还剩46页未读，
继续阅读
所属成套资源：【高考数学】模拟试题
成套系列资料，整套一键下载
【高考数学】2022-2023学年湖北省武汉市专项提升仿真模拟试题（一模二模）含解析
展开
这是一份【高考数学】2022-2023学年湖北省武汉市专项提升仿真模拟试题（一模二模）含解析，共49页。试卷主要包含了设集合，集合，则，已知，，则，设复数，则，已知圆M等内容，欢迎下载使用。
【高考数学】2022-2023学年湖北省武汉市专项提升仿真模拟试题（一模）
第I卷（选一选）
请点击修正第I卷的文字阐明
评卷人
得分
一、单 选 题
1．设集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，，，则1a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（ ）
A．B．-1C．1D．
5．2021年12月22日教育部提出五项管理“作业、睡眠、手机、课外阅读、健康管理”，体育锻炼是五项管理中一个非常重要的方面，各地中小学积极呼应教育部政策，改善先生和教师锻炼设备设备.某中学建立“网红”气膜体育馆（图1），气膜体育馆具有古代感、美观、大气、温馨、环保的特点，深受先生和教师的喜欢.气膜体育馆从某个角度看，可以近似笼统为半椭球面外形，该体育馆设计图纸比例（长度比）为1∶20（单位：m），图纸中半椭球面的方程为（）（如图2），则该气膜体育馆占地面积为（ ）
A．1000m2B．540m2
C．2000m2D．1600m2
6．已知正实数x，y，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相反颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（ ）
A．288B．336C．576D．1680
8．已知偶函数在上恰有2个极大值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
评卷人
得分
二、多选题
9．设复数，则（ ）
A．z的虚部为B．
C．D．
10．已知圆M：，直线l：，直线l与圆M交于A，C两点，则下列说确的是（ ）
A．直线l恒过定点
B．的最小值为4
C．的取值范围为
D．当最小时，其余弦值为
11．高斯是德国数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x的整数，则称为高斯函数，例如，.则下列说确的是（ ）
A．函数在区间（）上单调递增
B．若函数，则的值域为
C．若函数，则的值域为
D．，
12．已知正方体的棱长为2（如图所示），点M为线段（含端点）上的动点，由点A，，M确定的平面为，则下列说确的是（ ）
A．平面截正方体的截面一直为四边形
B．点M运动过程中，三棱锥的体积为定值
C．平面截正方体的截面面积的值为
D．三棱锥的外接球表面积的取值范围为
第II卷（非选一选）
请点击修正第II卷的文字阐明
评卷人
得分
三、填 空 题
13．已知，，，则__________.
14．已知函数，则__________.
评卷人
得分
四、解 答 题
15．奥运古祥物“雪容融”是根据中国传统文明中灯笼的外型创作而成，现挂有如图所示的两串灯笼，每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笼，直至某一串灯笼被摘完为止，则左边灯笼先摘完的概率为________.
16．记正项数列的前n项和为，且满足对任意正整数n有，，构成等差数列；等比数列的公比，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
17．如图，在三棱锥中，平面平面,，，D，E分别为，中点，且.
(1)求的值；
(2)若，求二面角的余弦值.
18．如图，在平面四边形中，，，.
(1)当，时，求的面积；
(2)当，时，求.
19．某社区拟对该社区内8000人进行核酸检测，现有以下两种核酸检测：
一：4人一组，采样混合后进行检测；
二：2人一组，采样混合后进行检测；
若混合样本检测结果呈阳性，则对该组一切样本全部进行单个检测；若混合样本检测结果呈阴性，则不再检测.
(1)某家庭有6人，在采取一检测时，随机选2人与另外2名邻居组成一组，余下4人组成一组，求该家庭6人中甲，乙两人被分在同一组的概率；
(2)假设每个人核酸检测呈阳性的概率都是0.01，每个人核酸检测结果互相，分别求该社区选择上述两种检测的检测次数的数学期望.以较少检测次数为根据，你建议选择哪种？
（附：，）
20．函数，其中a，b为实数，且.
（注为自然对数的底数）
(1)讨论的单调性；
(2)已知对任意，函数有两个不同零点，求a的取值范围.
21．已知点在抛物线E：（）的准线上，过点M作直线与抛物线E交于A，B两点，斜率为2的直线与抛物线E交于A，C两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)（ⅰ）求证：直线过定点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为H，设的面积为S，且满足，求直线的斜率的取值范围.
评卷人
得分
五、双空题
22．已知，，是双曲线C：的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于点A，与右支交于点B，与内切圆的圆心分别为，，半径分别为，，则的横坐标为__________；若，则双曲线离心率为__________.
答案：
1．B
【分析】
先求解集合与集合，再利用交集运算求解.
【详解】
解：由于，解得或，故，
又，解得，故.
所以.
故选：B.
2．A
【分析】
利用指数函数及对数函数的性质即得．
【详解】
∵，，
，
∴.
故选：A.
3．C
【分析】
利用平方关系，同角三角函数关系式，即可求解.
【详解】
，，，，，
，所以.
故选：C
4．C
【分析】
利用等差中项，及等差数列前n项和的性质即可求解.
【详解】
解：在等差数列中，，，故，
又，故，
则，故.
故选：C.
5．D
【分析】
令得到半椭球面在平面上的边缘投影方程为，并确定半径，再运用圆的面积公式求面积.
【详解】
当时，在平面上的边缘投影为，即，
所以投影是半径为2 m的圆，又体育馆设计图纸比例（长度比）为1∶20，
故实践投影半径为40 m的圆，则面积为.
故选：D
6．B
【分析】
根据基本不等式“1”的妙用求出的最小值即可判定.
【详解】
，当且仅当等号成立，所以充分性成立，
当时，，此时，所以必要性不成立.
故选：B.
7．B
【分析】
根据题意,分2步进行分析,由分步计数原理计算可得答案.
【详解】
解:步:排红车,列选一个地位,则第二列有三个地位可选,由于车是不相反的,故红车的停法有种,
第二步,排黑车,若红车选,则黑车有共7种选择,黑车是不相反的,故黑车的停法有种，
根据分步计数原理,共有种,
故选：B
8．D
【分析】
利用辅助角公式化简函数，根据偶函数的性质的取值范围，求解的值，化简得到，再根据函数在上恰有2个极大值，代入，即可求解的取值范围.
【详解】
解：，
由于，则，故，
又函数为偶函数，故，解得，
故，
由于函数在上恰有2个极大值，故当时，，
即.
故选：D.
9．AC
【分析】
根据复数的运算化简，再复数的虚部，共轭复数，复数的模的概念判断各选项即可.
【详解】
由于，
所以z的虚部为，A对，
，B错，
，C对，
，
，D错，
故选：AC.
10．ABC
【分析】
A.直线方程变形为，即可判断定点坐标；B.根据定点是弦的中点时，此时最短；C.根据向量数量积公式，转化为求的最值；D.根据C即可判断.
【详解】
A.直线，即，直线恒过点，故A正确；
B.当定点是弦的中点时，此时最短，圆心和定点的距离时，此时，故B正确；
C.当最小时，最小，此时，此时，当是直径时，此时，，此时，所以的取值范围为，故C正确；
D.根据C可知当最小时，其余弦值为，故D错误.
