2021-2022学年新疆哈密市第八中学高二上学期期中考试数学试题 解析版

哈密市第八中学2021－2022学年第一学期期中考试

高二数学试卷

（考试时间120分钟  试卷分值150分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 下列说法不正确是（    ）

A. 圆柱的侧面展开图是矩形

B. 球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面

C. 直角梯形绕它的一腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台

D. 圆柱､圆锥､圆台中，平行于底面的截面都是圆面

2. 若棱台的上、下底面面积分别为，高为，则该棱台的体积为(　　)

A.  B.

C.  D.

3. 球的体积是，则此球的表面积是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知长方体的长、宽、高分别为、、，且其顶点都在球面上，则该球的体积是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 给定下列四个命题：

①若一个平面内两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是

A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④

6. 点在圆C：x2+y2=1内部，则实数a的取值范围是（　　）

A. （﹣2，2） B. [﹣2，2] C.  D.

7. 以为圆心，且与直线相切的圆的方程为

A.  B.

C.  D.

8. 半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（    ）

A  B.

C.  D.

9. 圆上的动点到直线的最小距离为

A. 1 B.  C.  D.

10. 与圆都相切的直线有（    ）

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

11. 右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：

①//；

②与成角；

③成异面直线且；

④所成角为．

其中正确个数是 

A.  B.  C.  D.

12. 已知直线与圆相交于，两点，则弦长度的最小值为　　

A.  B. 4 C.  D.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.） 

13. 以点A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为_______________.

14. 已知正方体内切球的体积为36π，则正方体的体对角线长为______．

15. 已知两圆的方程分别为和，则这两圆公共弦的长等于__________.

16. 如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上异于点A,,直线PA垂直于圆O所在的平面,点M是线段PB的中点有以下四个命题：

①∥平面；

②∥平面；

③平面；

④平面平面．

其中正确的命题的序号是______．

三、解答题：（共70分）

17. 已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求当m为何值时，

(1)直线平分圆；

(2)直线与圆相切．

18. 如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：

（1）该几何体的体积；

（2）该几何体的表面积.

19. 如图，在四棱锥中，底面四边形满足，且，，点和分别为棱和的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面．

20. 已知关于x，y的方程C：

（1）当m为何值时，方程C表示圆；

（2）在（1）的条件下，若圆C与直线l：相交于M、N两点，且|MN|＝，求m的值.

21. 如图，在正三棱柱中，，点为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

22. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A(1，3) ，B(4，2)，且圆心在直线l：x－y－1＝0上．

（1）求圆C的方程；

（2）设P是圆D：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0上任意一点，过点P作圆C两条切线PM，PN，M，N为切点，试求四边形PMCN面积S的最小值及对应的点P坐标．

哈密市第八中学2021－2022学年第一学期期中考试

高二数学试卷

（考试时间120分钟  试卷分值150分  出卷人：孙亚丽）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 下列说法不正确的是（    ）

A. 圆柱的侧面展开图是矩形

B. 球面可以看成是一个圆绕着它直径所在的直线旋转180°所形成的曲面

C. 直角梯形绕它的一腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台

D. 圆柱､圆锥､圆台中，平行于底面的截面都是圆面

【答案】C

【解析】

【分析】对于A，由圆柱的结构特征判断，对于B，由球面的定义判断，对于C，由圆台的定义判断，对于D，由旋转体的特征判断即可

【详解】对于A，圆柱的侧面展开图是矩形，所以A正确，

对于B，球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面，所以B正确，

对于C，当直角梯形绕它的直角所在的腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台，所以C错误，

对于D，圆柱､圆锥､圆台中，平行于底面的截面都是圆面，所以D正确，

故选：C

2. 若棱台的上、下底面面积分别为，高为，则该棱台的体积为(　　)

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】所求棱台的体积为

故选B

3. 球的体积是，则此球的表面积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先计算出球的半径，再计算表面积得到答案.

【详解】设球的半径为R，则由已知得，解得，故球的表面积.

故选：

【点睛】本题考查了圆的体积和表面积的计算，意在考查学生的计算能力.

4. 已知长方体的长、宽、高分别为、、，且其顶点都在球面上，则该球的体积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出长方体的体对角线长，可得出其外接球的半径，再利用球体的体积公式可求得结果.

