2023年中考数学一轮复习 学案讲义 专题2方程与不等式 第8课时 二元一次方程组及其应用（知识梳理+经典练习）

这是一份2023年中考数学一轮复习 学案讲义 专题2方程与不等式 第8课时 二元一次方程组及其应用（知识梳理+经典练习），共21页。学案主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

定义:含有2个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.
二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程
的解.
2.二元一次方程组的有关概念
定义:把两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.
二元一次方程组的解:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
3.二元一次方程组的解法
代入消元法:在二元一次方程组中选取一个适当的方程,将一个未知数用另一个未知数表示出来,再代入另一个方程,消去一个未知数得到一元一次方程,求出这个未知数的值,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法,简称代入法.
易错点:
(1)在用代入消元法求解时,不能正确地用其中一个未知数去表示另一个未知数﹔
(2)在求一个未知数时,还原代人.
加减消元法:两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,从而消去这个未知数,得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法,简称加减法.
其它方法:在解二元一次方程组时,也常用整体代入、换元等方法来解决.
4.运用二元一次方程组解决实际问题
步骤:
(1)设两个未知数x，y;
(2)根据已知条件列出与未知数的个数相等的两个独立方程组成的方程组﹔
(3)解方程组;
(4)检验求得的未知数的值是否符合实际意义.
第8课时 二元一次方程组及其应用
姓名：___________学号：___________
一、单选题
1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）．
A．B．C．D．
2．解方程组时，若将①-②可得（ ）
A．B．C．D．
3．已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（ ）
A．±2B．C．2D．4
4．已知a，b满足方程组则a+b的值为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣2D．2
5．若，则x，y的值为（ ）
A．B．C．D．
6．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A．B．C．D．
7．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程组为
A．B．C．D．
8．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（ ）
A．9天B．11天C．13天D．22天
9．为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180 元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ）
A．5种B．6种C．7种D．8种
10．阅读理解：，，，是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，例如：.二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：；其中，，.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（ ）
A．B．C．D．方程组的解为
二、填空题
11．是二元一次方程，那么a﹣b=_______．
12．已知是方程的一个解，则m的值是____________．
13．已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a+b=_____．
14．二元一次方程组的解为___．
15．已知x，y满足的方程组是，则x+y的值为 ___．
16．已知关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，则k的值是_________．
17．若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是____．
18．若、满足，则代数式的值为______．
19．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意，可列方程组为____________．
20．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省_____元．
三、解答题
21．按要求解方程组：
（1）（代入法） （2）（加减法）
22．解下列方程组：
（1）； （2）．
23．《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．
24．列方程（组）解应用题
为振兴农村经济，某县决定购买A，B两种药材幼苗发给农民栽种，已知购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元．购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137元．问每棵A种药材幼苗和每棵B种药材幼苗的价格分别是多少元？
25．甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？
26．某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元．
（1）求大、小两种垃圾桶的单价；
（2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？
27．为传承优秀传统文化，某地青少年活动中心计划分批次购进四大名著：《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》．第一次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元，第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元．
（1）求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元；
（2）青少年活动中心决定再购买上述四种图书，总费用不超过32000元．如果《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元(四大名著各一本为一套)，那么这次最多购买《西游记》多少本？
28．某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装1500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料．
