高分突破，智取压轴小题26 创新型问题

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创新型问题

【方法综述】
创新型问题主要包括：
（Ⅰ）将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模（如借助不等式、导数等工具加以解决）.
（Ⅱ）创新性问题
①以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键.
②以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.
③以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.
【解题策略】
类型一 实际应用问题
【例1】（2020·湖南长郡中学高考模拟（理））“军事五项”是衡量军队战斗力的一种标志，从1950年开始，国际军体理事会每年组织一届军事五项世界锦标赛．“军事五项”的五个项目分别为200米标准步枪射击、500米障碍赛跑、50米实用游泳、投弹、8公里越野跑．已知甲、乙、丙共三人参加“军事五项”．规定每一项运动队的前三名得分都分别为a、b、c（a＞b＞c且a、b、c∈N*），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的投弹比赛获得了第一名，则50米实用游泳比赛的第三名是
A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙都有可能
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据题中所给的条件，求得三个名次对应的分数的值，从而得到甲乙丙三人各自的得分，从而得到相应的名次，从而求得结果.
【详解】
根据题中所给的五人的得分，可知，
所以有，又因为，且，
所以的值为或，
又因为乙投弹获得了第一名，且得分为分，所以不合题意，
所以得到乙的成绩为投弹第一，剩下的都是第三名，
因为甲得分22分，所以甲投弹第二，其余四项都是第一，
所以丙投弹第三，剩下四项都是第二，从而得到50米实用游泳比赛的第三名是乙，故选B.
【例2】某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地、两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点、、，从点测得，从点测得，，从点测得，并测得，（单位：千米），测得、两点的距离为___________千米.

【答案】
【解析】在中，，，，
，则，
在中，，，，则，
由正弦定理得，可得，
在中，，，，
由余弦定理得，因此，（千米）.
故答案为：.
点睛：解三角形应用题的一般步骤：
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
【举一反三】
1.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入月球球为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：
① ② ③ ④
其中正确的式子的序号是（ ）

A． ②③ B． ①④ C． ①③ D． ②④
【答案】B

2.(2020北京市西城区一模)团体购买公园门票，票价如下表：
购票人数
1~50
51~100
100以上
门票价格
13元/人
11元/人
9元/人
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数____；____.
【答案】70 40
【解析】
∵990不能被13整除，∴两个部门人数之和：a+b≥51，
（1）若51≤a+b≤100，则11 （a+b）＝990得：a+b＝90，①
由共需支付门票费为1290元可知，11a+13b＝1290 ②
解①②得：b＝150，a＝﹣60，不符合题意．
（2）若a+b≥100，则9 （a+b）＝990，得 a+b＝110 ③
由共需支付门票费为1290元可知，1≤a≤50，51≤b≤100，
得11a+13b＝1290 ④，
解③④得：a＝70人，b＝40人，
故答案为：70，40．
【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解．其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型．
类型二 创新性问题
【例3】（2020·广东高考模拟（理））设是直角坐标平面上的任意点集，定义．若，则称点集“关于运算*对称”．给定点集，，，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：将带入，化简得，显然不行，故集合A不满足关于运算对称，将带入，即，整理得，显然不行，故集合B不满足关于运算对称，将带入，即，化简得，故集合C满足关于运算对称，故只有一个集合满足关于运算对称，故选B.
【例4】对于向量，把能够使得取到最小值的点称为的“平衡点”.如图，矩形的两条对角线相交于点，延长至，使得，联结，分别交于两点.下列的结论中，正确的是（ ）