【详解】长方体的体对角线的长是，

长方体外接球的半径是，这个球的体积为．

故选：A．

5. 给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是

A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④

【答案】D

【解析】

【分析】利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择．

【详解】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④.

故选D

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．

6. 点在圆C：x2+y2=1内部，则实数a的取值范围是（　　）

A. （﹣2，2） B. [﹣2，2] C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】点在圆C：x2+y2=1内部，

则：

解得： ．

故选C

7. 以为圆心，且与直线相切的圆的方程为

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】点到直线的距离 ，所以以为圆心，且与直线相切的圆的方程为 故选B.

8. 半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可得圆锥母线长为，底面圆的半径为，求出圆锥高即可求出体积.

【详解】半径为的半圆卷成一个圆锥，可得圆锥母线长为，底面圆周长为，

所以底面圆的半径为，圆锥的高为,

所以圆锥的体积为.

故选：A.

9. 圆上的动点到直线的最小距离为

A. 1 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出圆心到直线的距离，根据距离的最小值为，即可求解.

【详解】由圆一般方程可得，

圆心到直线的距离

所以圆上的点到直线的距离的最小值为.

故选B.

【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.

10. 与圆都相切的直线有（    ）

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

【答案】C

【解析】

【分析】

求得两圆的圆心坐标和半径，利用两圆的位置关系的条件判定两圆相外切，从而得到公切线的条数.

【详解】的圆心坐标为,半径为；

化为标准方程为,

圆心坐标为,半径为，

圆心距,

∴两圆相外切，

故两圆的公切线有3条.

故选：C.

【点睛】本题考查两圆的公切线的条数，关键是判定两圆的位置关系，当两圆相离时有4条公切线，当两圆外切时，有3条公切线，当两圆内切时有1条公切线，当两圆相交时，有2条公切线，当两圆内含时没有公切线.

11. 右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：

①//；

②与成角；

③成异面直线且；

④所成角为．

其中正确的个数是 

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】

将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知与不平行，故①错误；连接、将平移到，则与成角，故②正确；同理成角，故③错误；所成角不为，故④错误，综上可得只有②正确，故选A

12. 已知直线与圆相交于，两点，则弦长度的最小值为　　

A.  B. 4 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出直线所过的定点，定点在圆内，故当弦与垂直时，弦长度最小．

【详解】依题意，直线过定点，

在圆内部，

故弦长度的最小时，直线与直线垂直，

即此时直线的方程为，

将代入圆的方程，可得，

所以弦长度的最小值为．

故选：A.

【点睛】本题考查直线过定点、圆的弦长最值，考查逻辑思维能力和计算能力，求解的关键是发现直线过定点，属于中档题．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.） 

13. 以点A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为_______________.

【答案】.

【解析】

【详解】解：因为点A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的圆心（2，1），半径为

那么可知圆的方程为

14. 已知正方体内切球的体积为36π，则正方体的体对角线长为______．

【答案】

【解析】

【分析】正方体的内切球的直径与正方体的边长相等，即可得出结论．

【详解】∵正方体的内切球体积为，设内切球的半径为， ∴，所以内切球的半径为， ∵正方体的内切球的直径与正方体的边长相等， ∴正方体的边长为6， 故该正方体的体对角线长为．

【点睛】本题考查了学生的空间想象力，考查学生的计算能力，属于基础题．

15. 已知两圆的方程分别为和，则这两圆公共弦的长等于__________.

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：这两个圆的圆心分别为，半径都是，两圆方程相减可得，这是公共弦所在直线方程，，所以公共弦长为．

考点：两圆的位置关系．

【方法点晴】本题考查两圆的位置关系．涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 解决此类题型应注意关注以下两点：1．两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．2．处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．

16. 如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上异于点A,,直线PA垂直于圆O所在的平面,点M是线段PB的中点有以下四个命题：

①∥平面；

②∥平面；

③平面；

④平面平面．

其中正确的命题的序号是______．

【答案】①④

【解析】

【分析】根据线面平行的判定与线面,面面垂直的判定方法逐个证明即可.

【详解】对①,因为为中点,故为三角形的中位线,故∥平面.

故①正确.

对②,因为平面,故②错误.

对③,因为,故不会垂直于,故不垂直于平面.故③错误

对④, 因为,面,故.又.

故平面,又平面,故平面平面.故④正确.

故答案为①④

【点睛】本题主要考查了线面平行与线面垂直等判定,属于中等题型.

