高分突破，智取压轴小题09 复杂数列的通项公式求解问题

这是一份高分突破，智取压轴小题09 复杂数列的通项公式求解问题，共25页。
复杂数列的通项公式求解问题

一．方法综述
数列的通项公式是数列高考中的热点问题，求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数阵（数表）问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为形式的数列通项公式问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.
二．解题策略
类型一 数阵（数表）中涉及到的数列通项公式问题
【例1】（2020·江西九江模拟）将一些数排成倒三角形如图所示，其中第一行各数依次为1，2，3，…，2018，从第二行起，每一个数都等于他“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M＝（ ）

A．201822015 B．201922016 C．201822016 D．201922017
【答案】B
【解析】
【分析】记第行的第一个数为，由规律可总结得到，构造出，可知为等差数列，从而可求得，根据共行，知，代入可求得结果.
【详解】记第行的第一个数为，则，，，，…，，，即是以为首项，为公差的等差数列

又每行比上一行的数字少个 最后一行为第行
,故选：
【点睛】本题考查由数列中的项求解通项公式的问题，关键是能够通过每一行首个数字所呈现出的规律，总结出递推关系式，利用构造的方式得到等差数列，从而求得数列的通项公式.
【举一反三】
5．以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角”:

该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】观察每一行第一个数的规律：
第一行的第一个数为，
第二行的第一个数为，
第三行的第一个数为，
第四行的第一个数为，
……
第行的第一个数为，
表中一共2018行，
∴第2018行的第一个数即，
故选B．
2．（2020·河南省实验中学）在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是（ ）
A．3972 B．3974 C．3991 D．3993
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意知，每次涂成红色的数字成等差数列，并且第n次染色时所染的最后一个数是n(2n-1)，可以求出2019个数是在第45次染色的倒数第7个数，因此可求得结果．
【详解】第1此染色的数为1=1 ，共染色1个，
第2次染色的最后一个数为6=2，共染色3个，
第3次染色的最后一个数为15=3，共染色5个，
第4次染色的最后一个数为28=4，共染色7个，
第5次染色的最后一个数为45=5，共染色9个，
…
∴第n次染色的最后一个数为n，共染色2n-1个，
经过n次染色后被染色的数共有1+3+5+…+（2n-1）=n2个，
而2019，
∴第2019个数是在第45次染色时被染色的，第45次染色的最后一个数为45，且相邻两个数相差2，
∴2019＝45＝3993．故选D．
3.（2020南充模拟）如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字73在图中出现的次数为____．

【答案】12

【指点迷津】1.本题主要考查等差数列通项与整数解问题.根据每行每列都成等差数列，先从第一行入手求出第一行数组成的数列的通项公式，再把第一行的数当成首项，再次根据等差数列这一性质求出第数列组成的数列，最后根据整数解方程的解法列举所有解即可.
2.数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念.横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标进行表示，其中代表行，代表列.例如：表示第行第列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列.
类型二 函数问题中涉及到的数列通项公式问题
【例2】已知，又函数是上的奇函数，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在R上为奇函数，故,代入得:
当时,.
令,则,上式即为:.
当为偶数时:


.
当为奇数时:


.
综上所述,.
所以C选项是正确的.
【举一反三】
（2020·上海中学高三期中）对函数设，，则函数的零点个数的通项公式为_________；
【答案】
【解析】计算易知：
，则
当时，得到即，对应数列为；
当时，得到即，（舍去）
，继续迭代得到
即
当时：方程的解的个数为，，；
当时：方程的解的个数为，；
当时：方程的解的个数为，，.
综上所述：
2.（2020河北省石家庄市模拟）定义在正实数上的函数，其中表示不小于x的最小整数，如，，当时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则=____.
【答案】
【解析】易知：当n=1时，因为x∈（0，1]，所以{x}=1，所以{x{x}}=1，所以.
当n=2时，因为x∈（1，2]，所以{x}=2，所以{x{x}}∈（2，4]，
所以.当n=3时，因为x∈（2，3]，所以{x}=3，所以{x{x}}={3x}∈（6，9]，
；当n=4时，因为x∈（3，4]，所以{x}=4，所以{x{x}}={4x}∈（12，16]，
所以；
当n=5时，因为x∈（4，5]，所以{x}=5，所以{x{x}}={5x}∈（20，25]，
所以.
由此类推：.
故 .
【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
2.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.
3.已知是上的奇函数， ，则数列的通项公式为
【答案】
【解析】∵是奇函数，∴，令， ，
令， ，∴，∴，学科&网
令，∴，令，∴，
∵，∴，同理可得，
，∴，
类型三 由复杂递推公式求解数列通项公式问题
【例3】（2020·天津市第一百中学高三）已知数列满足，，若，则数列的通项（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 , ,,
则 ,数列是首项为2，公比为2的等比数列，
，利用叠加法， ，
，则.选B.
【举一反三】
1．（2020·安徽高考模拟）已知首项为的正项数列满足，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】已知关系式可得：，令，可得；利用对数法可证得为等比数列，从而可求得，进而得到，表示出后与已知条件对应，则可求得的值.
【详解】由题意得：

