2022-2023学年上海市格致中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市格致中学高二上学期12月月考数学试题

一、填空题

1．若排列数，则____________.

【答案】3

【分析】利用排列数计算公式即可得出．

【详解】解：排列数，

．

故答案为：3．

【点睛】本题考查了排列数计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2．如图所示，在正方体中，E、F分别是AB、AD的中点，则异面直线与EF所成的角的大小为_________.

【答案】##

【分析】连接，根据正方体的性质可得：（或其补角）即为所求，进而求解即可.

【详解】如图，连接，则，

故（或其补角）即为所求，

又，所以，

故答案为：.

3．已知，，若与共线，则_________.

【答案】##

【分析】由向量共线的坐标表示得出的值.

【详解】因为与共线，所以，所以，，则.

故答案为：

4．设集合，则集合中有_________个元素.

【答案】99

【分析】首先写出的所有可能取值，再根据分步乘法计数原理即可得出结果

【详解】由题意可知，的所以可能取值的集合为，

的所以可能取值的集合为，

即的所有可能取值分别由9种、11种；

所以，组成的点共有种，

即集合中有99个元素.

故答案为：99

5．在等比数列中，若，，则的值为_________.

【答案】

【分析】由题意，根据等比数列的通项，结合等比中项的性质，可得答案.

【详解】因为为等比数列，设其公比为，所以

因为，所以，

故.

同理，是与的等比中项，

所以，故.

所以.

故答案为：.

6．已知圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为___________.

【答案】

【分析】利用圆锥轴截面等腰三角形特征求出圆锥的高和底面圆半径，再利用圆锥体积公式计算作答.

【详解】因圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则此等腰三角形底边上的高即为圆锥的高h，

因此，，圆锥底面圆半径，

所以圆锥的体积为.

故答案为：

7．如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，

①GH与EF平行；

②BD与MN为异面直线；

③GH与MN成60°角；

④DE与MN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是__________．

【答案】②③④

【详解】还原成正四面体知GH与EF为异面直线，

BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，

因为正四面体对棱垂直，所以，

所以DE⊥MN.

故答案为：②③④

8．若从1，3中选一个数字，从0，2，4中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则组成的三位数共有__________个偶数.

【答案】20

【分析】根据三位数偶数的性质，以0的位置以及个位的选择，利用乘法原理以及加法原理，可得答案.

【详解】组成的三位数为偶数，若三位数的个位为0，则有个；

若十位为0，个位从2，4中选一个，则有个；

若这个三位数没有0，从2，4中选一个为个位，则有个.

综上，要求的三位偶数的个数为8+8+4=20个.

故答案为：.

9．设数列的前项和为，，，则_________.

【答案】

【分析】根据的定义，整理其递推公式，利用等比数列的定义，求得其通项，结合，求得数列的通项，利用求和公式以及极限的计算，可得答案.

【详解】因为，所以，所以，

又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，

当时，，所以，

则.

故答案为：.

10．已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为_______.

【答案】##

【分析】作出直观图，根据几何关系求出球心到平面ABC的距离即可求解.

【详解】∵，∴为等腰直角三角形，∴，

则外接圆圆心是AB中点，半径为，

又球的半径为OB＝1，设O到平面的距离为d＝，则，

∴．

故答案为：.

11．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，，点在棱上运动.则面积的最小值为___________.

【答案】

【分析】首先通过作辅助线可得，即转化为求的最小值，设，通过比例关系表示，并求其最值.

【详解】

如图，作于点，作，交于点，连接.得到，

，平面，，又，，

所以面PQM，所以.

设，，由，得到，

在中，，得到，，

，

当且仅当时，等号成立.

.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的垂直关系，以及最值问题，本题的关键是由点引辅助线，并得，利用平行关系得比例线段，即可求其最值.

12．数列满足，若时，，则的取值范围是__________．

【答案】

【详解】,

,

故填.

点睛：本题的难点在于解题思路，看到这种递推关系，要能确定这种数列可以通过构造求出数列的通项，再利用数列的单调性性质即可得到的取值范围.

二、单选题

13．已知直线在平面内，则“直线”是“直线”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的判定和性质分析判断.

【详解】当直线在平面内，时，直线有可能在平面内，直线有可能与平行，也有可能相交不垂直，

而当直线在平面内，时，一定成立，

所以“直线”是“直线”的必要不充分条件，

故选：B

14．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ）

A．60种 B．90种 C．120种 D．360种

【答案】A

【分析】这是一个组合问题，从6同学中选出1人安排到甲场馆是，再安排2人到乙场馆是，最后剩余3人安排到丙场馆，根据分步乘法原理相乘即可.

