2022-2023学年上海市格致中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市格致中学高一上学期12月月考数学试题

一、填空题

1．已知幂函数的图象过点，则________.

【答案】3

【分析】先由函数为幂函数，设，然后由已知求出，再求解即可.

【详解】解：由题意设，

由函数的图象过点，

则，解得，

即 ，

则，

故答案为：.

【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法，重点考查了分数指数幂的运算，属基础题.

2．已知集合，，则______.

【答案】

【分析】解二次不等式与指数不等式化简集合，再利用数轴法即可求得.

【详解】因为，

，

所以.

故答案为：.

3．若函数的定义域为，则函数的定义域是________.

【答案】

【分析】先由函数的定义域为，可得，即可求得函数的定义域是，得解.

【详解】解：由函数的定义域为，

即，则，

则函数的定义域是，

故答案为：.

【点睛】本题考查了抽象函数定义域的求法，重点考查了运算能力，属基础题.

4．已知函数（且），则函数的图象恒过定点________.

【答案】

【分析】由即可得解.

【详解】解：由函数（且），

则，

即函数的图象恒过定点，

故答案为：.

【点睛】本题考查了指数型函数图象过定点问题，重点考查了运算能力，属基础题.

5．设函数的定义域为，且对，，恒有，若，则________.

【答案】

【分析】利用赋值法结合函数的运算性质求解即可.

【详解】解：由，，恒有，

又，则，

又，

则，即，

即，

即，

故答案为：.

【点睛】本题考查了抽象函数求值问题，重点考查了函数运算性质的应用，属基础题.

6．已知函数的值域为，则函数的值域是________.

【答案】

【分析】先由函数的值域为求得，再求函数的值域即可.

【详解】解：因为函数的值域为，

所以，即，

即函数的值域是，

故答案为：.

【点睛】本题考查了抽象函数值域的求法，重点考查了运算能力，属基础题.

7．已知奇函数，当时，，则当时，________.

【答案】

【分析】先设，则，再由时函数的解析式，结合函数的奇偶性求解即可.

【详解】解：设，则，

又函数为奇函数，

则，

故答案为：.

【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，重点考查了函数性质的应用，属基础题.

8．已知函数，，若，则________.

【答案】

【分析】先由函数解析式可得，再结合求解即可.

【详解】解：由函数，

则，

又，则，

故答案为：.

【点睛】本题考查了函数求值问题，重点考查了运算能力，属基础题.

9．已知（且），且，则________.

【答案】

【分析】由，则，再结合平方运算及立方和运算即可得解.

【详解】解：由，

又，则，

所以，

，

又

即，

故答案为：.

【点睛】本题考查了平方运算及立方和运算，重点考查了运算能力，属中档题.

10．已知函数，若的最小值是a，则a的值为__________.

【答案】

【解析】利用指数函数的单调性，可得时，的最小值为，由题意可得在时取得最小值，求得对称轴，可得，解得即可；

【详解】解：当时，在定义域上单调递增，所以

即时，的最小值为；

当时，

由题意可得在时取得最小值，即有，所以，则，解得

故答案为：

11．已知定义在R上的函数 满足：对任意的，有 恒成立，若 在 上单调递增，则不等式的解集是________.

【答案】

【分析】由对任意的，有，可得图象关于直线对称，结合单调性可得，进而可得结果.

【详解】由对任意的，有，

则函数的图象关于直线对称，

又在上单调递增，又，则 ，

解得：或，

即不等式的解集是

故答案为：

【点睛】本题主要考查函数对称性与单调性的应用，考查了一元二次不等式的求解，属于综合题.

12．已知函数，若实数，满足，则的取值范围是________.

【答案】

【分析】由题意可得，再结合重要不等式求解即可.

【详解】解：据题意：，

又实数，

则 ，

则，

即，

又，

，

则，

即的取值范围是，

故答案为：.

【点睛】本题考查了函数图象的应用，重点考查了重要不等式，属中档题.

二、单选题

13．已知且，则下列关系中恒成立的是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】对于AC，举反例即可排除；

对于B，利用指数函数的单调性即可排除；

对于D，利用不等式的性质即可判断.

【详解】对于A，令，则，但，故A错误；

对于B，因为在上单调递增，，所以，故B错误；

对于C，令，则，故C错误；

对于D，因为，所以，则，故，

因为，所以，故D正确.

故选：D.

14．已知，，则“或”是“”成立的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】由“”是“且” 成立的必要非充分条件，结合原命题及其逆否命题的关系即可得解.