令，则，两边取对数得：
又，则数列是首项为，公比为的等比数列
，即

又 ,本题正确选项：
2．已知数列满足，则________
【答案】
【解析】，，
，设，则，，两边取对数，
， ，所以是首项，公比的等比数列， ， ，

故答案为：
类型四 两边夹问题中的数列通项公式问题
【例4】（2020·安徽六安一中）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得出，由，得出，再利用累加法得出的值。
【详解】，，
又，，
，，则，
于是得到，
上述所有等式全部相加得，
因此，，故选：B。
【点睛】本题考查数列项的计算，考查累加法的应用，解题的关键就是根据题中条件构造出等式
，考查分析问题的能力和计算能力。
【举一反三】
1．（2020·浙江模拟）对任意的n∈N*，数列{an}满足且，则an等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵且，∴，，即，
∴，故选A.
2.设数列满足，且对任意的，满足， ,则_________
【答案】

【指点迷津】解题的关键是要通过所给的不等关系找到数列的项的特征，即，然后经过恰当的变形，将求的问题转化为数列求和的问题去处理，对于求和问题要把握准数列的公比和数列的项数，这是比较容易出现错误的地方.
3．（2020·四川树德中学）设定义在上的函数，，且对任意，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】先把转化成，与进行加法运算，依次推倒，得到，再根据条件，得到，然后根据等式关系，用累加法计算得到结果.
【详解】∵，∴（1）
∵（2）
∴（1）+（2）得=，
即（3）
∴（1）+（3）得=，即，
∵，∴
∴==
= ++++ +3•22+3•20=2008++++ +3•22+3•20==.
三．强化训练
1．（2020·福建高三期末（理））已知数列的前n项和为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】当时，求得，当时，，得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，求出的通项公式，即可得解.
【详解】解：①，
当时，解得，
当时，②，
①减②得，
,
则是以为首项，为公比的等比数列，
,故选：
2．（2020·天津静海一中）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】利用累加法先求出,进而求得即可
【详解】由题,,则,…,,
所以由累加法可得,,即,
则,所以,故选：D
3．已知函数的定义域为，当时，；对任意的，成立.若数列满足，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【来源】海南省海南中学2021届高三第五次月考数学试题
【答案】C
【解析】当时，，在上任取两数，且，令，则．
，即在上是单调增函数．
令，则，解得．而数列满足，
，
，则，
∴数列是公比为，首项为的等比数列，得：，
∴，故.
故选：C．
4．（2020·上海市建平中学高三）数列为1、1、2、1、1、2、4、1、1、2、1、1、2、4、8、...，首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是，，然后再复制前面的所有项1、1、2，再添加2的后继数4，于是，，，，接下来再复制前面的所有项1、1、2、1、1、2、4，再添加8，...，如此继续，则（ ）
A．16 B．4 C．2 D．1
【答案】D
【解析】
【分析】利用已知条件，推出，及时，有，再求解的值即可．
【详解】由数列的构造方法可知，，，，可得，
所以数首次出现于第项，
所以当时，有，
故．
5．（2020·山东高三期末）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中.若，且，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题中定义可得，
即，即，等式两边同时除以，得，且，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，，因此，.故选：B.
6．已知数列各项均不为零，且，若，则（ ）
A．19 B．20 C．22 D．23
【来源】河南省驻马店市新蔡县2020-2021学年高三上学期四校联考理数试题
【答案】A
【解析】由得，
则.
令，则数列是公差为1，首项为t+1的等差数列，所以，所以.
所以
当n=1时，，也符合上式，所以；
所以公差,解得,
所以，
所以，
故选A.
7．（2015·上海师大附中高三期中（理））若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是1，2，，，，则数列是0，1，2，，已知对任意的，，则　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对任意的，，则，，
，，，
，，，，猜想．故选：．
8.（2020浙江省湖州三校）已知数列满足，，则使的正整数的最小值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】C
【解析】令,则,所以，从而，，因为,所以数列单调递增，
设当时, 当时,
所以当时，，，
从而,
因此,选C.
9．（2020·山西模拟）黄金螺旋线又名鹦鹉螺曲线，是自然界最美的鬼斧神工。就是在一个黄金矩形（宽除以长约等于0.6的矩形）先以宽为边长做一个正方形，然后再在剩下的矩形里面再以其中的宽为边长做一个正方形，以此循环做下去，最后在所形成的每个正方形里面画出1/4圆，把圆弧线顺序连接，得到的这条弧线就是“黄金螺旋曲线了。著名的“蒙娜丽莎”便是符合这个比例，现把每一段黄金螺旋线与其每段所在的正方形所围成的扇形面积设为，每扇形的半径设为满足，若将的每一项按照上图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的对应正方形格子的面积之和为，则下列结论错误的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得为以为长和宽矩形的面积，即；
；
又
，故正确；因为，所以D错误,选D.
10．（2020·浙江高三）已知数列满足：，．则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】考察函数，则先根据单调性可得，再利用单调性可得.
【详解】考察函数，
由可得在单调递增，
由可得在单调递减
且，可得，数列为单调递增数列，
如图所示：
且，，