故选：ABC
11．AC
【分析】
求出函数式确定单调性判断A；举特例阐明判断B，D；变形函数式，分析计算判断C作答.
【详解】
对于A，，，有，则函数在上单调递增，A正确；
对于B，，则，B不正确；
对于C，，
当时，，，有，
当时，，，有，的值域为，C正确；
对于D，当时，，有，D不正确.
故选：AC
12．BCD
【分析】
举例阐明判断A；利用等体积法推理判断B；建立函数关系，借助函数性质计算判断C，D作答.
【详解】
正方体的棱长为2，点M为线段（含端点）上的动点，
对于A，当点M与点C重合时，平面只与正方体的共点D的三个面有公共点，所得截面为三角形，A不正确；
对于B，点M到平面的距离为2，而，B正确；
对于C，当点M与点C重合时，截面为正三角形，其边长为，截面面积为，
当点M与点C不重合时，平面平面，如图，，
当点M与点重合时，截面是正方体的对角面，其面积为，
令，截面是等腰梯形，则，，
等腰梯形的高，
截面面积，
令，显然在上递增，，则，
所以截面面积，值为，C正确；
对于D，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，设点，，
三棱锥的外接球截平面所得截面小圆是的外接圆，其圆心为中点，
三棱锥的外接球球心O在过点E垂直于平面的直线l上，设点，
由得：，即，有，
所以三棱锥的外接球表面积，D正确.
故选：BCD
关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算成绩，借助球的截面小圆性质确定出球心地位是解题的关键.
13．
【分析】
根据给定条件，利用平面向量数量积的性质，数量积的运算律计算作答.
【详解】
因，，，所以.
故
14．-2
【分析】
利用复合函数求导法则求导，求出函数，再求函数值作答.
【详解】
由函数求导得：，当时，，解得，
因此，，所以.
故-2
15．##0.6875
【分析】
根据题意可知每次摘左边的灯笼和左边的灯笼的概率都是，再分2次，3次，4次先摘完左边的灯笼三种情况讨论，互相的乘法公式即可得出答案.
【详解】
解：根据题意可知每次摘左边的灯笼和左边的灯笼的概率都是，
要使左边灯笼先摘完则摘灯笼的次数为2，3，4次，
若2次先摘完左边的灯笼，则概率为，
若3次先摘完左边的灯笼，则概率为，
若4次先摘完左边的灯笼，则概率为，
所以左边灯笼先摘完的概率为.
故答案为.
16．(1)，；
(2).
【分析】
（1）利用给定条件列式，“当时，”变形整理，求出，进而求出作答.
（2）利用（1）的结论求出，再利用裂项相消法求解作答.
(1)
依题意，，，当时，，
当时，，两式相减得：，
即，于是得，
则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以；
依题意，，有，又，则，又，解得，
所以.
(2)
由（1）知，，，则，
，
所以.
17．(1)
(2)
【分析】
（1）作于F，连接，，则平面，，平面，可得，然后由射影定理可求得结果，
（2）取中点为G，连接，，可得为二面角的平面角，然后利用余弦定理求解即可
(1)
作于F，连接，，
∵平面平面，平面平面，，面
∴平面.
∵.∴平面，平面
∴,
∵，，，平面,
∴平面，平面，∴,
∵D，E分别为，中点，，，
∴，
∵，,
∴
∴
(2)
由，，取中点为G，连接，.
由，为等腰三角形，
故，，
则为二面角的平面角.
，.
.
所以二面角的余弦值为.
18．(1)；
(2).
【分析】
（1）利用余弦定理求出，，再利用诱导公式、三角形面积公式计算作答.
（2）在和中用正弦定理求出AC，再借助同角公式求解作答.
(1)
当时，在中，由余弦定理得，
即，解得，，
由于，则，又，
所以的面积是.
(2)
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
则，整理得，而，为锐角，
所以.
19．(1)；
(2)建议选择一.
【分析】
（1）利用组合求出的基本数，再利用古典概率公式计算作答.
（2）求出两个检测对应组的检测次数的期望，再求出8000人检测总次数的期望，比较大小作答.
(1)
记该家庭6人中甲，乙两人被分在同一组为A，
则.
(2)
每个人核酸检测阳性概率为0.01，则每个人核酸检测呈阴性的概率为0.99，
若选择一进行核酸检测，记小组4人的检测次数为，则可能取值为1，5，其分布列为：
1
5
P
则选择一，小组4人的检测次数期望为，
于是得该社区对8000人核酸检测总次数的期望为，
若选择二，记小组2人的检测次数为，则可能取值为1，3，其分布列为：
1
3
P
，
于是得该社区8000人进行核酸检测总次数的期望，
显然，所以建议选择一.
20．(1)时，在上单调递减；
时，在上单调递减；在上单调递增.
(2)
【分析】
（1）根据导数与单调性的关系分和两种情况讨论即可；
（2）在的情况下，确定的单调性与最值情况，零点存在性定理判定a的取值范围.
(1)
，由，
当时，，在上单调递减；
当时，令得，
时，，在上单调递减；
时，，在上单调递增；
综上所述：
时，在上单调递减；
时，在上单调递减；在上单调递增.
(2)
由（1）可知：当时，在上单调递减；
在上单调递增；于是有
∵函数在定义域上有两个零点
∴，令，即有
，∴在单调递增，在单调递减，
又时，；时，留意到.
要使得成立，必有
即对任意，有恒成立，即恒成立
所以有恒成立，所以.
此时，
，
令，，
，
在单调递增.
，故，使得.又，故，使得；满足恰有两个零点.
综上所述，
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不只要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
21．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】
（1）根据点在抛物线的准线上可得，即可求出抛物线方程
（2）（ⅰ）设直线的方程为，与抛物线联立方程组得到，再写出直线的方程，根据两点式写出 ，整理消去 ，即可求出直线所过定点
（ⅱ）由于，根据（ⅰ）中的结论和弦长公式求出，再根据列出关于的不等式，解出的范围即可
(1)
由题意可知C：（）的准线方程为：，
即，所以.
抛物线C的标准方程为
(2)
设，，，
（ⅰ）由题意知直线不与y轴垂直，故直线方程可设为：，
与抛物线方程联立
，化简得：，根据韦达定理可得：
即，
，直线方程为，整理得.
又由于，即.
将代入化简可得：，
代入整理得：
故直线过定点
（ⅱ）由（ⅰ）知与x轴平行，直线的斜率一定存在
，
由（ⅰ）知
所以，又由于
即，化简得或
又由，得：且，即或
综上所述，
22． 2
【分析】
根据题意，利用三角形内切圆的性质及双曲线的定义可得双曲线焦点三角形内切圆圆心的横坐标为；利用三角形类似及两个内切圆半径的比值，构造的齐次方程，即可求解离心率.
【详解】
如图，在中，圆为内切圆，切点分别为，
故，
又是双曲线上的一点，故，即，
又，故，则.
故的内切圆的圆心横坐标为，
同理可得，的内切圆的圆心横坐标为，即；
又，则，
即，解得.
故；2.