（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？
（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1245箱，计划租用甲、乙两种型号的货车共70辆，且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？
参考答案
1．B
【分析】
依据二元一次方程组的定义求解即可．
【详解】
利用二元一次方程组的定义一一进行判断，A和D符合二元一次方程组的定义；
方程组中，可以整理为所以C也符合；
B中含有三个未知数不符合二元一次方程组的定义．
故答案选B
【点睛】
本题主要考查的是二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．
2．D
【分析】
根据加减消元法即可得．
【详解】
解：①-②得：，
即，
故选：D．
【点睛】
本题考查了加减消元法，熟练掌握加减消元法是解题关键．
3．C
【详解】
二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根．
【分析】∵是二元一次方程组的解，∴，解得．
∴．即的算术平方根为2．故选C．
4．B
【详解】
试题解析：，
①+②：4a+4b=16
则a+b=4，
故选B．
考点：解二元一次方程组．
5．D
【解析】
分析：先根据非负数的性质列出关于x、y的二元一次方程组，再利用加减消元法求出x的值，利用代入消元法求出y的值即可．
详解：∵，
∴
将方程组变形为，
①+②×2得，5x=5，解得x=1，
把x=1代入①得，3-2y=1，解得y=1，
∴方程组的解为．
故选D．
点睛：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
6．A
【分析】
设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【详解】
设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意得：．
故选A．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．C
【详解】
根据平角和直角定义，得方程x+y=90；根据∠1比∠2的度数大50°，得方程x=y+50．可列方程组为，故选C．
考点：1．由实际问题抽象出二元一次方程组；2．余角和补角．
8．B
【详解】
解：根据题意设有x天早晨下雨，这一段时间有y天，有9天下雨，
即早上下雨或晚上下雨都可称之为当天下雨，
①总天数﹣早晨下雨=早晨晴天；
②总天数﹣晚上下雨=晚上晴天；
列方程组，
解得，
所以一共有11天，
故选B．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用．
9．A
【分析】
设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得，进而求解即可．
【详解】
解：设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得：
，
∴，
∵，且x、y都为正整数，
∴当时，则；
当时，则；
当时，则；
当时，则；
当时，则；
∴购买方案有5种；
故选A．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解题的关键．
10．C
【详解】
【分析】根据阅读材料中提供的方法逐项进行计算即可得.
【详解】A、D==2×（-2）-3×1=﹣7，故A选项正确，不符合题意；
B、Dx==﹣2﹣1×12=﹣14，故B选项正确，不符合题意；
C、Dy==2×12﹣1×3=21，故C选项不正确，符合题意；
D、方程组的解：x==2，y==﹣3，故D选项正确，不符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了阅读理解型问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，读懂题意，根据材料中提供的方法进行解答是关键.
11．0
【详解】
试题分析：根据二元一次方程的定义即可得到x、y的次数都是1，则得到关于a，b的方程组求得a，b的值，则代数式的值即可求得：
根据题意得：．
12．2
【分析】
把解代入方程,得6+2m=10，转化为关于m的一元一次方程，求解即可．
【详解】
∵是方程的一个解，
∴6+2m=10，
解得m=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键．
13．5
【分析】
根据方程组解的定义，把问题转化为关于a、b的方程组，求出a、b即可解决问题；
【详解】
∵是关于x，y的二元一次方程组的一组解，
∴，解得，
∴a+b=5，
故答案为5．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解题意，用转化的思想解答是解题的关键.
14．
【分析】
由加减消元法或代入消元法都可求解．
【详解】
解：，
由①式得： ，代入②式，
得： ，
解得 ，
再将代入①式，
，
解得 ，
∴ ，
故填：．
【点睛】
本题考查的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单．
15．5．
【分析】
将方程组中的两个方程直接相减即可求解．
【详解】
解：
用②﹣①得：x+y＝5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，通过观察方程组中两个方程的特点，灵活计算是解题的关键．
16．－1
【详解】
∵关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，
∴x=-y③，
把③代入②得：-y+2y=-1，
解得y=-1，所以x=1，
把x=1，y=-1代入①得2-3=k，
即k=-1.
故答案为-1
17．
【分析】
首先解关于和的方程组，利用表示出，代入即可得到关于的不等式，求得的范围．
【详解】
解：，
①+②得，
则，
根据题意得，
解得．
故答案是：．
【点睛】
本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把当作已知数表示出的值，再得到关于的不等式．
18．-6
【分析】
根据方程组中x+2y和x-2y的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可．
【详解】
解：∵x-2y=-2，x+2y=3，
∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6，
故答案为：-6．
【点睛】
本题主要考查方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解题关键．
19．
【分析】
根据总费用列出一个方程，根据单价关系列出一个方程，联立方程即可.
【详解】
由题意得：4个篮球和5个足球共花费435元，可列方程：4x+5y=435，篮球的单价比足球的单价多3元，可列方程：x-y=3，联立得.
【点睛】
本题考查二元一次方程的应用，根据题意列出方程是关键.
