2022-2023学年河南省豫南名校高二上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省豫南名校高二上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知点，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由点的坐标，即可得出向量坐标

【详解】由点，，则

故选：C

2．两平行直线与之间的距离为（    ）

A． B． C．5 D．

【答案】B

【分析】由两平行直线间的距离公式可得答案.

【详解】两平行直线与之间的距离．

故选：B

3．平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的正切值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设平面与平面夹角为，由平面的夹角的向量求解公式得出余弦值，求出其正弦值，从而可得出答案.

【详解】设平面与平面夹角为，则，

则

所以．

故选：D

4．已知直线始终平分圆的周长，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出圆心坐标，根据题意直线过圆心从而得出答案.

【详解】由题意得圆M的标准方程为，则圆心M的坐标为．

因为直线l始终平分圆M的周长，所以直线l过圆M的圆心，

所以，即．

故选：A

5．如图，在四棱锥中，E，F分别是BC，OA的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用空间向量的加法运算即可得出答案.

【详解】．

故选：A

6．已知点M，N分别为圆与上一点，则的最小值为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】B

【分析】由题可得两圆的圆心及半径，然后根据圆的性质即得.

【详解】由题可知圆A的圆心坐标为，半径为1，圆B的圆心坐标为，半径为，

因为两圆的圆心距，

所以两圆外离，

所以．

故选：B.

7．若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则k＝（    ）

A． B． C．7 D．9

【答案】C

【分析】根据倾斜角的正切值等于斜率计算出 ，再根据正切的倍角、和角公式计算即可.

【详解】依题意可得，则，

故．

故选:C

8．如图，在正三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，E，F分别是AB，BC的中点，则直线AF与平面PEF所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系利用向量法来求直线与平面所成角的正弦值.

【详解】依题意，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，

设，则，

，设平面的法向量为，

则，故可设，

设直线与平面所成角为，

所以.

故选：A

二、多选题

9．在空间直角坐标系中，已知点，则（    ）

A．在轴上的投影向量的坐标为

B．在轴上的投影向量的坐标为

C．在轴上的投影向量的坐标为

D．点在坐标平面内的射影的坐标为

【答案】ABD

【分析】分别求出在轴、轴、轴、平面内的投影向量，即可判断.

【详解】在轴上的投影向量的坐标为，在轴上的投影向量的坐标为，在轴上的投影向量的坐标为，点在坐标平面内的射影的坐标为．

故选：ABD

10．如图，设直线l，m，n的斜率分别为，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】根据直线的倾斜方向先判断出直线的倾斜角是锐角或钝角，再根据直线的倾斜程度判断其绝对值的大小，得出答案.

【详解】由图可知直线l，m，n的倾斜角分别为锐角、钝角、钝角，

所以

又直线m最陡峭，则，

所以，，．故选项BCD正确.

故选：BCD

11．在三棱锥中，平面平面BCD，，，为等边三角形，E是棱AC的中点，F是棱AD上一点，若异面直线DE与BF所成角的余弦值为，则AF的值可能为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】AC

【分析】过作与平行的直线为轴，取BD的中点O，根据条件可得平面BCD，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】由为等边三角形，取BD的中点O，连接,则

又平面平面BCD，且平面平面

所以平面BCD，由

过作与平行的直线为轴，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，则，，

所以．

设，则，，

则，解得或，

故或．

故选：AC

12．已知点，，若圆上存在唯一的一点P，使得，则u的值可能为（    ）

A． B． C．1 D．7

【答案】ACD

【分析】由题意P在以N为圆心，为半径的圆上，根据题意该圆与圆C只有一个公共点，由两圆的位置关系可得答案.

【详解】因为AB的中点为定点，，且，

所以P在以N为圆心，为半径的圆N上，

依题意可得圆N与圆C只有一个公共点，则两圆外切或内切，

则或，

解得，，1，7．

故答案为：ACD

三、填空题

13．若向量，，且，则______．

【答案】7

【分析】根据空间向量的数量积运算，代值计算即可.

【详解】依题意可得，则．

故答案为：.

14．在空间直角坐标系中，，，，若四边形为平行四边形，则__________．

【答案】6

【分析】由四边形为平行四边形，可得，再根据向量的坐标运算求解即可.

【详解】解：,，

因为四边形为平行四边形，

所以，

所以，，

所以.

则．

故答案为：6.

【点睛】本题考查空间向量平行的坐标表示，属于基础题．

15．若函数的图象是半径为的圆的一部分，则a的一个值可以是______．

【答案】4（答案不唯一）

【分析】将函数的解析式化为圆的标准方程形式，得出圆的半径的表达式，根据半径的范围从而可得出答案.

【详解】由，得，

即，

依题意可得，解得．

故答案为：4（答案不唯一，只要a的值满足即可）

16．已知光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射到轴上的点，再被轴反射，这时反射光线恰好经过点，则所在直线的方程为_________.

