【详解】.

设，且，故，

则且，图象的对称轴为，

∴函数在上单调递增，在上单调递减，

∴当时，，当时，.

∴的值城为.

21．已知函数是对任意的都满足，且当时．

（1）求的解析式；

（2）现已画出函数在y轴左侧的图像，如图所示，请补出函数的完整图像，并根据图像直接写出函数的单调区间及时的值域．

【答案】（1）；（2）图像见解析；函数的单调减区间是和，减区间是；值域为.

【解析】（1）先利用奇偶性计算时的解析式，再计算，即得结果；

（2）根据奇函数关于原点中心对称作图，再利用图像观察单调区间和对应区间的值域即可.

【详解】解：（1），，设时，，

依题意知，即，故；时，，故，

故的解析式为；

（2）由，知是奇函数，图像关于原点中心对称，故函数的完整图像如图所示：

由图像可知，函数的单调减区间是和，减区间是，时的值域为.

22．已知函数.

(1)判断函数在R上的单调性，并用单调性的定义证明；

(2)判断函数的奇偶性，并证明；

(3)若恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】(1)在R上的单调递增，证明见解析；

(2)是奇函数，证明见解析；

(3).

【分析】（1）利用单调性的定义证明，任取，设，然后判断与0的大小，即可确定单调性.

（2），直接利用函数奇偶性的定义判断；

（3）利用函数是奇函数，将题设不等式转化为，再利用是上的单调增函数求解.

【详解】（1）函数是增函数，任取，不妨设 ，

，

∵，

∴，又，

∴，即，

∴函数是上的增函数.

（2）函数为奇函数，证明如下：

由解析式可得：，且定义域为关于原点对称，

，

∴函数是定义域内的奇函数.

（3）由等价于，

∵是上的单调增函数，

∴，即恒成立，

∴，解得.