【高考数学】2022-2023学年湖北省武汉市专项提升仿真模拟试题（二模）
第I卷（选一选）
请点击修正第I卷的文字阐明
评卷人
得分
一、单 选 题
1．若复数满足，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则的子集个数为（ ）
A． B．8 C． D．
3．已知数列的前n项和为，则“数列是等比数列”为“存在，使得”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
4．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的部分图象如图所示，则函数的图象可以由的图象（ ）
A．向左平移个单位长度得到 B．向左平移个单位长度得到
C．向右平移个单位长度得到 D．向右平移个单位长度得到
6．数学与建筑的培养建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，且点在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B．（0，－1） C． D．
7．已知函数，下列对于函数性质的四个描述：①是的极小值点；②的图像关于点对称；③有且仅有三个零点；④若区间上递增，则的值为．其中正确的描述的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在体育选修课排球模块基本功发球测试中，计分规则如下满分为10分：①每人可发球7次，每成功记1分；②若连续两次发球成功加分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加分，以此类推，，连续七次发球成功加3分假设某同窗每次发球成功的概率为，且各次发球之间互相，则该同窗在测试中恰好得5分的概率是( )
A． B． C． D．
评卷人
得分
二、多选题
9．某大学为了解先生对学校食堂服务的度，随机调查了50名男生和50名女生，每位先生对食堂的服务给出或不的评价，得到如图所示的列联表.经计算的观测值，则可以推断出（ ）
不
男
30
20
女
40
10
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
A．该学校男生对食堂服务的概率的估计值为
B．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更
C．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
D．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
10．定义在上的函数满足：为整数时，；不为整数时，，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C． D．的最小正周期为
11．已知点，若过点的直线交圆：于A，两点，是圆上一动点，则（ ）
A．的最小值为 B．到的距离的值为
C．的最小值为 D．的值为
12．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ）
A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B．存在点Q，使平面MBN
C．三棱锥P-MBN的体积为 D．C，M，B，N四点的球的表面积为
第II卷（非选一选）
请点击修正第II卷的文字阐明
评卷人
得分
三、填 空 题
13．已知非零向量，满足，，则的最小值为______．
14．已知函数在x=0处的切线与直线平行，则二项式展开式中含项的系数为_________．
15．设双曲线：的左、右焦点分别为，以为圆心的圆恰好与双曲线的两渐近线相切，且该圆过线段的中点，则双曲线的离心率是_____．
评卷人
得分
四、双空题
16．已知数列、，，，其前项和分别为，，（1）记数列的前项和分别为，则=_________；（2）记最接近的整数为，则_________．
评卷人
得分
五、解 答 题
17．如图，在中，内角、、的对边分别为、、．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．
(1)求及线段的长；
(2)求的面积．
18．2021年7月24日教育部正式发布《关于进一步减轻义务教育阶段先生作业负担和校外培训负担的意见》，简称“双减”政策.某校为了解该校小先生在“双减”政策下课外的工夫，随机抽查了40名小先生，统计了他们参加课外的工夫，并绘制了如下的频率分布直方图.如图所示.
(1)由频率分布直方图估计该组数据的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(2)由频率分布直方图可认为：课外工夫t（分钟）服从正态分布，其中为课外工夫的平均数.用频率估计概率，在该校随机抽取5名先生，记课外工夫在内的人数为X，求X的数学期望（到0.1）.
参考数据：当X服从正态分布时，，，.
19．已知等差数列的前项和为，公差，是的等比中项，.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求.
20．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点是的中点，点是线段上的动点.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
21．已知椭圆点，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左、右两个顶点分别为，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值．
22．已知函数（e是自然对数的底数）．
(1)当时，试判断在上极值点的个数；
(2)当时，求证：对任意，．
答案：
1．C
【分析】
利用复数的运算法则和复数模的公式及共轭复数的概念即可求解.
【详解】
由于，
所以，
所以，
故选：C
2．C
【分析】
求出，即得解.
【详解】
解：由题得.
由于.
所以.
所以的子集个数为个.
故选：C
3．D
【分析】
由充分必要条件的定义，等比数列的通项公式和求和公式，以及利用数列的分法，即可求解.
【详解】
由题意，数列是等比数列，设等比数列的公比为，
则，
所以存在，使得，即充分性成立；
若存在，使得，可取，即，可得，
当，可得，此时数列不是等比数列，即必要性不成立，
所以数列是等比数列为存在，使得的充分不必要条件.
故选：D.
4．C
【分析】
求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．
【详解】
解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，
由，得，
又，
所以，解得；
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为．
故选：C．
5．D
【分析】
先求得函数的解析式，再去判断函数的图象与的图象间的关系.
【详解】
由图可知，，则，所以．
由，，得，所以．
函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，所以D正确．
故选：D
6．A
【分析】
根据点的坐标求得，由此求得抛物线的焦点坐标.
【详解】
依题意在抛物线上，
所以，
所以，
故，且抛物线开口向下，
所以抛物线的焦点坐标为.
故选：A
7．C
【分析】
①：根据导数判断及其附近导函数值的符号，进而确定在的附近的单调性；②：根据对称的定义：若，则为的对称，代入检验；③：的零点即为的交点，图像分析；④：利用导数求的单调递增区间，判断求解的值．
【详解】
.
①：，，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是的极小值点，故本选项描述正确；
②：由于，
所以的图像关于点对称，因此本选项描述正确；
③：令，函数在同不断角坐标系内的图像如下图所示：
可知两个函数的图像有三个交点，因此有且仅有三个零点，所以本选项描述正确；
④：，当时，则有：，因此函数的增区间为：，显然有，所以的值为，因此本选项描述不正确，
故选：C．
8．B
【分析】
明确恰好得5分的所无情况：发球四次得分，有两个连续得分和发球四次得分，有三个连续得分，分别求解可得.
【详解】
该同窗在测试中恰好得5分有两种情况：四次发球成功，有两个连续得分，此时概率；四次发球成功，有三个连续得分，分为连续得分在首尾和不在首尾两类，此时概率，所求概率；故选B.
本题次要考查互相的概率，标题稍有难度，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.
9．AC
根据表格中的数据可求得男、女生对食堂服务的概率的估计值,根据,可判断C、D选项
【详解】
对于选项A,该学校男生对食堂服务的概率的估计值为,故A正确；
对于选项B,该学校女生对食堂服务的概率的估计值为,故B错误；
由于,所以有的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异,故C正确,D错误
故选：AC
本题考查的运用,考查由统计数据求概率的估计值
10．BCD
根据函数的性质，奇偶性的定义和周期的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
A中，对于函数，有，
所以不恒成立，则函数不是奇函数，所以A不正确；
B中，对于函数，若为整数，则也是整数，则有，
若不为整数，则也不为整数，则有，
综上可得，所以函数是偶函数，所以B正确；
C中，若为整数，则，不为整数，则，
综上函数是整数，则，所以C正确；
D中，若为整数，则也是整数，若不为整数，则也不是整数，
总之有，所以函数的周期为1，
若，则和可能是一个整数，也可能不是整数，则有，
所以函数的最小正周期为1，所以D正确.
故选：BCD.
11．ABC
【分析】
由题意画出图形，分别求出的最小值及到的距离的值判断A与B；设，写出数量积，利用三角函数求最值判断C；求出到圆心的距离，加上半径判断D．
【详解】
如图，当直线与轴垂直时，有最小值，且最小值为，所以A正确；
当直线与垂直时，到的距离有值，且值为，所以B正确.