【详解】依题意从6同学中选出1人安排到甲场馆是，再从剩余5人安排2人到乙场馆是，最后剩余3人安排到丙场馆，

根据分步乘法原理，不同的安排方法共有种.

故选：A.

15．已知各项均为正项的等比数列，，，其前项和为，下列说法错误的是（    ）

A．数列为等差数列 B．若，则

C． D．记，则数列有最大值

【答案】C

【分析】根据等比数列的性质逐项判断即可．

【详解】解：各项均为正项的等比数列，则，

对于选项A：（常数），故正确；

对于选项B：，

所以，故正确；

对于选项C：若数列为等比数列，

所以，故错误；

对于选项D：，

由于，有最小值，且，

所以有最大值，

故有最大值，故正确；

故选：C．

16．在棱长为1的正方体中，为底面ABCD的中心，是棱上一点，且，，N为线段AQ的中点，则下列命题中正确的是（    ）

A．CN与QM是异面直线

B．三棱锥的体积跟的取值有关

C．当时，

D．当时，过A、Q、M三点的平面截正方体所得截面的周长为

【答案】D

【分析】对于A，根据中位线定理，可得平行，即得共面，可得答案；

对于B，根据正方体的性质，求得点到底面的距离，利用三棱锥体积公式，可得答案；

对于C，利用勾股定理，求得的长，根据等腰三角形的性质，可得答案；

对于D，利用平行的性质，可得平面，根据勾股定理，求得边长，可得答案.

【详解】在中，因为M、N为AC、AQ的中点，所以，所以CN与QM共面，A错误；

作，易知，由为的中点，可得，，即到平面的距离为，

，则三棱锥的体积跟的取值无关，B错误；

当时，得，，，，

则，所以不成立，C错误；

当时，，过作，则，，

，，

过A、Q、M三点的正方体的截面ACEQ是等腰梯形，

所以平面截正方体所截得的周长为，D正确.

故选：D.

三、解答题

17．如图，是圆柱的一条母线，AB是圆柱的底面直径，C在圆柱下底面圆周上，M是线段的中点.已知，.

(1)求圆柱的侧面积；

(2)求证：

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据圆柱的侧面积公式进行求解即可；

（2）根据圆柱的几何性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可.

【详解】（1）因为AB是圆柱的底面直径，

所以，，，所以，

所以圆柱的侧面积为.

（2）因为底面，底面，

所以

又因为，平面，

所以平面

因为平面，所以.

18．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．

（1）若a3=4，求{an}的通项公式；

（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

【答案】（1）；

（2）.

【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于和的方程组，求得和的值，利用等差数列的通项公式求得结果；

（2）根据题意有，根据，可知，根据，得到关于的不等式，从而求得结果.

【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，

根据题意有，

解答，所以，

所以等差数列的通项公式为；

（2）由条件，得，即，

因为，所以，并且有，所以有，

由得，整理得，

因为，所以有，即，

解得，

所以的取值范围是：

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.

19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，，，是棱的中点.

(1)求证：平面ACQ；

(2)求直线PB到平面ACQ的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接BD交AC于O，连接，首先根据三角形中位线证明，然后根据线面平行的判定定理即可证明平面；

（2）由于（1）可知由于平面ACQ，则PB到平面ACQ的距离，即B到平面ACQ的距离，然后建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式进行求解即可.

【详解】（1）连接BD交AC于O，连接，

因为底面ABCD为正方形，所以O为BD的中点，

因为Q为PD中点，所以，

因为平面，平面，所以平面；

（2）因为平面平面，平面PAD∩平面，

，所以平面，所以，

故AB、AD、AP两两垂直，以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，

，，，，

设平面的法向量为，

所以，故可设，

由于平面ACQ，则PB到平面ACQ的距离，即B到平面ACQ的距离.

，B到平面的距离为.

即直线PB到平面的距离为.

20．设，数列满足，数列的通项公式为.

(1)已知，求的值；

(2)若，以，求数列最大项及相应的值；

(3)设为数列其前项和，令，数列的前项和为.证明：.

【答案】(1)

(2)数列最大项为，相应的序数为57或58

(3)证明见解析

【分析】（1）由已知代入即可求解；

（2）由题，研究数列的单调性，确定其最大项即可；

（3）利用裂项相消法求数列的前和，由此结论结论.

【详解】（1）因为，所以，所以；

（2）若，则，所以，

所以，

所以当时，，即，

当时，，即，

当时，，即，

所以，

又，所以数列最大项为，相应的序数为57或58.

（3）因为，所以，

所以，

所以

，

因为，所以，即，

所以，即，

即，所以.