A．的“平衡点”为.
B．的“平衡点”为的中点.
C．的“平衡点”存在且唯一.
D．的“平衡点”必为
【答案】D
【解析】对，、的“平衡点”为线段上的任意一点，故错误；
对，、、的“平衡点”为三角形内部对3条边的张角均为的点，故错误；
对，、、、的“平衡点”是线段上的任意一点，故错误；
对，因为矩形的两条对角线相交于点，延长至，使得，联结，分别交、于、两点，所以、、、的“平衡点”必为，故正确．
故选：．
【举一反三】
1．对任一实数序列，定义序列，它的第项为.假定序列的所有项都为1，且，则（ ）
A．1000 B．2000 C．2003 D．4006
【来源】湖南省常德市第一中学2021届高三下学期第五次月考数学试题
【答案】D
【解析】依题意知是公差为的等差数列,设其首项为,通项为，
则，于是
由于,即,解得.故.
故选：D
2.（2020兰州高三联考）若数列满足：对任意的且，总存在，使得 ，则称数列是“数列”．现有以下四个数列：①；②；③；④．其中是“数列”的有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】
令，则，所以数列是“数列”；
令，则，，，所以，所以数列不是“数列”；
令，则，，，所以，所以数列不是“数列”；
令，则 ，所以数列是“数列”．
综上，“数列”的个数为．
本题选择C选项.
3．（2020·河南高考模拟）在实数集R中定义一种运算“”，对于任意给定的为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意；
（2）对任意；
（3）对任意.
关于函数的性质，有如下说法：
①函数的最小值为3；
②函数为奇函数；
③函数的单调递增区间为.
其中所有正确说法的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【解析】试题分析：在（3）中，令，可得，则，易知函数是非奇非偶函数，故②错；又范围不确定，不能直接用基本不等式求最值.故①错.又，由可得函数单调递增区间为，故③对.故本题答案选C.
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性与导数间的关系.
【思路点晴】本题是新定义题型.主要考查函数的奇偶性，函数的单调性.基本不等式. 此种类型题目的关键在于对新定义的理解.如本题中运算.利用新定义将运算转化为常规运算.转化后就看对基本不等式的理解，利用基本不等式求最值时，一定要求各项必须为正数.本题中无此范围，故最值不能直接求，可利用函数的单调性讨论解决.
【强化训练】
一、选择题
1．对于，，若正整数组满足，，则称为的一个拆，设中全为奇数，偶数时拆的个数分别为，，则（ ）
A．存在，使得 B．不存在，使得
C．存在，使得 D．不存在，使得
【来源】浙江省宁波市宁海中学2021届高三下学期3月高考适应性考试数学试题
【答案】D
【解析】对于任意的，至少存在一个全为1的拆分，故A错误；
当为奇数时，，故B错误；
当为偶数时，是每个数均为偶数的分拆，则它至少对应了和的均为奇数的拆，
当时，偶数拆为，奇数拆为，；
当时，偶数拆为，，奇数拆为，；
故当时，对于偶数的拆，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的拆，故，故C错误，D正确.
故选：D
2．（2020·武邑宏达学校高考模拟（理））定义：如果函数在上存在满足，，则称函数是上的“中值函数”.已知函数是上的“中值函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，由题意在上有两个不等实根，方程即为，令 ，则，解得．故选B．
3．（2020·福建高考模拟）定义为个正数的“均倒数”．若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则=( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：设数列{}的前n项和为，则由题意可得，
∴，，
∴，∴．
4．（2020北京市四中高考调研卷）若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①；②；③；④．
其中为“柯西函数”的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，
当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，
结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.
①,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，，所以（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；
②，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数不是；
③；④．显然都是柯西函数.
故选：B
5．（2020·永安市第一中学高考模拟）在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是（ ）
A．3972 B．3974 C．3991 D．3993
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意知，每次涂成红色的数字成等差数列，并且第n次染色时所染的最后一个数是n(2n-1)，可以求出2019个数是在第45次染色的倒数第7个数，因此可求得结果．
【详解】第1此染色的数为1=1 ，共染色1个，
第2次染色的最后一个数为6=2，共染色3个，
第3次染色的最后一个数为15=3，共染色5个，
第4次染色的最后一个数为28=4，共染色7个，
第5次染色的最后一个数为45=5，共染色9个，
…
∴第n次染色的最后一个数为n，共染色2n-1个，
经过n次染色后被染色的数共有1+3+5+…+（2n-1）=n2个，
而2019，
∴第2019个数是在第45次染色时被染色的，第45次染色的最后一个数为45，且相邻两个数相差2，
∴2019＝45＝3993．故选D．
6．（2020·福建高考模拟（理））如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为．现用米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为（参考数据:）