设，则，
所以，所以的最小值为，所以C正确；
当，，三点共线时，，且值为，所以D错误；
故选：ABC.
12．ABC
【分析】
对于A，连接，，可证得，从而可得结论，对于B，连接PQ，，当Q是的中点时，由线面平行的判定可证得，对于C,利用求解，对于D，分别取，的中点E，F，构造长方体MADF-EBCN，其体对角线就是外接球的直径，求出体对角线的长，可求出球的表面积
【详解】
如图，在正方体中，连接，，
由于N，P分别是，的中点，所以，
又由于，所以，
所以，B，N，P四点共面，即当Q与重合时，B，N，P，Q四点共面，故选项A正确；
连接PQ，，当Q是的中点时，由于，，所以，
由于平面BMN，平面BMN，所以平面BMN，故选项B正确；
连接，，，
由于，
所以，
故选项C正确；
分别取，的中点E，F，构造长方体MADF-EBCN，
则C，M，B，N四点的球即为长方体MADF-EBCN的外接球，
设所求外接球的直径为2R，
则长方体MADF-EBCN的体对角线即为所求的球的直径，
即，
所以C，M，B，N四点的球的表面积为，故选项D错误.
故选：ABC
13．
【分析】
根据数量积的坐标计算，将表达为关于的函数关系，求其最小值即可.
【详解】
由于，由于，故，
当且仅当时，即时取得最小值.
故答案为.
14．36
【分析】
根据导数的几何意义可得，展开式的通项为：，根据分析计算项的系数．
【详解】
由函数的解析式，得，则．由题意，得，
则二项式
展开式的通项为：
所以含项的系数为
故36．
15．##
【分析】
先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段的中点得到，即可求出离心率,
【详解】
由题意知：渐近线方程为，由焦点，，则圆的半径为，又该圆过线段的中点，
故，离心率为.
故答案为.
16． 2550
【分析】
整理可得：，根据裂项相消和分组求和分别可求，，分析可得，讨论的奇偶确定．
【详解】
依题意，，
则
，
即有，从而有，即，
若，则，若，则，，
所以.
故；2550．
17．(1)，
(2)
【分析】
（1）先求出，再在中，利用余弦定理计算；
（2）根据角平分线定理得，所以，再由中线的性质得到，得到即可．
(1)
解： ，，
，，
在中，由余弦定理得，解得（负值舍去），即．
(2)
解：，，，
平分，，所以，
为边的中线，，
．
18．(1)，
(2)
【分析】
(1)根据频率直方图中位数、平均数的求法直接计算即可；
(2)利用正态曲线的对称性求出，进而二项分布的性质求出即可.
(1)
由图可知该组数据中位数位于第四组，设中位数为x，
则，解得，
平均数为：；
(2)
，，
，，
，
由题意知：
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）直接用等差数列的基本量解方程即可；
（2）先算出，然后运用累加法即可获解.
【详解】
（1）
是的等比中项
解得 （舍去）
（2）
据题意
两式相减得
所以有
以上9个式子相加得
本题求和运用了数列中得累加法，如果递推公式方式为: 或
则可利用累加法.
20．（1）证明见解析；（2）.
（1）根据题意得，，，进而得，，故平面，进而得平面平面.
（2）如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，，根据几何关系得 ，进而利用坐标运算得平面的一个法向量为，，故根据解得或（舍），故.
【详解】
解：（1）在中，由于，，，所以.
由于点是的中点，所以.
在中，，，，由余弦定理，有，
所以，
所以.
在中，，，，满足，
所以.
而，
所以平面.
由于平面，
所以平面平面.
（2）如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
有，，.
设，，
平面的一个法向量为，直线与平面所成角为.
在中，，而，得，所以.
由于，，，所以.
由于，所以，
得，所以或（舍）.
所以.
本题考查面面垂直的证明，线面角的法向量求解，考查空间思想能力与运算求解能力，是中档题.本题第二成绩解题的关键是建立坐标系，根据设，根据几何关系得，进而求得平面的一个法向量为，，再根据求解即可得答案.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）、利用已知条件列出方程组，求解，从而得到椭圆得标准方程；
（2）、设出直线、的方程，与椭圆方程联立，求出坐标，计算，求出直线的方程，分析出故直线定点，从而求出的周长为定值．
(1)
，，
椭圆点，，
，，椭圆C的标准方程为．
(2)
解法一：证明：由题意可知，，设，
直线的方程为，直线的方程为，
联立方程组可得，
可得，所以，
则，故．
由可得，可得，所以，
则，故，
所以，
故直线的方程为，
即，，
故直线过定点，所以的周长为定值8．
当时，或，可知是椭圆的通径，
焦点，此时的周长为定值，
综上可得，的周长为定值8．
解法二：当直线斜率存在时，设其方程为：，
由．
设，则有，
直线，令，得，
直线，令，得，所以，
由，
所以，
即，
化简得或．
时直线过点（舍），所以，
即直线的方程为，过定点．
当直线的斜率不存在时，设其方程为：，
则有，代入，
直线也过定点，
综上所述，直线一直椭圆的右焦点，故的周长为定值．
解法三：当M位于椭圆的上顶点，则此时，直线与相交于点，
则直线的方程为，
联立椭圆方程可得：，则可知，
易知直线椭圆的右焦点，此时的周长为定值，
猜想，若的周长为定值，则直线椭圆的右焦点．
证明如下：
依题意直线的斜率不为0，设直线的方程为，
代入椭圆方程得：，
设，则．
直线，令，得，
直线，令，得，
由于，
所以直线的交点在直线上，即过直线上的点T所作的两条直线和分别与椭圆相交所得的两点M、N构成的直线一直椭圆的右焦点，
故的周长为定值．
22．(1)在上只要一个极值点，即极小值点；
(2)证明见解析
【分析】
（1）求出函数的导数，判断其正负，零点存在定理，判断函数的单调性，求得答案；
（2）求出函数的导数，构造函数，判断其正负情况，确定函数单调性，进而确定函数的最小值，故可将原成绩转化为对任意，，再构造函数，利用其单调性即可证明结论.
(1)
当时，,
则 ，
设，则 在上是增函数，
当 时，，，
所以存在 ，使得，
当时，，则，即在上单调递减，
当时，，则，即在上单调递增，
所以在上只要一个极值点，即极小值点；
(2)
证明：由，
设，则 在上是增函数，
当 时，，由于，所以，
所以存在 ，使得，
当时，，则，即在上单调递减，
当时，，则，即在上单调递增，
故 是函数的极小值点，也是最小值点，
则 ，
又由于，所以，
即证：对任意，，
即证：对任意，，
设，则在上单调递减，
由于，所以 ，
故，
故对任意，.
本题考查了利用导数判断函数的极值点的个数以及证明不等式成立的成绩，综合性较强，要能纯熟求导，利用导数判断函数的单调性以及求函数最值，解答的关键是根据函数或导数的特点，构造函数，进而零点存在定理判断导数正负，求得函数的最值，利用函数最值进而证明不等式成立.