20．145
【分析】
设打折前每盒肉粽的价格为x元，每盒白粽的价格为y元，根据“打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出肉粽和白粽的单价，再利用节省的钱数=打折前购买的总费用-打折后购买的总费用，即可求出节省的钱数．
【详解】
解：设打折前每盒肉粽的价格为x元，每盒白粽的价格为y元，
依题意得：， 解得：，
∴5x+5y-（0.6×5x+0.7×5y）=5×50+5×30-（0.6×5×50+0.7×5×30）=145．
故答案为：145．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21．（1）；（2）．
【分析】
（1）方程组直接利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【详解】
解：（1），
把①代入②，得，
解得：，
把代入①，得，
则原方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①②得，，
解得：，
把代入①，得，
则原方程组的解是．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，熟练掌握代入消元法与加减消元法解方程组是解决本题的关键．
22．（1）；（2）．
【分析】
（1）先将原方程的第一个方程去括号、移项、合并同类项，第二个方程去分母，化简成，再利用代入消元法解题；
（2）先将原方程的第一个方程去分母、去括号、移项、合并同类项，第二个方程去括号，化简，整理成，再利用代入消元法解题．
【详解】
解：（1）
整理得，
由①得，③
把③代入②得，
把代入③得
（2）
整理得，
由②得，③
把③代入①得
把代入③得，
．
【点睛】
本题考查代入消元法解二元一次方程组，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
23．共33人合伙买金，金价为9800钱
【分析】
设共x人合伙买金，金价为y钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】
解：设共x人合伙买金，金价为y钱，
依题意得：，
解得：．
答：共33人合伙买金，金价为9800钱．
【点睛】
本题考查了二元-次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
24．每棵A种药材幼苗的价格是7元，每棵B种药材幼苗的价格是9元．
【分析】
设每棵A种药材幼苗的价格是x元，每棵B种药材幼苗的价格是y元，根据“购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元．购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】
解：设每棵A种药材幼苗的价格是x元，每棵B种药材幼苗的价格是y元，
依题意得：，
解得：，
答：每棵A种药材幼苗的价格是7元，每棵B种药材幼苗的价格是9元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
25．甲工程队原计划每月修建2千米，乙甲工程队原计划每月修建3千米
【分析】
设甲工程队原计划每月修建x千米，乙甲工程队原计划每月修建y千米，根据原计划每月修建和甲提高效率后每月修建列出二元一次方程组求解即可．
【详解】
解：设甲工程队原计划每月修建x千米，乙甲工程队原计划每月修建y千米，根据题意得，

解得，
答：甲工程队原计划每月修建2千米，乙甲工程队原计划每月修建3千米
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程．
26．（1）大垃圾桶单价为180元，小垃圾桶的单价为60元；（2）2880．
【分析】
（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可．
（2）根据第（1）问求得的大小垃圾桶的单价计算即可．
【详解】
（1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，
由题意列方程得，
解得，
答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元．
（2）．
答：该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需2880元．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组应用题，解题的关键是分析出题目中的等量关系．
27．（1）《西游记》、《水浒传》每本售价分别是60元、60元；（2）88本
【分析】
（1）设出《西游记》和《水浒传》每本的价格，根据题意列出关于单价的方程组，即可解决问题．
（2）设这次购买《西游记》本，根据再购买上述四种图书，总费用不超过32000元列出关于a的不等式，即可解决问题．
【详解】
解：（1）设《西游记》每本售价x元，《水浒传》每本售价y元，
则
解得
答：《西游记》、《水浒传》每本传价分别是60元、60元．
（2）由题意可知《三国演义》每本售价为 (元)．
《红楼梦》每本售价为 (元)，
设这次购买《西游记》本，则：
解得
∵为正整数，
∴取．
答：这次购买《西游记》最多为88本．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
28．（1）甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料；（2）见解析
【分析】
（1）设甲型货车每辆可装载箱材料，乙型货车每辆可装载箱材料，根据“若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用辆甲型货车，则租用辆乙型货车，根据“租用的乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，且要运往工厂的这批材料不超过1245箱”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，即可得出各租车方案．
【详解】
解：（1）设甲型货车每辆可装载箱材料，乙型货车每辆可装载箱材料，
依题意得：，
解得：．
答：甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料．
（2）设租用辆甲型货车，则租用辆乙型货车，
依题意得：，
解得：．
又为整数，
可以取18，19，
该公司共有2种租车方案，
方案1：租用18辆甲型货车，52辆乙型货车；
方案2：租用19辆甲型货车，51辆乙型货车．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．