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件可得由外到内的正方形的边长依次构成等比数列，再根据等比数列求和公式得这些正方形的周长，列不等式，解得结果.
【详解】记由外到内的第个正方形的边长为，则.
.
令，解得，故可制作完整的正方形的个数最多为个. 应选B.
7．（2020·四川成都七中高考模拟（理））如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列.已知数列的项数为4，记事件：集合，事件：为“局部等差”数列，则条件概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出事件与事件的基本事件的个数，用=计算结果.
【详解】由题意知，事件共有=120个基本事件，事件“局部等差”数列共有以下24个基本事件，
（1）其中含1，2，3的局部等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个， 含3，2，1的局部等差数列的同理也有3个，共6个.
含3，4，5的和含5，4，3的与上述（1）相同，也有6个.
含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共 2个，
含4，3，2的同理也有2个.
含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个，
含5，3，1的也有上述4个，共24个，
=.故选C.
8．（2020北京市清华大学附属中学一模）正方形的边长为1，点在边上，点在边上，．动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为( )
A．4 B．3 C．8 D．6
【答案】D
【解析】

根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F，
在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，
G在DA上，且DG，
第三次碰撞点为H，H在DC上，且DH，
第四次碰撞点为M，M在CB上，且CM，
第五次碰撞点为N，N在DA上，且AN，
第六次回到E点，AE．
故需要碰撞6次即可．
故选：D．
9．几何中常用表示的测度，当为曲线、平面图形和空间几何体时，分别对应其长度、面积和体积．在中，，，，为内部一动点（含边界），在空间中，到点的距离为的点的轨迹为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【来源】专题4.3 立体几何的动态问题-玩转压轴题，进军满分之2021高考数学选择题填空题
【答案】D
【解析】空间中，到点的距离为的点的轨迹所构成的空间几何体在垂直于平面的角度看，如下图所示：

其中：，和区域内的几何体为底面半径为的半圆柱；，，区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为；区域内的几何体是高为的直三棱柱.
四边形和为矩形，，
，
同理可得：，，
，
，，区域内的几何体合成一个完整的，半径为的球，
则，，区域内的几何体的体积之和；
又，和区域内的几何体的体积之和；区域内的直三棱柱体积，
.
故选：D.
10．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成角的正切值为（ ）

A． B． C． D．2
【来源】热点08 立体几何-2021年高考数学【热点�重点�难点】专练（山东专用）
【答案】D
【解析】由题意知，水的体积为，如图所示，

设正方体水槽绕倾斜后，水面分别与棱交于
由题意知，水的体积为
，即，

在平面内，过点作交于，
则四边形是平行四边形，且
又侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，即侧面与平面所成的角,其平面角为,
在直角三角形中，.
故选：D.
二、填空题
11.（2020安徽省宣城市二调）数列的前项和为，定义的“优值”为 ，现已知的“优值”，则_________.
【答案】
【解析】解：由＝2n，
得a1+2a2+…+2n﹣1an＝n•2n，①
n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2an﹣1＝（n﹣1）•2n﹣1，②
①﹣②得2n﹣1an＝n•2n﹣（n﹣1）•2n﹣1＝（n+1）•2n﹣1，即an＝n+1，
对n＝1时，a1＝2也成立，
所以 .
12．（2020·广西高考模拟（理））如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为厘米，底面半径为厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为

【答案】
【解析】对圆柱沿底面直径进行纵切,如图所示:

切点为,与圆柱面相交于,此时可知即为椭圆的长轴,在直角三角形 中, ,又因为,所以,由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长,即,则求得,,故选A.
点睛:本题主要考查圆锥曲线与三角函数交汇处的综合应用,属于难题.此题的难点是如何求出长半轴的值,需要先利用切线性质求出,再利用相似求出长,即为,短轴长为底面半径,故比较容易求出,根据椭圆中的关系式,得出值,进而求出离心率.
13.（2020山东省淄博实验中学一诊）定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期若为线周期函数，则的值为______.
【答案】1
【解析】
若为线周期函数
则满足对任意，恒成立
即，
即
则
本题正确结果：
14．（2020四川省成都市二诊）在平面直角坐标系中，定义两点，间的折线距离为，已知点,,，则的最小值为___.
【答案】
【解析】d（O，C）＝|x|+|y|＝1，
首先证明：，两边平方得到
变形为，由重要不等式，显然此不等式成立，
故根据不等式的性质得到：．
故答案为：．
15．如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(如图所示)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB＝1m，AD＝0.5m，则五边形ABCEF的面积最大值为____m2.