【高考数学】2022-2023学年湖北省武汉市专项提升仿真模拟试题（一模）
第I卷（选一选）
请点击修正第I卷的文字阐明
评卷人
得分
一、单 选 题
1．设集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，，，则1a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（ ）
A．B．-1C．1D．
5．2021年12月22日教育部提出五项管理“作业、睡眠、手机、课外阅读、健康管理”，体育锻炼是五项管理中一个非常重要的方面，各地中小学积极呼应教育部政策，改善先生和教师锻炼设备设备.某中学建立“网红”气膜体育馆（图1），气膜体育馆具有古代感、美观、大气、温馨、环保的特点，深受先生和教师的喜欢.气膜体育馆从某个角度看，可以近似笼统为半椭球面外形，该体育馆设计图纸比例（长度比）为1∶20（单位：m），图纸中半椭球面的方程为（）（如图2），则该气膜体育馆占地面积为（ ）
A．1000m2B．540m2
C．2000m2D．1600m2
6．已知正实数x，y，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相反颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（ ）
A．288B．336C．576D．1680
8．已知偶函数在上恰有2个极大值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
评卷人
得分
二、多选题
9．设复数，则（ ）
A．z的虚部为B．
C．D．
10．已知圆M：，直线l：，直线l与圆M交于A，C两点，则下列说确的是（ ）
A．直线l恒过定点
B．的最小值为4
C．的取值范围为
D．当最小时，其余弦值为
11．高斯是德国数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x的整数，则称为高斯函数，例如，.则下列说确的是（ ）
A．函数在区间（）上单调递增
B．若函数，则的值域为
C．若函数，则的值域为
D．，
12．已知正方体的棱长为2（如图所示），点M为线段（含端点）上的动点，由点A，，M确定的平面为，则下列说确的是（ ）
A．平面截正方体的截面一直为四边形
B．点M运动过程中，三棱锥的体积为定值
C．平面截正方体的截面面积的值为
D．三棱锥的外接球表面积的取值范围为
第II卷（非选一选）
请点击修正第II卷的文字阐明
评卷人
得分
三、填 空 题
13．已知，，，则__________.
14．已知函数，则__________.
评卷人
得分
四、解 答 题
15．奥运古祥物“雪容融”是根据中国传统文明中灯笼的外型创作而成，现挂有如图所示的两串灯笼，每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笼，直至某一串灯笼被摘完为止，则左边灯笼先摘完的概率为________.
16．记正项数列的前n项和为，且满足对任意正整数n有，，构成等差数列；等比数列的公比，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
17．如图，在三棱锥中，平面平面,，，D，E分别为，中点，且.
(1)求的值；
(2)若，求二面角的余弦值.
18．如图，在平面四边形中，，，.
(1)当，时，求的面积；
(2)当，时，求.
19．某社区拟对该社区内8000人进行核酸检测，现有以下两种核酸检测：
一：4人一组，采样混合后进行检测；
二：2人一组，采样混合后进行检测；
若混合样本检测结果呈阳性，则对该组一切样本全部进行单个检测；若混合样本检测结果呈阴性，则不再检测.
(1)某家庭有6人，在采取一检测时，随机选2人与另外2名邻居组成一组，余下4人组成一组，求该家庭6人中甲，乙两人被分在同一组的概率；
(2)假设每个人核酸检测呈阳性的概率都是0.01，每个人核酸检测结果互相，分别求该社区选择上述两种检测的检测次数的数学期望.以较少检测次数为根据，你建议选择哪种？
（附：，）
20．函数，其中a，b为实数，且.
（注为自然对数的底数）
(1)讨论的单调性；
(2)已知对任意，函数有两个不同零点，求a的取值范围.
21．已知点在抛物线E：（）的准线上，过点M作直线与抛物线E交于A，B两点，斜率为2的直线与抛物线E交于A，C两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)（ⅰ）求证：直线过定点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为H，设的面积为S，且满足，求直线的斜率的取值范围.
评卷人
得分
五、双空题
22．已知，，是双曲线C：的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于点A，与右支交于点B，与内切圆的圆心分别为，，半径分别为，，则的横坐标为__________；若，则双曲线离心率为__________.
答案：
1．B
【分析】
先求解集合与集合，再利用交集运算求解.
【详解】
解：由于，解得或，故，
又，解得，故.
所以.
故选：B.
2．A
【分析】
利用指数函数及对数函数的性质即得．
【详解】
∵，，
，
∴.
故选：A.
3．C
【分析】
利用平方关系，同角三角函数关系式，即可求解.
【详解】
，，，，，
，所以.
故选：C
4．C
【分析】
利用等差中项，及等差数列前n项和的性质即可求解.
【详解】
解：在等差数列中，，，故，
又，故，
则，故.
故选：C.
5．D
【分析】
令得到半椭球面在平面上的边缘投影方程为，并确定半径，再运用圆的面积公式求面积.
【详解】
当时，在平面上的边缘投影为，即，
所以投影是半径为2 m的圆，又体育馆设计图纸比例（长度比）为1∶20，
故实践投影半径为40 m的圆，则面积为.
故选：D
6．B
【分析】
根据基本不等式“1”的妙用求出的最小值即可判定.
【详解】
，当且仅当等号成立，所以充分性成立，
当时，，此时，所以必要性不成立.
故选：B.
7．B
【分析】
根据题意,分2步进行分析,由分步计数原理计算可得答案.
【详解】
解:步:排红车,列选一个地位,则第二列有三个地位可选,由于车是不相反的,故红车的停法有种,
第二步,排黑车,若红车选,则黑车有共7种选择,黑车是不相反的,故黑车的停法有种，
根据分步计数原理,共有种,
故选：B
8．D
【分析】
利用辅助角公式化简函数，根据偶函数的性质的取值范围，求解的值，化简得到，再根据函数在上恰有2个极大值，代入，即可求解的取值范围.
【详解】
解：，
由于，则，故，
又函数为偶函数，故，解得，
故，
由于函数在上恰有2个极大值，故当时，，
即.
故选：D.
9．AC
【分析】
根据复数的运算化简，再复数的虚部，共轭复数，复数的模的概念判断各选项即可.
【详解】
由于，
所以z的虚部为，A对，
，B错，
，C对，
，
，D错，
故选：AC.
10．ABC
【分析】
A.直线方程变形为，即可判断定点坐标；B.根据定点是弦的中点时，此时最短；C.根据向量数量积公式，转化为求的最值；D.根据C即可判断.
【详解】
A.直线，即，直线恒过点，故A正确；
B.当定点是弦的中点时，此时最短，圆心和定点的距离时，此时，故B正确；
C.当最小时，最小，此时，此时，当是直径时，此时，，此时，所以的取值范围为，故C正确；
D.根据C可知当最小时，其余弦值为，故D错误.
故选：ABC
11．AC
【分析】
求出函数式确定单调性判断A；举特例阐明判断B，D；变形函数式，分析计算判断C作答.
【详解】
对于A，，，有，则函数在上单调递增，A正确；
对于B，，则，B不正确；
对于C，，
当时，，，有，
当时，，，有，的值域为，C正确；
对于D，当时，，有，D不正确.
故选：AC
12．BCD
【分析】
举例阐明判断A；利用等体积法推理判断B；建立函数关系，借助函数性质计算判断C，D作答.
