2022-2023学年安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据对数函数单调性解不等式化简集合A，由二次不等式化简B，直接计算并集即可.

【详解】，

，

故选：A

2．已知条件，，条件，则是成立的（  ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件的概念，由不等式的性质及取特殊值即可得解.

【详解】当，时，由得，

所以，

所以，∴，即p是q的充分条件，

取特殊值，，满足成立，但不成立，即，

所以p是q成立的充分非必要条件．

故选：A．

3．若函数，且，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用换元法求出的解析式，然后可得答案.

【详解】因为，所以令，则，

所以，所以，

因为，所以，

故选：B.

4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（      ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】的定义域为两个函数定义域的交集，列出不等式组求解即可．

【详解】由题可知，，故函数的定义域为，

故选：A．

5．下列命题中，正确的有（    ）个

①若，，：，则它是函数；

②若函数的定义域是，则函数的定义域为；

③幂函数与图像有且只有两个交点；

④当时，方程恒有两个实根.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】对于①，由映射和函数的定义判断即可；

对于②，由抽象函数的定义求解即可；

对于③，结合幂函数的性质判断；

对于④，将问题转化为与的图象交点个数的问题，作出图象即可判断.

【详解】对于①，对应：是映射，也是函数；符合映射，函数的定义，故①对；

对于②，若函数的定义域是（1,2），则 故函数的定义域为，故②对

对于③，幂函数为偶函数，在上单调递增，在上单调递减且图像过 ，为偶函数，在上单调递减，在上单调递增且图像过 所以两个图像有且只有两个交点；故③对；

于④，当时，单调递增，且函数值大于1，所以当时，方程只有一个实根.故④错；

故选：C

6．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合．若角终边上一点的坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】计算得到，在根据三角函数定义计算得到答案.

【详解】，即，则，.

故.

故选：A

7．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合诱导公式求得正确答案.

【详解】.

故选：C

8．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先把已知的等式平方得到，再化简代入即得解.

【详解】由，

所以，

∴，

所以.

故选：A．

二、多选题

9．下列选项正确的是（    ）

A．

B．

C．若终边上有一点，则

D．若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为

【答案】BD

【分析】利用诱导公式可判断A，利用弧度与角度之间的转化公式可判断B，利用任意角的三角函数定义可判断C，利用扇形的弧长和面积公式可判断D

【详解】对于A，，故A错；

对于B，，故B正确；

对于C，若终边上有一点，则，故C不正确；

对于D，若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的半径为，面积为，故D正确.

故选：BD

10．已知函数，若（其中），则的可能取值有（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】BCD

【分析】根据题设条件可得，根据基本不等式可求最小值.

【详解】,

因为，故，

故，

而，故即，而，

由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，

故的可能取值为（均验证）.

故选：BCD.

11．已知函数，则函数的零点个数不可能为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】ACD

【分析】根据题意，先作出的图像，再令，将问题转化为与的交点的个数，进而得到交点横坐标的范围，从而分类讨论与两种情况，结合的图像即可判断得的零点的个数，由此得解.

【详解】根据指数函数与对数函数的性质，结合函数图像的变换作出的图像，如图，

令，则，

令，则，即，

在图中再作直线，由图象可知与有两个交点，其横坐标设为，

则，

当时，结合图像可知有2个不等实根；

当时，结合图像可知有3个不等实根；

综上：可得的实根个数为5，

即函数的零点个数是5.

故选：ACD.

.

12．已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】把指数式化成相应的对数式，运用对数的运算法则及换底公式和基本不等式可求得结果.

【详解】解：，令，则，，.

对于A，

，A选项正确；

对于B，，，

因为，所以，B选项错误；

对于C，，C选项错误；

对于D，，

所以，D选项正确；

故选：AD.

三、填空题

13．已知命题，使得，则为_______

【答案】，.

【分析】存在量词命题（特称命题）的否定，改为，对结论否定.

【详解】由题意，，使得，

则，.

故答案为：，.

14．已知是第二象限角，且，则的集合是______________．

【答案】

【分析】先写出终边在第二象限的角，然后根据不等式得到的范围，再通过对赋值具体求出的值或范围. 其中.

【详解】∵是第二象限角，∴．

∵，∴．

当时，由得，且；

当时，由得，且；

当为其他整数时，满足条件的角不存在．

所以，所求的集合是.

【点睛】本题考查象限角的概念和对赋值的思想，属于中档题.

第一象限角的集合，

第二象限角的集合，

第三象限角的集合，

第四象限角的集合.

对赋值时，先取，再取，再取， ，这样可以保证对取值不重复不遗漏.

15．已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数的值为_________．

【答案】

【分析】由偶函数定义结合对数运算可得，进而整理可得，利用换元法令，根据题意结合分类讨论解决二次函数的最值问题.