【答案】

【分析】由题意可知直线一定过关于x轴的对称点，且一定过关于y轴的对称点，从而可求出直线的方程，即可得到点坐标，进而得到直线的方程.

【详解】如图，由题设点B在原点O的右侧，直线一定过关于x轴的对称点，且一定过关于y轴的对称点，

所以的方程为，即，

令，则，所以为，

所以的方程为，即，

故答案为：

四、解答题

17．如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为4的菱形，，，E，F分别是BC，的中点．以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)求出，，E，F四点的坐标；

(2)求的值．

【答案】(1)，，，

(2)

【分析】（1）根据题意，结合中点坐标公式可得出点的坐标，

（2）由（1）中点的坐标得出向量坐标，利用向量夹角公式可得出答案.

【详解】（1）由题意为轴，因为底面ABCD是边长为4的菱形，，

所以y轴经过线段CD的中点．

又，E，F分别是BC，的中点，

所以，，，．

（2）由（1）可得，，，

则

18．（1）已知直线，求直线l的倾斜角的取值范围；

（2）若直线l在x轴上的截距与在y轴上的截距相等，且直线l经过点，求直线l的方程．（将方程化为一般式方程）

【答案】（1） ；（2） 或．

【分析】（1）由题意可得，求出其范围，从而可得出答案

（2）分直线过原点和不过原点两种情况分别求解即可.

【详解】解：（1）直线的斜率为，

因为，

所以的取值范围为．

（2）当直线l经过原点时，可设直线l的方程为，

则，解得，

则直线l的方程为，即．

当直线l不经过原点时，可设直线l的方程为，

因为直线l经过，所以，解得，

则直线l的方程为．

所以直线l的方程 或

19．如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，设，，.

(1)若底面，试用，，表示出空间的一个单位正交基底；（无需写出过程）

(2)若是的中点，且，求线段的长.

【答案】(1)(答案不唯一)；

(2).

【分析】（1）根据单位正交基底的概念即得；

（2）由题可得，然后利用向量的数量积的定义及运算律可得模长，进而即得.

【详解】（1）因为底面，四边形是正方形，，，

所以空间的一个单位正交基底为；

（2）因为，

由题意知，，，，

，

所以，

即，

所以.

20．已知圆．

(1)若圆C被直线截得的弦长为8，求圆C的直径；

(2)已知圆C过定点P，且直线与圆C交于A，B两点，若，求a的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据弦长为8，利用弦心距、半径、半弦长之间的关系列出方程求解即可；

（2）求出动圆所过定点，再联立直线与圆的方程，求出交点坐标，由数量积的坐标运算列出不等式即可求解.

【详解】（1）依题意可知圆的圆心为，

到直线的距离，

因为圆被直线截得的弦长为8，所以，

解得，故圆的直径为.

（2）圆的一般方程为，

令，，解得，所以定点的坐标为.

联立解得或

所以，因为，所以.

又方程表示一个圆，所以，

所以的取值范围是.

21．已知半径为的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线与圆C相切．

(1)求圆C的标准方程．

(2)若圆C的一条弦经过点，求这条弦的最短长度．

(3)已知，P为圆C上任意一点，试问在y轴上是否存在定点B（异于点A），使得为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)存在；

【分析】（1）由题意圆心坐标为，可设出圆标准方程，根据圆心到直线的距离等于半径,从而可得出答案.

（2）先判断点在圆内，由圆的集合性质可得直线CM与这条弦垂直时，这条弦的长度最短从而可得出答案.

（3）设，,分别表示出，由为定值得出答案.

【详解】（1）由题意设圆心坐标为，则圆C的方程为．

因为直线与圆C相切，

所以点到直线的距离，

因为，所以，故圆C的标准方程为．

（2）因为，

所以当直线CM与这条弦垂直时，这条弦的长度最短，

故所求最短弦长为．

（3）假设存在定点B，设，，

则，

则．

当，即（舍去）时，为定值，

且定值为，故存在定点B，且B的坐标为．

22．如图，点在内，是三棱锥的高，且．是边长为的正三角形，．

(1)求点到平面的距离；

(2)点是棱上的一点（不含端点），求平面与平面夹角余弦值的最大值．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）取的中点，连接，，过点作，交于，进而证明点在上，平面，即可得两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；

（2）结合（1）求平面的法向量为，设，，进而求平面的法向量，再根据向量方法求解即可.

【详解】（1）：取的中点，连接，．

因为是三棱锥的高，即平面，

因为平面

所以．

因为，的中点为，

所以，

因为平面

所以平面，

因为平面，

所以．

又因为是边长为的正三角形，的中点为

所以，，即点在上．

所以，，，，．

过点作，交于，则两两垂直，

所以，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，，．

设平面的法向量为，

则，即，取，则．

所以，点到平面的距离为．

（2）解：结合（1）得，，，，

所以，，．

设平面的法向量为，

则，即，取，则．

所以，，

设，．

所以，．

设平面的法向量为，

则，即 取，则．

所以，，当且仅当时，等号成立．

所以，平面与平面夹角余弦值的最大值为．