【详解】
正方体的棱长为2，点M为线段（含端点）上的动点，
对于A，当点M与点C重合时，平面只与正方体的共点D的三个面有公共点，所得截面为三角形，A不正确；
对于B，点M到平面的距离为2，而，B正确；
对于C，当点M与点C重合时，截面为正三角形，其边长为，截面面积为，
当点M与点C不重合时，平面平面，如图，，
当点M与点重合时，截面是正方体的对角面，其面积为，
令，截面是等腰梯形，则，，
等腰梯形的高，
截面面积，
令，显然在上递增，，则，
所以截面面积，值为，C正确；
对于D，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，设点，，
三棱锥的外接球截平面所得截面小圆是的外接圆，其圆心为中点，
三棱锥的外接球球心O在过点E垂直于平面的直线l上，设点，
由得：，即，有，
所以三棱锥的外接球表面积，D正确.
故选：BCD
关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算成绩，借助球的截面小圆性质确定出球心地位是解题的关键.
13．
【分析】
根据给定条件，利用平面向量数量积的性质，数量积的运算律计算作答.
【详解】
因，，，所以.
故
14．-2
【分析】
利用复合函数求导法则求导，求出函数，再求函数值作答.
【详解】
由函数求导得：，当时，，解得，
因此，，所以.
故-2
15．##0.6875
【分析】
根据题意可知每次摘左边的灯笼和左边的灯笼的概率都是，再分2次，3次，4次先摘完左边的灯笼三种情况讨论，互相的乘法公式即可得出答案.
【详解】
解：根据题意可知每次摘左边的灯笼和左边的灯笼的概率都是，
要使左边灯笼先摘完则摘灯笼的次数为2，3，4次，
若2次先摘完左边的灯笼，则概率为，
若3次先摘完左边的灯笼，则概率为，
若4次先摘完左边的灯笼，则概率为，
所以左边灯笼先摘完的概率为.
故答案为.
16．(1)，；
(2).
【分析】
（1）利用给定条件列式，“当时，”变形整理，求出，进而求出作答.
（2）利用（1）的结论求出，再利用裂项相消法求解作答.
(1)
依题意，，，当时，，
当时，，两式相减得：，
即，于是得，
则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以；
依题意，，有，又，则，又，解得，
所以.
(2)
由（1）知，，，则，
，
所以.
17．(1)
(2)
【分析】
（1）作于F，连接，，则平面，，平面，可得，然后由射影定理可求得结果，
（2）取中点为G，连接，，可得为二面角的平面角，然后利用余弦定理求解即可
(1)
作于F，连接，，
∵平面平面，平面平面，，面
∴平面.
∵.∴平面，平面
∴,
∵，，，平面,
∴平面，平面，∴,
∵D，E分别为，中点，，，
∴，
∵，,
∴
∴
(2)
由，，取中点为G，连接，.
由，为等腰三角形，
故，，
则为二面角的平面角.
，.
.
所以二面角的余弦值为.
18．(1)；
(2).
【分析】
（1）利用余弦定理求出，，再利用诱导公式、三角形面积公式计算作答.
（2）在和中用正弦定理求出AC，再借助同角公式求解作答.
(1)
当时，在中，由余弦定理得，
即，解得，，
由于，则，又，
所以的面积是.
(2)
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
则，整理得，而，为锐角，
所以.
19．(1)；
(2)建议选择一.
【分析】
（1）利用组合求出的基本数，再利用古典概率公式计算作答.
（2）求出两个检测对应组的检测次数的期望，再求出8000人检测总次数的期望，比较大小作答.
(1)
记该家庭6人中甲，乙两人被分在同一组为A，
则.
(2)
每个人核酸检测阳性概率为0.01，则每个人核酸检测呈阴性的概率为0.99，
若选择一进行核酸检测，记小组4人的检测次数为，则可能取值为1，5，其分布列为：
1
5
P
则选择一，小组4人的检测次数期望为，
于是得该社区对8000人核酸检测总次数的期望为，
若选择二，记小组2人的检测次数为，则可能取值为1，3，其分布列为：
1
3
P
，
于是得该社区8000人进行核酸检测总次数的期望，
显然，所以建议选择一.
20．(1)时，在上单调递减；
时，在上单调递减；在上单调递增.
(2)
【分析】
（1）根据导数与单调性的关系分和两种情况讨论即可；
（2）在的情况下，确定的单调性与最值情况，零点存在性定理判定a的取值范围.
(1)
，由，
当时，，在上单调递减；
当时，令得，
时，，在上单调递减；
时，，在上单调递增；
综上所述：
时，在上单调递减；
时，在上单调递减；在上单调递增.
(2)
由（1）可知：当时，在上单调递减；
在上单调递增；于是有
∵函数在定义域上有两个零点
∴，令，即有
，∴在单调递增，在单调递减，
又时，；时，留意到.
要使得成立，必有
即对任意，有恒成立，即恒成立
所以有恒成立，所以.
此时，
，
令，，
，
在单调递增.
，故，使得.又，故，使得；满足恰有两个零点.
综上所述，
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不只要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
21．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】
（1）根据点在抛物线的准线上可得，即可求出抛物线方程
（2）（ⅰ）设直线的方程为，与抛物线联立方程组得到，再写出直线的方程，根据两点式写出 ，整理消去 ，即可求出直线所过定点
（ⅱ）由于，根据（ⅰ）中的结论和弦长公式求出，再根据列出关于的不等式，解出的范围即可
(1)
由题意可知C：（）的准线方程为：，
即，所以.
抛物线C的标准方程为
(2)
设，，，
（ⅰ）由题意知直线不与y轴垂直，故直线方程可设为：，
与抛物线方程联立
，化简得：，根据韦达定理可得：
即，
，直线方程为，整理得.
又由于，即.
将代入化简可得：，
代入整理得：
故直线过定点
（ⅱ）由（ⅰ）知与x轴平行，直线的斜率一定存在
，
由（ⅰ）知
所以，又由于
即，化简得或
又由，得：且，即或
综上所述，
22． 2
【分析】
根据题意，利用三角形内切圆的性质及双曲线的定义可得双曲线焦点三角形内切圆圆心的横坐标为；利用三角形类似及两个内切圆半径的比值，构造的齐次方程，即可求解离心率.
【详解】
如图，在中，圆为内切圆，切点分别为，
故，
又是双曲线上的一点，故，即，
又，故，则.
故的内切圆的圆心横坐标为，
同理可得，的内切圆的圆心横坐标为，即；
又，则，
即，解得.
故；2.