【详解】∵函数是偶函数，则，

故，

∴，则，

可得：，

令，当且仅当，即时等号成立，则，

由题意可得：在上的最小值为，

∵的对称轴为，则有：

若，即时，在上单调递增，当时取到最小值，

则，解得：；

若，即时，在上单调递减，在上单调递增，当时取到最小值，

则，解得：（舍去）；

综上所述：.

故答案为：.

16．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则______．

【答案】

【分析】由题设条件得与，利用赋值法得到，从而求得当时，，再由上述两等式推得是以4为周期的函数，由此可求得的值.

【详解】因为为奇函数，则，

令，则，故，则，

令，则，

又因为为偶函数，则，

令，则，

因为，所以，

联立，解得，

所以当时，.

又因为，即，

则，

所以函数是以4为周期的函数，

故.

故答案为：.

四、解答题

17．求值：

(1)；

(2)．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用根式运算、指数运算计算作答.

（2）根据给定条件，利用对数运算法则及对数性质计算作答.

【详解】（1）.

（2）

.

18．已知不等式的解集是，不等式的解集是.

(1)当时，求；

(2)如果是的充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据题意，求得，再结合集合的交运算，求解即可；

（2）根据集合之间的包含关系，列出关于的不等式，求解即可.

【详解】（1），即，也即且，解得，即；

当时，即，解得或，即；

故.

（2），则或，即，

由题可知，，

则或，解得.

故实数的取值范围为：.

19．(1)请化简：．

(2)已知,,求.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据诱导公式化简即可（2）计算的平方，分析的大小即可求值.

【详解】（1）原式=

（2）因为，两边平方得，

有

所以

又因为，所以，，则

所以．

【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，同角三角函数的关系，正余弦函数的性质，属于中档题.

20．求证：.

【答案】证明见解析

【分析】从左边开始，将式子变形为，进而将式子化简，结合同角三角函数的平方关系进行变形，最后证得答案.

【详解】左边

右边

所以原等式成立.

21．已知函数f（x）＝sinx，g（x）＝lnx．

（1）求方程在[0，2π]上的解；

（2）求证：对任意的a∈R，方程f（x）＝ag（x）都有解；

（3）设M为实数，对区间[0，2π]内的满足x1＜x2＜x3＜x4的任意实数xi（1≤i≤4），不等式成立，求M的最小值．

【答案】（1）或；（2）详见解析；（2）

【解析】（1）利用诱导公式化简，结合同角三角函数的基本关系式求得的值，由此求得方程的解.

（2）将分成和两种情况，结合零点存在性证得结论成立.

（3）先证得，再证得，由此求得的最小值为.

【详解】（1）因为，，所以，即，且.若，则，与矛盾.所以，从而.又，所以或.

（2）当时，由得，即是该方程的一个解；

当时，令.因为的图像在区间上连续不断，且，，根据零点存在性定理可知，存在，使得.因此，当时，方程有解.

综上所述，对任意，方程都有解.

（3）先证：.

取，.

再证：当时，都有，即.

①若，因为，于是，所以，而，所以.

②若，，，所以；

③若，，，所以，

于是对任意满足条件的，都有.

综上所述，的最小值为.

【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查零点存在性定理，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题.

22．已知函数.

（1）若，且在上存在零点，求实数的取值范围；

（2）若对任意，存在使，求实数的取值范围；

（3）若存在实数，使得当时，恒成立，求实数的最大值.

【答案】（1）；（2）；（3）10.

【分析】（1）由时，，令，当时，分离参数，再令，得出的单调性，从而得出的值域，可得实数a的取值范围；

（2）由得，即令，则的对称轴为，由得对称轴的范围，从而得当的最小值为，再由，得，可得的范围；

（3）的对称轴为,根据对称轴与区间的关系分情况讨论的单调性,求出最值,根据列出不等式组,化简得出的取值范围,从而得到实数的最大值.

【详解】（1）由时，，令，当时，，

令，则的定义域为，设，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，因为是定义域为的奇函数，

所以在上单调递减，在上单调递增，

当时，或，所以或，所以要使在上存在零点，则需或.

故：实数a的取值范围是或.

（2）由得，即令，则的对称轴为，当时，对称轴，

所以当时，的最小值为，而，所以，

所以要使对任意，存在使，则需；

 （3）的对称轴为.

①若,则在上单调递增,,

由,得,

解不等式组,得.

②若,即时,在上单调递减,在单调递增,且，

.

,即,得.

③若,即时,在单调递减,在单调递增,且 ，

,即,则.

④若,即时,在上单调递减,

,

,即,则.

综上, 的取值范围是,的最大值为10.

【点睛】本题考查二次函数的零点和其值域等问题，以及恒成立，存在等较综合的问题，属于难度题.

对于不等式的存在性的问题时，常有以下情形：

（1），使不等式成立，则；

（2），使不等式成立，则；

（3）,使不等式成立,则；

（4）,使不等式成立,则；

（5）,,均有恒成立，则；

（6）,,均有恒成立，则.