【答案】
【解析】
以O为坐标原点，AD所在直线为轴建立平面直角坐标系，
设边缘线OM上一点，则，
设EF与边缘线OM的切点为,
因为，所以，故EF所在直线方程为，
因此，其中，
从而
因为
当时，，当时，，
即当时取最小值，从而五边形ABCEF的面积取最大值.

16．（2020北京师范大学附属实验中学）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为a，在线段上取两个点，，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：

记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，现给出有关数列的四个命题：
①数列是等比数列；
②数列是递增数列；
③存在最小的正数，使得对任意的正整数 ，都有 ；
④存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有．
其中真命题的序号是________________（请写出所有真命题的序号）.
【答案】②④
【解析】
由题意，得图1中线段为，即；
图2中正六边形边长为，则；
图3中的最小正六边形边长为，则；
图4中的最小正六边形边长为，则；
由此类推，，
所以为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确；
因为
，
即存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有，
即④正确；③错误，
综上可知正确的由②④.
17．（2020河南省十所名校联考）若函数的图象存在经过原点的对称轴，则称为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有_________.（填写所有正确结论的序号）
①；②；③.
【答案】①②
【解析】
对于①中，的反函数为：，所以函数关于直线对称，故①是“旋转对称函数”.
对于②，，所以函数是偶函数，它关于轴对称，故②是“旋转对称函数”.
对于③，，当时，，则函数的图像只可能关于直线对称，又，当时，，这与函数的图像关于直线对称矛盾，故③不是“旋转对称函数”.
18．（2020·四川高考模拟）如图，在棱长为的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，给出下列结论：
①；②；③；④
其中正确的结论是：__________．（填上你认为所有正确的结论序号）

【答案】②③④
【解析】

由如图三段相同的四分之一个圆心为A半径为 的圆弧长组成，因此
由如图三段相同的四分之一个圆心为A半径为1 的圆弧长组成，因此
由如图三段相同的四分之一个圆心分别为 半径为1 的圆弧长组成，因此
由如图三段相同弧长组成，圆心角为 ，半径为 ，因此，因此选②③④
19．（2020·辽宁高考模拟（理））大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．如图所示，已知∠ABE＝α，∠ADE＝β，垂直放置的标杆BC的高度h＝4米，大雁塔高度H＝64米．某数学兴趣小组准备用数学知识探究大雁塔的高度与α，β的关系．该小组测得α，β的若干数据并分析测得的数据后，发现适当调整标杆到大雁塔的距离d，使α与β的差较大时，可以提高测量精确度，求α﹣β最大时，标杆到大雁塔的距离d为_____米．

【答案】.
【解析】由题意得 ，
因此 ，
当且仅当 时取等号，因此当 时，取最大值，即取最大，即标杆到大雁塔的距离为.
【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
20．（2020·山东省淄博实验中学高考模拟（理））定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点在半径为1的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，则平面区域的“直径”的最大值是__________．

【答案】
【解析】设三个半圆圆心分别为G,F，E，半径分别为M,P,N分别为半圆上的动点，则PM≤+GF= +=，当且仅当M,G,F,P共线时取等；同理：PN ≤MN≤,又外接圆半径为1，，所以,∴BC=a=2sin=,由余弦定理解b+c≤2,当且仅当b=c=取等；故

21．（2020·首都师范大学附属中学高考模拟（理））定义：对于数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有成立，那么我们称数列为“﹣摆动数列”.
①若，，，则数列_____“﹣摆动数列”，_____“﹣摆动数列”（回答是或不是）；
②已知“﹣摆动数列”满足，.则常数的值为_____.
【答案】不是 是
【解析】①由知道是递增数列，故不存在满足定义的
又因为可知正负数值交替出现，故时满足定义
②因为数列是“﹣摆动数列”，故时有
可求得：
又因为使对任意正整数，总有成立，即有成立
则
所以，，…，
同理，，…，
所以，即，解得，即
同理，解得，即
综上，
本题正确结果：不是；是；