【高考数学】2022-2023学年湖北省武汉市专项提升仿真模拟试题（二模）
第I卷（选一选）
请点击修正第I卷的文字阐明
评卷人
得分
一、单 选 题
1．若复数满足，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则的子集个数为（ ）
A． B．8 C． D．
3．已知数列的前n项和为，则“数列是等比数列”为“存在，使得”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
4．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的部分图象如图所示，则函数的图象可以由的图象（ ）
A．向左平移个单位长度得到 B．向左平移个单位长度得到
C．向右平移个单位长度得到 D．向右平移个单位长度得到
6．数学与建筑的培养建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，且点在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B．（0，－1） C． D．
7．已知函数，下列对于函数性质的四个描述：①是的极小值点；②的图像关于点对称；③有且仅有三个零点；④若区间上递增，则的值为．其中正确的描述的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在体育选修课排球模块基本功发球测试中，计分规则如下满分为10分：①每人可发球7次，每成功记1分；②若连续两次发球成功加分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加分，以此类推，，连续七次发球成功加3分假设某同窗每次发球成功的概率为，且各次发球之间互相，则该同窗在测试中恰好得5分的概率是( )
A． B． C． D．
评卷人
得分
二、多选题
9．某大学为了解先生对学校食堂服务的度，随机调查了50名男生和50名女生，每位先生对食堂的服务给出或不的评价，得到如图所示的列联表.经计算的观测值，则可以推断出（ ）
不
男
30
20
女
40
10
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
A．该学校男生对食堂服务的概率的估计值为
B．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更
C．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
D．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
10．定义在上的函数满足：为整数时，；不为整数时，，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C． D．的最小正周期为
11．已知点，若过点的直线交圆：于A，两点，是圆上一动点，则（ ）
A．的最小值为 B．到的距离的值为
C．的最小值为 D．的值为
12．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ）
A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B．存在点Q，使平面MBN
C．三棱锥P-MBN的体积为 D．C，M，B，N四点的球的表面积为
第II卷（非选一选）
请点击修正第II卷的文字阐明
评卷人
得分
三、填 空 题
13．已知非零向量，满足，，则的最小值为______．
14．已知函数在x=0处的切线与直线平行，则二项式展开式中含项的系数为_________．
15．设双曲线：的左、右焦点分别为，以为圆心的圆恰好与双曲线的两渐近线相切，且该圆过线段的中点，则双曲线的离心率是_____．
评卷人
得分
四、双空题
16．已知数列、，，，其前项和分别为，，（1）记数列的前项和分别为，则=_________；（2）记最接近的整数为，则_________．
评卷人
得分
五、解 答 题
17．如图，在中，内角、、的对边分别为、、．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．
(1)求及线段的长；
(2)求的面积．
18．2021年7月24日教育部正式发布《关于进一步减轻义务教育阶段先生作业负担和校外培训负担的意见》，简称“双减”政策.某校为了解该校小先生在“双减”政策下课外的工夫，随机抽查了40名小先生，统计了他们参加课外的工夫，并绘制了如下的频率分布直方图.如图所示.
(1)由频率分布直方图估计该组数据的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(2)由频率分布直方图可认为：课外工夫t（分钟）服从正态分布，其中为课外工夫的平均数.用频率估计概率，在该校随机抽取5名先生，记课外工夫在内的人数为X，求X的数学期望（到0.1）.
参考数据：当X服从正态分布时，，，.
19．已知等差数列的前项和为，公差，是的等比中项，.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求.
20．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点是的中点，点是线段上的动点.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
21．已知椭圆点，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左、右两个顶点分别为，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值．
22．已知函数（e是自然对数的底数）．
(1)当时，试判断在上极值点的个数；
(2)当时，求证：对任意，．
答案：
1．C
【分析】
利用复数的运算法则和复数模的公式及共轭复数的概念即可求解.
【详解】
由于，
所以，
所以，
故选：C
2．C
【分析】
求出，即得解.
【详解】
解：由题得.
由于.
所以.
所以的子集个数为个.
故选：C
3．D
【分析】
由充分必要条件的定义，等比数列的通项公式和求和公式，以及利用数列的分法，即可求解.
【详解】
由题意，数列是等比数列，设等比数列的公比为，
则，
所以存在，使得，即充分性成立；
若存在，使得，可取，即，可得，
当，可得，此时数列不是等比数列，即必要性不成立，
所以数列是等比数列为存在，使得的充分不必要条件.
故选：D.
4．C
【分析】
求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．
【详解】
解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，
由，得，
又，
所以，解得；
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为．
故选：C．
5．D
【分析】
先求得函数的解析式，再去判断函数的图象与的图象间的关系.
【详解】
由图可知，，则，所以．
由，，得，所以．
函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，所以D正确．
故选：D
6．A
【分析】
根据点的坐标求得，由此求得抛物线的焦点坐标.
【详解】
依题意在抛物线上，
所以，
所以，
故，且抛物线开口向下，
所以抛物线的焦点坐标为.
故选：A
7．C
【分析】
①：根据导数判断及其附近导函数值的符号，进而确定在的附近的单调性；②：根据对称的定义：若，则为的对称，代入检验；③：的零点即为的交点，图像分析；④：利用导数求的单调递增区间，判断求解的值．
【详解】
.
①：，，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是的极小值点，故本选项描述正确；
②：由于，
所以的图像关于点对称，因此本选项描述正确；
③：令，函数在同不断角坐标系内的图像如下图所示：
可知两个函数的图像有三个交点，因此有且仅有三个零点，所以本选项描述正确；
④：，当时，则有：，因此函数的增区间为：，显然有，所以的值为，因此本选项描述不正确，
故选：C．
8．B
【分析】
明确恰好得5分的所无情况：发球四次得分，有两个连续得分和发球四次得分，有三个连续得分，分别求解可得.
【详解】
该同窗在测试中恰好得5分有两种情况：四次发球成功，有两个连续得分，此时概率；四次发球成功，有三个连续得分，分为连续得分在首尾和不在首尾两类，此时概率，所求概率；故选B.
本题次要考查互相的概率，标题稍有难度，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.
9．AC
根据表格中的数据可求得男、女生对食堂服务的概率的估计值,根据,可判断C、D选项
【详解】
对于选项A,该学校男生对食堂服务的概率的估计值为,故A正确；
对于选项B,该学校女生对食堂服务的概率的估计值为,故B错误；
由于,所以有的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异,故C正确,D错误
故选：AC
本题考查的运用,考查由统计数据求概率的估计值
10．BCD
根据函数的性质，奇偶性的定义和周期的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
A中，对于函数，有，
所以不恒成立，则函数不是奇函数，所以A不正确；
B中，对于函数，若为整数，则也是整数，则有，
若不为整数，则也不为整数，则有，
综上可得，所以函数是偶函数，所以B正确；
C中，若为整数，则，不为整数，则，
综上函数是整数，则，所以C正确；
D中，若为整数，则也是整数，若不为整数，则也不是整数，
总之有，所以函数的周期为1，
若，则和可能是一个整数，也可能不是整数，则有，
所以函数的最小正周期为1，所以D正确.
故选：BCD.
11．ABC
【分析】
由题意画出图形，分别求出的最小值及到的距离的值判断A与B；设，写出数量积，利用三角函数求最值判断C；求出到圆心的距离，加上半径判断D．
【详解】
如图，当直线与轴垂直时，有最小值，且最小值为，所以A正确；
当直线与垂直时，到的距离有值，且值为，所以B正确.
设，则，
所以，所以的最小值为，所以C正确；
当，，三点共线时，，且值为，所以D错误；
故选：ABC.
12．ABC
【分析】
对于A，连接，，可证得，从而可得结论，对于B，连接PQ，，当Q是的中点时，由线面平行的判定可证得，对于C,利用求解，对于D，分别取，的中点E，F，构造长方体MADF-EBCN，其体对角线就是外接球的直径，求出体对角线的长，可求出球的表面积
【详解】
如图，在正方体中，连接，，
由于N，P分别是，的中点，所以，
又由于，所以，
所以，B，N，P四点共面，即当Q与重合时，B，N，P，Q四点共面，故选项A正确；
连接PQ，，当Q是的中点时，由于，，所以，
由于平面BMN，平面BMN，所以平面BMN，故选项B正确；
连接，，，
由于，
所以，
故选项C正确；
分别取，的中点E，F，构造长方体MADF-EBCN，
则C，M，B，N四点的球即为长方体MADF-EBCN的外接球，
设所求外接球的直径为2R，
则长方体MADF-EBCN的体对角线即为所求的球的直径，
即，
所以C，M，B，N四点的球的表面积为，故选项D错误.
