2022-2023学年北京市朝阳区第二外国语学院附属中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年北京市朝阳区第二外国语学院附属中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式进行化简并求值

【详解】

故选：B

2．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用集合的交集运算即可.

【详解】由题可知，，

故选:A.

3．命题“”的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】在写命题的否定中要把存在变任意，任意变存在.

【详解】因为特称命题的否定为全称命题，

所以的否定即为.

故选：C.

4．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的单调性、奇偶性确定正确答案.

【详解】的定义域是，是非奇非偶函数，A选项错误.

是偶函数，且在上单调递增，B选项正确.

是偶函数，在上单调递减，C选项错误.

是偶函数，在上单调递减，C选项错误.

故选：B

5．“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可

【详解】当时，，

当 时，或，

所以“”是“”的充分非必要条件，

故选：A

6．如果，那么下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的性质判断A、B，再根据指数函数的性质判断C，根据对数函数的性质判断D；

【详解】解：因为，所以，故A错误；

因为，所以，故B错误；

因为，且在定义域上单调递减，所以，故C错误；

因为，且在定义域上单调递增，所以，故D正确；

故选：D

7．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先判断函数在上的范围，排除A；再判断在区间上的单调性，根据函数零点存在性定理，即可判定出结果.

【详解】因为是定义在上的连续函数，

当时，，所以，即零点不可能在内；

任取，则

，

因为，所以，，即，即，

所以在上单调递增；

又，，，，

根据零点存在性定理，可得在内有零点，

故选：C.

8．已知，则的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出a,b,c的大小关系．

【详解】，即.

，即.

，即.

所以.

故选 ：D

9．声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（    ）

A．105倍 B．108倍 C．1010倍 D．1012倍

【答案】B

【解析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，根据题意得出，，计算求的值.

【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，

，，

，，所以，

因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍.

故选：B

10．设函数的定义域为R，且，，若对于任意实数x，y，恒有则下列说法中不正确的是

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】令，即可求解，

令，，即可求出，

令，，可得结论，

令，，.

【详解】由题意，令，可得，，

，故A正确，

令，，可得，

，故B正确

令，，可得，

，

；

，

，故C正确，

令，，可得，

，故D错误，

故选D．

【点睛】本题考查抽象函数问题，考查了函数的奇偶性、对称性、单调性，同时也考查了学生解决探索性问题的能力，属于中档题.

二、填空题

11．函数的定义域为__________．

【答案】

【分析】根据分式和根式的定义域求出范围即可.

【详解】由,解得且,

故定义域为,

故答案为:.

12．已知x＞0，y＞0，x＋y＝2，则xy的最大值为________．

【答案】1

【分析】利用基本不等式求解即可.

【详解】因为x＞0，y＞0

所以

即，解得，当且仅当时等号成立.

则xy的最大值为1.

故答案为：1.

13．________．

【答案】

【分析】利用指数运算及对数运算法则进行计算.

【详解】

故答案为：7

14．函数的值域为，且在定义域内单调递减，则符合要求的函数可以为_____．（写出符合条件的一个函数即可）

【答案】

【解析】由函数的值域为,且在定义域内单调递减,即是符合要求的一个函数．

【详解】解：∵函数的值域为,且在定义域内单调递减,

∴函数即是符合要求的一个函数,

故答案为：

【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性和值域,是基础题．

15．已知函数，满足对任意都有成立，那么实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】利用求解分段函数单调性的方法列出不等式关系，由此即可求解

【详解】由已知可得函数在R上为单调递增函数，

则需满足 ，解得，

所以实数a的取值范围为，

故答案为：．

16．已知函数，关于函数有以下四个结论：

①的定义域为；

②的值域为；

③若，则的值是；

④的解集为.

其中所有正确结论的序号是___________.

【答案】②③

【分析】根据函数解析式画出函数图象，即可判断①②，再结合函数解析式分类讨论分别计算③④；

【详解】解：因为，函数图象如下所示：

显然函数的定义域为，故①错误；

又，所以函数的值域为，故②正确；

当时，解得或（舍去），

当时，解得（舍去），

即若，则，故③正确；

当时，解得，

当时，解得，

综上的解集为，故④错误；

故答案为：②③

三、解答题

17．根据下列条件，求三角函数值

(1)已知，且为第二象限角，求的值；

(2)已知，求的值．

【答案】(1)，

(2)，或，

【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式进行求解；

（2）利用同角三角函数基本关系式得到关于、的方程组，再结合角所在象限进行求解.

【详解】（1）因为，且，

所以，又为第二象限角，

则，；

（2）因为，

所以，且是第二、四象限角；

联立，得，

当是第二象限角时，，；

当是第四象限角时，，；

所以，或，.

18．已知集合．

(1)求集合与集合；

(2)求及

(3)若集合，且，求实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)，

(3)

【分析】（1）解指数不等式和一元二次不等式即可；(2)根据集合的交并补运算即可求解；(3)根据集合的包含关系求解.

【详解】（1）由解得，所以，

由解得或，所以，

（2）由（1）得，.

（3）因为，所以,且，

所以，解得，所以的取值范围是.

19．设函数是定义在上的偶函数，若当时，，

(1)求当时，函数的解析式；

(2)画出函数图象，并求满足的的取值范围；

(3)若方程有四个实数根，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用已知的解析式和偶函数的定义求解即可；

（2）画出函数图象，借助图象即可得出结论；

（3）在同一坐标系中作出和的图象，再由图象进行求解.

【详解】（1）令，则，

因为当时，，

所以，

因为函数的偶函数，

所以，

即当时，；

（2）由（1）得，

作出的图象（如图所示），

由图象，得当时，，

即满足的的取值范围为；

（3）将化为，

在同一坐标系中作出和的图象（如图所示），

由图象，得当时，的图象与直线有四个交点；

即方程有四个实数根，的取值范围 为.

20．已知．

(1)求函数的定义域；

(2)判断函数的奇偶性，并加以证明；

(3)求的值；

(4)证明函数在上为单调递减函数．

【答案】(1)；

(2)偶函数，证明见解析；

(3)0；

(4)证明见解析．

【分析】（1）由对数的真数大于0可得定义域；

（2）根据奇偶性的定义判断；

（3）由对数运算法则计算；

（4）根据单调性的定义证明．

【详解】（1）由题意,解得,

定义域为；

（2）是偶函数：

证明：，所以是偶函数；

（3）；

（4）设，

，

∵，所以，，，

∴，即，

∴函数在上为单调递减函数．

21．已知函数，（）．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；

(3)若对任意，存在，使得，求的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

(3)

【分析】（1）将代入不等式，解该一元二次不等式即可；

（2）转化为一元二次不等式恒成立问题，利用即可解得参数的范围；

（3）对任意，存在，使得，转化为的值域包含于的值域.同时对值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论，最终解不等式组求解.

【详解】（1）当时，由得，

即，解得或．

所以不等式的解集为或．

（2）由得，

即不等式的解集是．

所以，解得．

所以的取值范围是．

（3）当时，．

又．

①当，即时，

对任意，．

所以，此时不等式组无解，

②当，即时，

对任意，．

所以解得，

③当，即时，

对任意，．

所以此时不等式组无解，

④当，即时，

对任意，．

所以此时不等式组无解．

综上，实数的取值范围是．

【点睛】关键点点睛，本题中“对任意，存在，使得”这一条件转化为函数值域的包含关系是解决问题的关键，而其中二次函数在闭区间上的值域问题，又需要针对对称轴与区间的相对位置进行讨论.