图象可得，所以，故选B.
11．数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
故，记，则，
两边取倒数，得，所以是以为公差的等差数列，
又，所以，所以，
故.
故选：C.
12．已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，，．令，当时，，故当时，，即，．又，，所以.
故选：B
13．已知数列满足，且(其中为数列前项和)，是定义在上的奇函数，且满足，则___________.
【来源】上海市虹口区2021届高三上学期一模数学试题
【答案】
【解析】因为是定义在上的奇函数，且满足
所以，
所以的最小正周期为
又因为数列满足，且①；
当时，②；
①减②得，所以，
所以以为首项，为公比的等比数列，所以，即
所以
又
所以被除余
所以
故答案为：0
14．数列满足，若时，，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】,
,



故填.
15．设是定义在上且周期为6的周期函数，若函数的图象关于点对称，函数在区间（其中）上的零点的个数的最小值为，则__________
【答案】，，或（表示不超过的最大整数）
【解析】将的图象向左平移1个单位，得到的图象，因为函数的图象关于点对称，即有的图象关于原点对称，即为定义在上的奇函数，可得，又为周期为6的周期函数，可得．
可令，则，即，可得，
当时，在上，有；
当时，在上，有；
当时，在上，有；
当时，在上，有
，，…，
可得

即，或（表示不超过的最大整数）
故答案为：，或（表示不超过的最大整数）
16．随着科学技术的不断发展，人类通过计算机已找到了630万位的最大质数．陈成在学习中发现由41，43，47，53，61，71，83，97组成的数列中每一个数都是质数，他根据这列数的一个通项公式，得出了数列的后几项，发现它们也是质数．于是他断言：根据这个通项公式写出的数均为质数．请你写出这个通项公式 ，从这个通项公式举出一个反例，说明陈成的说法是错误的： .
【答案】见解析
【详解】
解，令n=41，得不是质数．
17.定义运算：，若数列满足且()，则数列的通项公式＝________.
【答案】4n－2
【解析】由题意可得，，
以，，所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列，所以.
18.（2020河北省衡水市第二中学）数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项，……以此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ）
4,
4,43
4,43,4
4,43,4 , 4
…
【答案】
【解析】由图可知，第n行是4为首项，以3为公比的等比数列的前n项，
和为，
设满足的最小正整数为，
项在图中排在第行第列（且），
所以有


，则，，
即图中从第行第列开始，和大于.
因为前行共有项，
所以最小正整数的值为，
19．（2020·北京高三（理））已知数列{}对任意的n∈N*，都有∈N*，且=
①当=8时，_______
②若存在m∈N*，当n>m且为奇数时，恒为常数P，则P=_______
【答案】
【解析】，则
故从第二项开始形成周期为的数列，故
当为奇数时，为偶数，故
若为奇数，则，故，不满足；
若为偶数，则，直到为奇数，即
故，当时满足条件，此时，即
20.已知等差数列，等比数列的公比为，设， 的前项和分别为，．若，则__________．
【答案】
【解析】， ，
因为，所以，这是关于的恒等式，所以，解得，所以．
【指点迷津】本题要求等差数列的通项公式，既没有首项也没有公差，有的只是等差数列与等比数列的一个关系，这是一个关于正整数的恒等式，因此我们可把等差数列与等比数列的前项用基本量表示，并化已知等式为的恒等式，利用恒等式的知识求解．
21.等差数列和等比数列的各项均为正整数，且的前项和为，数列是公比为16的等比数列，.则的通项公式____________.
【答案】
22.在直角坐标平面中，已知点列，，，…，，…，其中是正整数.连接的直线与轴交于点，连接的直线与轴交于点，…，连接的直线与轴交于点，….则数列的通项公式为___________.
【答案】
【解析】直线的斜率为，
所以，.
23．（2020·江苏省扬中高级中学）已知数列的前项和为，且，则________.
【答案】
【解析】
【分析】利用立方差公式化简已知条件，利用累加法求得的通项公式，进而求得的通项公式.
【详解】由，化简得，即.当时，.所以，即.又满足，故所以.所以.
24．（2020·湖北高三模拟）在正项数列中，，且，若，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】将递推式变形可得到，两边同时取常用对数可得是等比数列，利用等比数列的通项公式求解即可.
【详解】因为，所以，
所以.
因为，所以，
两边同时取对数可得，
是以为首项，以为公比的等比数列，
则，即；