故选：ABC
13．
【分析】
根据数量积的坐标计算，将表达为关于的函数关系，求其最小值即可.
【详解】
由于，由于，故，
当且仅当时，即时取得最小值.
故答案为.
14．36
【分析】
根据导数的几何意义可得，展开式的通项为：，根据分析计算项的系数．
【详解】
由函数的解析式，得，则．由题意，得，
则二项式
展开式的通项为：
所以含项的系数为
故36．
15．##
【分析】
先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段的中点得到，即可求出离心率,
【详解】
由题意知：渐近线方程为，由焦点，，则圆的半径为，又该圆过线段的中点，
故，离心率为.
故答案为.
16． 2550
【分析】
整理可得：，根据裂项相消和分组求和分别可求，，分析可得，讨论的奇偶确定．
【详解】
依题意，，
则
，
即有，从而有，即，
若，则，若，则，，
所以.
故；2550．
17．(1)，
(2)
【分析】
（1）先求出，再在中，利用余弦定理计算；
（2）根据角平分线定理得，所以，再由中线的性质得到，得到即可．
(1)
解： ，，
，，
在中，由余弦定理得，解得（负值舍去），即．
(2)
解：，，，
平分，，所以，
为边的中线，，
．
18．(1)，
(2)
【分析】
(1)根据频率直方图中位数、平均数的求法直接计算即可；
(2)利用正态曲线的对称性求出，进而二项分布的性质求出即可.
(1)
由图可知该组数据中位数位于第四组，设中位数为x，
则，解得，
平均数为：；
(2)
，，
，，
，
由题意知：
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）直接用等差数列的基本量解方程即可；
（2）先算出，然后运用累加法即可获解.
【详解】
（1）
是的等比中项
解得 （舍去）
（2）
据题意
两式相减得
所以有
以上9个式子相加得
本题求和运用了数列中得累加法，如果递推公式方式为: 或
则可利用累加法.
20．（1）证明见解析；（2）.
（1）根据题意得，，，进而得，，故平面，进而得平面平面.
（2）如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，，根据几何关系得 ，进而利用坐标运算得平面的一个法向量为，，故根据解得或（舍），故.
【详解】
解：（1）在中，由于，，，所以.
由于点是的中点，所以.
在中，，，，由余弦定理，有，
所以，
所以.
在中，，，，满足，
所以.
而，
所以平面.
由于平面，
所以平面平面.
（2）如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
有，，.
设，，
平面的一个法向量为，直线与平面所成角为.
在中，，而，得，所以.
由于，，，所以.
由于，所以，
得，所以或（舍）.
所以.
本题考查面面垂直的证明，线面角的法向量求解，考查空间思想能力与运算求解能力，是中档题.本题第二成绩解题的关键是建立坐标系，根据设，根据几何关系得，进而求得平面的一个法向量为，，再根据求解即可得答案.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）、利用已知条件列出方程组，求解，从而得到椭圆得标准方程；
（2）、设出直线、的方程，与椭圆方程联立，求出坐标，计算，求出直线的方程，分析出故直线定点，从而求出的周长为定值．
(1)
，，
椭圆点，，
，，椭圆C的标准方程为．
(2)
解法一：证明：由题意可知，，设，
直线的方程为，直线的方程为，
联立方程组可得，
可得，所以，
则，故．
由可得，可得，所以，
则，故，
所以，
故直线的方程为，
即，，
故直线过定点，所以的周长为定值8．
当时，或，可知是椭圆的通径，
焦点，此时的周长为定值，
综上可得，的周长为定值8．
解法二：当直线斜率存在时，设其方程为：，
由．
设，则有，
直线，令，得，
直线，令，得，所以，
由，
所以，
即，
化简得或．
时直线过点（舍），所以，
即直线的方程为，过定点．
当直线的斜率不存在时，设其方程为：，
则有，代入，
直线也过定点，
综上所述，直线一直椭圆的右焦点，故的周长为定值．
解法三：当M位于椭圆的上顶点，则此时，直线与相交于点，
则直线的方程为，
联立椭圆方程可得：，则可知，
易知直线椭圆的右焦点，此时的周长为定值，
猜想，若的周长为定值，则直线椭圆的右焦点．
证明如下：
依题意直线的斜率不为0，设直线的方程为，
代入椭圆方程得：，
设，则．
直线，令，得，
直线，令，得，
由于，
所以直线的交点在直线上，即过直线上的点T所作的两条直线和分别与椭圆相交所得的两点M、N构成的直线一直椭圆的右焦点，
故的周长为定值．
22．(1)在上只要一个极值点，即极小值点；
(2)证明见解析
【分析】
（1）求出函数的导数，判断其正负，零点存在定理，判断函数的单调性，求得答案；
（2）求出函数的导数，构造函数，判断其正负情况，确定函数单调性，进而确定函数的最小值，故可将原成绩转化为对任意，，再构造函数，利用其单调性即可证明结论.
(1)
当时，,
则 ，
设，则 在上是增函数，
当 时，，，
所以存在 ，使得，
当时，，则，即在上单调递减，
当时，，则，即在上单调递增，
所以在上只要一个极值点，即极小值点；
(2)
证明：由，
设，则 在上是增函数，
当 时，，由于，所以，
所以存在 ，使得，
当时，，则，即在上单调递减，
当时，，则，即在上单调递增，
故 是函数的极小值点，也是最小值点，
则 ，
又由于，所以，
即证：对任意，，
即证：对任意，，
设，则在上单调递减，
由于，所以 ，
故，
故对任意，.
本题考查了利用导数判断函数的极值点的个数以及证明不等式成立的成绩，综合性较强，要能纯熟求导，利用导数判断函数的单调性以及求函数最值，解答的关键是根据函数或导数的特点，构造函数，进而零点存在定理判断导数正负，求得函数的最值，利用函数最值进而证明不等式成立.
相关试卷
【高考数学】2022-2023学年福建省南平市专项提升仿真模拟试题（一模二模）含解析： 这是一份【高考数学】2022-2023学年福建省南平市专项提升仿真模拟试题（一模二模）含解析，共63页。试卷主要包含了 已知复数，则复数的虛部为， 在中，若，则等内容，欢迎下载使用。
【高考数学】2022-2023学年江苏省南京市专项提升仿真模拟试题（一模二模）含解析： 这是一份【高考数学】2022-2023学年江苏省南京市专项提升仿真模拟试题（一模二模）含解析，共54页。试卷主要包含了设集合，则，已知单位向量满足，则，已知，则实数的值为，已知，则的大小关系为，如图是函数的部分图像，则等内容，欢迎下载使用。
【高考数学】2022-2023学年湖北省武汉市专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析： 这是一份【高考数学】2022-2023学年湖北省武汉市专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析，共46页。试卷主要包含了设，则，设集合，则，已知，且，则，已知，则，函数的部分图象如图所示，则等内容，欢迎下载使用。
