2022-2023学年湖北省武汉市高二下册期中数学模拟试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市高二下册期中数学模拟试卷

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知函数，则的导数（    ）

A．  B．

C．  D．

2．若数列为，，，，…，则是这个数列的（    ）

A．不在此数列中 B．第25项 C．第26项 D．第27项

3．一质点按运动方程作直线运动，则其从到的平均速度为（    ）

A． B． C． D．

4．若数列满足，，且，则（    ）

A．0 B．1 C． D．100

5．某中学在高一年级抽取了720名同学进行身高调查，已知样本的身高（单位：cm）服从正态分布，且身高为165cm到175cm的人数占样本总数的，则样本中175cm以上的人数约为（    ）

A．30 B．60 C．120 D．20

6．3月15日是国际消费者权益日．中央电视台特地推出3.15公益晚会，曝光了食品、医美、直播等多领域乱象，在很大程度上震慑了一些不良商家，也增强了消费者的维权意识．一名市民在某商店买了一只灯泡，结果用了两个月就坏了，他拨打了12315投诉电话．通过调查，发现该商店将一些不合格灯泡混入一批合格灯泡中以次充好卖给顾客．假设合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.004，不合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.4，若混入的不合格灯泡数占灯泡总数的25%，现一顾客在该商店买一只灯泡，则该灯泡在使用1000小时后不会损坏的概率为（    ）

A．0.103 B．0.301 C．0.897 D．0.699

7．若一个三位数M的各个数位上的数字之和为7，则我们称M是一个“happy数”，例如“223，520”都是“happy数”．那么“happy数”的个数共有（    ）

A．25个 B．28个 C．29个 D．36个

8．若，是函数的导函数的两个不同零点，且，，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（    ）

A． B． C． D．4

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．关于的展开式，下列说法正确的是（    ）

A．不存在常数项  B．含项的系数为45

C．第4项与第8项的二项式系数相等 D．偶数项的二项式系数和为256

10．设为的导函数，下列命题正确的有（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则，且

11．某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（    ）

A．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为

B．四人去了同一餐于就餐的概率为

C．四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为

D．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为

12．等差数列与的前n项和分别为与，且，则（    ）

A．当时， B．

C．  D．，

三、填空题：（每小题5分，共4小题，合计20分）

13．设随机变量X的分布列如下（其中），则随机变量X的期望________

14．已知直线是曲线的一条切线，则实数________．

15．5名同学从左向右站成一排，已知甲站在正中间，则乙不站在最右端的概率是________．

16．已知数列满足，，若，则________．

四、解答题（本大题共6小题，请写出必要的文字说明和解答过程，共70分）

17．（本小题满分10分）向日葵游乐园最近推出一款“摩天飞毯”游乐项目，游客可以购票乘坐“摩天飞毯”到达山顶玻璃桥进行游走观光．为了解购票人数与票价的关系，游乐园进行了连续5天的票价浮动试运营．这五天每天的票价（元）与对应购票人数（人）如下表所示：

（1）根据数据，求出y关于x的回归方程；

（2）假设游乐园每天“摩天飞杽”的项目成本只跟当天的乘坐人数有关，并且人均成本是1元，试依据（1）中的关系，求出当票价应定为多少元，游乐园才能在该项目上获得最大利润．（注：利润=售票收入-成本）

附：回归方程中，．

参考数据：，．

18．（本小题满分12分）已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

19．（本小题满分12分）2022年11月21日第22届世界杯在卡塔尔开幕，是历史上首次在中东国家举办，也是第二次在亚洲国家举办的世界杯足球赛．某校“足球社团”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从全校学生中随机抽取了人，若被抽查的男生与女生人数之比为5：3，男生中喜欢足球的人数占男生的，女生中喜欢足球的人数占女生的．经计算，有95%的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢足球与性别有关．

（1）请完成下面的列联表，并求出k的值；

（2）将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取3人，记其中喜欢足球的人数为X，求X的分布列及数学期望．

附：，其中．

20．（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，，．数列的前n项和为，，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）令，求数列的前n项和．

21．（本小题满分12分）2023年4月23日是第28个“世界读书日”，某校计划组织“阅百年历程，传精神力量”主题知识竞赛，有基础题、挑战题两类问题．每位参赛同学回答n次，每次回答一个问题，若回答正确，则下一个问题从挑战题库中随机抽取；若回答错误，则下一个问题从基础题库中随机抽取．规定每位参赛同学回答的第一个问题从基础题库中抽取，基础题答对一个得10分，否则得0分；挑战题答对一个得30分，否则得0分．已知小明能正确回答基础类问题的概率为，能正确回答挑战类问题的概率为，且每次回答问题是相互独立的．