【详解】解：取，，则，但且不成立，

则“”是“且” 成立的不充分条件，

由“且”能推出“”， 即“”是“且” 成立的必要条件，

故“”是“且” 成立的必要非充分条件，

则“或”是“”成立的必要非充分条件，

故选：B.

【点睛】本题考查可充分必要条件，重点考查了原命题及其逆否命题，属基础题.

15．设函数定义在上，对于给定的正数，定义函数，对于函数，当时，函数的单调递增区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得当时，，再求函数的增区间即可得解.

【详解】解：当时，令，解得或，

当，解得，

即，

即当时，函数的单调递增区间为，

故选：A.

【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法，重点考查了分段函数单调区间的求法，属中档题.

16．已知方程的所有解都为自然数，其组成的解集为，则的值不可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】当分别取时，，，排除，

当分别取时，，，排除，

当分别取时，，，排除，故选A.

三、解答题

17．已知函数的定义域为，集合，若，求实数的取值范围.

【答案】

【分析】先求出集合，再由集合的运算可得，然后列不等式组求解即可.

【详解】解：由函数的定义域为，

则，解得：，即，

又且，

则，则 ，解得，

故实数的取值范围为.

【点睛】本题考查了函数定义域的求法，重点考查了集合的运算及集合的包含关系，属基础题.

18．已知函数的图象关于点对称，是否存在负数，使得成立，若存在求出；若不存在，说明理由.

【答案】不存在，理由见解析.

【分析】由函数的图象关于点对称，则，再结合函数值域的求法判断即可得解.

【详解】解：不存在，

理由如下：

因为，

则函数的图象关于点对称，

又函数的图象关于点对称，

则，

所以，

假设存在负数，使得，

①当时，，显然不可能成立；

②当时，，也不可能成立.

综合①②可得：不存在负数，使得成立.

【点睛】本题考查了分式函数图象的对称性，重点考查了分式函数的值域的求法，属中档题.

19．经市场调查，某商品每吨的价格为万元时，该商品的月供给量为吨，；月需求量为吨，，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.

（1）已知，若某月该商品的价格为x=7，求商品在该月的销售额（精确到1元）；

（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6万元，求实数的取值范围.

【答案】（1）该月销售额为：（元）（2）

【分析】（1）将和x=7代入销量方程中，可得到该月的销售额；（2）均衡价格即为时的价格，设，因为该商品均衡价格不低于每吨6万元，并且每吨的价格为万元，结合函数单调性，故有，，解不等式即得。

【详解】（1）若时，

，

由可得：

所以该月销售额为：（元）

（2）设，

因为，所以在区间上是增函数，

若该商品的均衡价格不低于6万元，即函数在区间上有零点，

所以

即

解得.

【点睛】请在本题考查利用给定函数模型解决实际问题，运用判断函数单调性以及给定一点的值与零点比较大小的方法，难度不大。

20．已知关于不等式.

（1）若该不等式的解集为空集，求函数的最大值；

（2）若，该不等式能成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由关于不等式的解集为空集，可得，然后求的最大值即可；

（2）当，该不等式能成立等价于在有解，再结合二次函数的对称轴讨论即可得解.

【详解】解：（1）由关于不等式的解集为空集，

则，解得，

则，

设

则，

则，当且仅当，即，即时取等号，

即函数的最大值为，

故函数的最大值为；

（2）当，该不等式能成立，即在有解，

设，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.

①当时，则有，即，

解得或，不合乎题意；

②当时，二次函数在区间上单调递增，则，解得，此时，；

③当时，二次函数在区间上单调递减，由于，

此时，不合乎题意.

综上所述，实数的取值范围为.

【点睛】本题考查了分式函数值域的求法，重点考查了二次不等式有解问题，属中档题.

21．已知函数的定义域为，其中为常数；

（1）若，且是奇函数，求的值；

（2）若，在上存在个点，满足，，，使，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由为奇函数，则恒成立，再求即可；

（2）由在上单调递增，在单调递减，再求出函数的最值，然后结合方程有解问题求解即可.

【详解】解：（1）由的定义域为，且是奇函数，

则恒成立，

即恒成立，

即恒成立，

即，

综上所述；

（2）因为，又在上单调递增，在单调递减，

所以，，

又的图象如图所示， 由函数图象可知：，

要使，

只需即可，即，

解得，

即实数的取值范围为.

【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值，重点考查了二次函数图象的性质及函数最值的应用，属综合性较强的题型.