三、解答题：（共70分）

17. 已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求当m为何值时，

(1)直线平分圆；

(2)直线与圆相切．

【答案】（1）m＝0；（2）m＝±2．

【解析】

【详解】试题分析：（1）直线平分圆，即直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程可得m值（2）根据圆心到直线距离等于半径列方程，解得m值

试题解析：解：(1)∵直线平分圆，所以圆心在直线y＝x＋m上，即有m＝0.

(2)∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，

∴d＝＝2，m＝±2.

即m＝±2时，直线l与圆相切．

点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用d与r的关系．

(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．

上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．

18. 如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：

（1）该几何体的体积；

（2）该几何体的表面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可；（2）先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面积，继而求长方体的表面积，求和即可.

【详解】连接，交于点，取的中点，连接，，

（1）

∴

（2）∵，

∴

【点睛】易错点睛：求棱锥的表面积时要注意高为面的高，而不是棱锥的高.

19. 如图，在四棱锥中，底面四边形满足，且，，点和分别为棱和的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

【分析】（1）先证明∥平面，∥平面，进而得到平面∥平面，然后根据面面平行的性质可得结论成立．（2）先证明平面，根据∥，可得平面，于是可得面面垂直．

【详解】（1）在底面四边形中，由，可得∥；

又，为的中点，

所以，

从而四边形为平行四边形，

所以∥，

又平面，平面，

所以∥平面．

由题意，是的中位线，

所以∥，

又平面，平面，

所以∥平面．

又与是平面内两相交直线，

所以平面∥平面；

因为平面，

所以∥平面．

（2）由（1）知∥，

因为，

所以，

又，且是平面内两相交直线，

所以平面，

从而平面，

又平面，

所以平面平面．

【点睛】解答类似问题的关键是根据图形，并结合三种平行（垂直）间的相互转化关系进行求解，解题时注意解题步骤的完整性，特别是定理中的关键性词语，在证题过程中要得到体现，属于基础题．

20. 已知关于x，y的方程C：

（1）当m为何值时，方程C表示圆；

（2）在（1）的条件下，若圆C与直线l：相交于M、N两点，且|MN|＝，求m的值.

【答案】（1）m＜5；（2）m＝4

【解析】

【分析】

（1）求出圆的标准方程形式，即可求出m的值；
（2）利用半径，弦长，弦心距的关系列方程求解即可．

【详解】解：（1）方程C可化为，

显然只要5−m＞0，

即m＜5时，方程C表示圆；
（2）因为圆C的方程为，其中m＜5，
所以圆心C（1，2），半径，
则圆心C（1，2）到直线l：x＋2y−4＝0的距离为，
因为|MN|＝，所以|MN|＝，
所以，

解得m＝4．

【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据圆的标准方程求出圆心和半径是解决本题的关键．

21. 如图，在正三棱柱中，，点为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）连接交于M，连接DM，通过证明即可得证；

（2）转换顶点即可得解.

【详解】（1）连接 ,与相交于M，连接DM，则M是的中点，又D为BC的中点

所以，平面，平面，

所以平面；

（2）在正三棱柱中，，点为的中点.

故三棱锥体积.

22. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A(1，3) ，B(4，2)，且圆心在直线l：x－y－1＝0上．

（1）求圆C的方程；

（2）设P是圆D：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0上任意一点，过点P作圆C的两条切线PM，PN，M，N为切点，试求四边形PMCN面积S的最小值及对应的点P坐标．

【答案】(1) x2＋y2－4x－2y＝0 (2) S最小10，P(－3，1)

【解析】

【详解】试题分析：（1）设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，根据条件得，即可得解；

（2）依题意，S＝2S△PMC＝PM×MC ＝，当PC最小时，S最小，求PC最小即可.

试题解析：

（1）设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圆心为(－，－)．

因为圆C经过点A(1，3) ，B(4，2)，且圆心在直线l：x－y－1＝0上，

所以                  

解得

所求圆C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0．            

（2）由（1）知，圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．

依题意，S＝2S△PMC＝PM×MC ＝×．

所以当PC最小时，S最小．                   

因为圆M：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0，所以M(－4，1)，半径为1．

因为C(2，1)，所以两个圆的圆心距MC＝6．

因为点P∈M，且圆M的半径为1，

所以PCmin＝6－1＝5．    

所以Smin＝×＝10．                   

此时直线MC：y＝1，从而P(－3，1)．