（1）记小明前2题累计得分为X，求X的概率分布列和数学期望；

（2）记第k题小明回答正确的概率为，（，2，…，n），证明：当时，，并求的通项公式．

22．（本小题满分12分）小明同学是班上的“数学小迷精”，高一的时候，他跟着老师研究了函数当时的图象特点与基本性质，得知这类函数有“双钩函数”的形象称呼，感觉颇有趣味．后来，他独自研究了函数当时的图象特点与基本性质，发现这类函数在y轴两边“同升同降”，且可以“上天入地”，他高兴地把这类函数取名为“双升双降函数”．现在小明已经上高二了，目前学习了一些导数知识，前些天，他研究了如下两个函数：和．得出了不少的“研究成果”，并且据此他给出了以下两个问题，请你解答：

（1）当，时，经过点作曲线的切线，切点为P．

求证：不论p怎样变化，点P总在一个“双升双降函数”的图象上；

（2）当，，时，若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的最小值．

答案及解析

一、单项选择题

1．由求导公式与求导法则，可得，选B．

2．设数列7，10，13，16，…，为数列，则数列是以7为首项3为公差的等差数列，其通项公式为，令解得，选C．

3．从到的平均速度为，选D．

4．数列的项为0，1，1，0，，，0，1，…，是以6为周期的周期数列，，选A．

5．正态分布的均值，依题意，身高在区间的概率为，则身高在区间上的概率，则样本中175cm以上的同学人数约为人，选B．

6．由全概率公式，可得任取一零件，它是合格品的概率为，选C．

7．依题意，构成一个“happy数”的数字组合可能为，，，，，，，，这些组合能组成“happy数”的个数分别为1，，，3，，，3，3，相加得28，选B．

8．∵∴，，所以，为两个不等的负数，不妨设，则必有，，2成等差数列，，2，成等比数列，故有，，解得，，可得，，，选A．

二、多项选择题

9．的展开式通项为，，1，…，10令，解得，故展开式不存在常数，A正确；令，解得，故含项的系数为，B正确；第4项与第8项的二项式系数分别为与，相等，C正确；偶数项的二项式系数和为，D错误；选ABC．

10．对于A，∵∴∴

∵∴，，故A错误；

对于B，，可得故B正确；对于C，，则，故C正确；

对于D，若，，故D正确；选BCD．

11．对于A，四人去了四个不同餐厅就餐的概率为，故A正确；

对于B，四人去了同一餐厅就餐的概率为，故B错误；

对于C，四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为，故C正确；

对于D，四人中每个人去第一餐厅就餐的概率都为，设四人中去第一餐厅就餐的人数X，则，故，故D正确．

故选：ACD．

12．对于A，等差数列与的前n项和分别为与，且，

当时，，∴，

∴，，，

当时，上式成立，∴，故A正确；

对于B，由，知，

∴，故B正确；

对于C，同理可得：，故C错误；

对于D，当时，，则，

则不存在，使，故D错误．

故本题选AB．

三、填空题

13．【正确答案】1

由，得，∴．

14．【正确答案】

令，观察得（由单调性可知其唯一），切点坐标为，代入得．

15．【正确答案】

记“甲站在中间”为事件A，“乙不站在最右端”为事件B，则，，所以．

16．【正确答案】

由得所以，数列是以4为公差的等差数列，

∴

解得．

四、解答题

17．解：（1），．……1分

∴，……3分

，……4分

∴回归方程为．……5分

（2）设游乐园能获得利润z元，则，……6分

∴，．……8分

由二次函数知识可得，

当元时，z取得最大值

∴“摩天飞毯”票价应定为11元，游乐园才能在该项目上获得最大利润．……10分

18．解：（1）设数列的公差为d，数列的公比为，则，，解得……4分

于是可得，……6分

（2）由（1）可得……7分

∵……9分

数列的前n项和为

……12分

19．（1）由已知，完成列联表，

……2分

将数值代入公式可得的观测值：，

根据条件，可得，解得，……4分

因为，所以．……6分

（2）由（1）知，样本的男生中喜欢足球的频率为，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，喜欢足球的概率为，

则，……7分

，，

，，

则X的分布列为

……10分

．……12分

20．解：（1）由，可解得，……1分

且

可化为，……3分

所以数列为常数数列，

∴

∴……4分

又由，得，

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，

∴……7分

（2）由（1）得

则①，

②，……8分

①-②得……11分

化简整理得，……12分

21．解：（1）依题意，X的可能取值为0，10，40，……1分

；

；

．

所以X的概率分布为

所以，．……6分

（2）当时，分两种情形：

①若第次回答正确，则第k次回答挑战题，这种情形下第k次回答正确的概率为；

②若第次回答错误，则第k次回答基础题，这种情况下第k次回答正确的概率为．……8分

所以，得证．……9分

所以，因为，，

所以是以为首项，为公比的等比数列．……11分

所以，

即．……12分

22．解：（1）当，时，，，……1分

设，切线方程为，……3分

代入，得，又因为，

于是可得，

即点P在“双升双降函数”的图象上。……6分

（2）当，时，，，，……7分

设曲线在点处的切线斜率为1，

则，所以，则，……8分

设曲线在点处的切线斜率为1，则，

所以，点……9分

所以直线AB的斜率，所以，……10分

由于，

所以（当时取等）

所以，的最小值为．……12分