高分突破，智取压轴小题11 数列与函数、不等式相结合问题

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数列与函数、不等式相结合问题

一．方法综述
数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.
二．解题策略
类型一 数列与不等式
1.1 数列与基本不等式
【例1】某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________．
【答案】10
【解析】由题意可知：每年的维护费构成一个以2为首项，2为公差的等差数列，
故第n年的维护费为：an=2+2（n﹣1）=2n，总的维护费为：=n（n+1）
故年平均费用为：y=，即y=n++1.5，（n为正整数）；
由基本不等式得：y=n++1.5≥2+1.5=21.5（万元）
当且仅当n=，即n=10时取到等号，即该企业10年后需要更新设备．
故答案为：10．
（2020·广东高三）已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前项和，若，则的最小值为（ ）
A．9 B．12 C．16 D．18
【答案】D
【解析】由得，所以.所以.当且仅当时取得最小值.故选：D
【指点迷津】本题考查了等比数列的相关性质以及基本不等式的相关性质，等比数列的通项公式是，等比中项，基本不等式有，考查公式的使用，考查化归与转化思想.
【举一反三】
1.（2020山东省济宁市模拟）已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为
【答案】
【解析】因为数列是正项等比数列，，，
所以，，，
所以，，，，，
因为，所以，，

，当且仅当时“=”成立，
所以的最小值为.
2．（2020·江苏扬州中学）已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为
【答案】4
【解析】∵a1，a3，a13成等比数列，a1=1，∴a32=a1a13，
∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．
∴an=1+2（n-1）=2n-1．Sn=n+×2=n2．
∴===n+1+-2≥2-2=4，
当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，
1.2 数列中的恒成立问题
【例2】（2020·四川双流中学）已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且的前n项和为，若对任意的正整数n均成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得x∈[0，2）时f（x）的最大值，由递推式可得{an}是首项为，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k的范围．
【详解】当x∈[0，2）时，，
所以函数f(x)在[0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，可得当0≤x＜1时，f（x）的最大值为f（）＝；
1≤x