2023年中考数学一轮复习 学案讲义 专题2方程与不等式 第7课时 一元一次方程及其应用（知识梳理+经典练习）

这是一份2023年中考数学一轮复习 学案讲义 专题2方程与不等式 第7课时 一元一次方程及其应用（知识梳理+经典练习），共15页。学案主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
等式:表示相等关系的式子叫做等式.
等式性质:
(1)等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等,
即如果,那么；
(2)等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.
即如果,那么;如果,那么.
2.一元一次方程的概念
方程:含有未知数的等式叫做方程.
方程的解:使方程中等号左右两边相等的末知数的值叫做方程的解,一个末知数是方程的解,也叫做方程的根.
解方程:求方程解的过程叫做解方程.
一元一次方程:只含有1个末知数(元),并且末知数的最高次数是1的整式方程,叫做一元一次方程.
一元一次方程的一般形式:.
3.一元一次方程的解法
易错点:
(1)去分母时不要漏乘其中的常数项;
(2)去括号时要注意不要漏乘括号内的任何一项,括号前面是“-”号,去括号时括号内各项都要改变符号;
(3)移项时注意变号.
第7课时一元一次方程及其应用
姓名：___________学号：___________
一、单选题
1．下列各式是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．若a＝b，下列等式不一定成立的是（ ）
A．a+5＝b+5B．a﹣5＝b﹣5C．ac＝bcD．
3．若一元一次方程的解是，则的关系为（ ）
A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．互为负倒数
4．解方程，以下去括号正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，若设这个数是，则所列方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（ ）
A．元B．元C．元D．元
9．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有包裹（ ）
A．60件B．66件C．68件D．72件
10．《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米为（ ）
A．1.8升B．16升C．18升D．50升
11．某超市正在热销一种商品，其标价为每件12元，打8折销售后每件可获利2元，该商品每件的进价为（ ）
A．7.4元B．7.5元C．7.6元D．7.7元
12．已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了160元，其中一件盈利60%，另一件亏损20%，在这次买卖中这家商店（ ）
A．不盈不亏B．盈利20元C．盈利10元D．亏损20元
二、填空题
13．方程的解是__________．
14．已知是关于x的一元一次方程的解，则的值为___________
15．若方程和方程的解相同，则_________．
16．我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个学问题，其大意是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，快马几天可以追上慢马？
设快马天可以追上慢马，根据题意，可列方程为______．
17．篮球联赛中，每玚比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了_________场．
18．对于实数，定义运算．若，则_____．
三、解答题
19．解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
20．运用方程或方程组解决实际问题：若干学生分若干支铅笔，如果每人5支，那么多余3支；如果每人7支，那么缺5支．试问有多少名学生？共有多少支铅笔？
21．一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．
22．世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元．
23．江南生态食品加工厂收购了一批质量为10000kg的某种山货，根据市场需求对其进行粗加工和精加工处理，已知精加的这种山货质量比粗加工的质量的3倍还多2000kg，求粗加工的这种山货的质量．
参考答案
1．C
【分析】
只含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数，且a≠0）．
【详解】
解：A、不是等式，故不是一元一次方程，不合题意；
B、左边不是整式，故不是一元一次方程，不合题意；
C、只含有一个未知数，并且未知数的指数是1的整式，是一元一次方程，符合题意；
D、含有两个未知数，故不是一元一次方程，不合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的定义．只含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程．
2．D
【分析】
根据等式的基本性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：、两边都加上5，等式成立，故本选项不符合题意；
、两边都减去5，等式成立，故本选项不符合题意；
、两边都乘以，等式成立，故本选项不符合题意；
、两边同时除以，当时才成立，则等式不一定成立，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
3．B
【分析】
把x＝1代入方程ax＋b＝0得出a＋b＝0，即可得出答案．
【详解】
解：把x＝1代入方程ax＋b＝0得：a＋b＝0，
a＝−b，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解的定义的应用，能理解一元一次方程的解的定义是解此题的关键．
4．D
【分析】
去括号得法则：括号前面是正因数，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号；括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项都变号．
【详解】
解：
，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．去括号注意几点：①不要漏乘括号里的每一项；②括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项一定都变号．
5．C
【分析】
根据题意列方程．
【详解】
解：由题意可得．
故选C
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找等量关系是解题的关键．
6．D
【分析】
设共有x人，根据物价不变列方程；设物价是钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案
【详解】
解：设共有x人，则有8x-3=7x+4
设物价是钱，则根据可得：
故选D．
【点睛】
本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键．
7．A
【分析】
根据题意表示出肉粽和素粽的单价，再列出方程即可．
【详解】
设每个肉粽x元，则每个素粽的单价为（x-1）元，
由题意：，
故选：A．
【点睛】
本题考查列一元一次方程，理解题意，找准数量关系是解题关键．
8．D
【分析】
分两部分求水费，一部分是前面17立方米的水费，另一部分是剩下的3立方米的水费，最后相加即可．
【详解】
解：∵20立方米中，前17立方米单价为a元，后面3立方米单价为（a+1.2）元，
∴应缴水费为17a+3（a+1.2）=20a+3.6（元），
故选：D．
【点睛】
本题考查的是阶梯水费的问题，解决本题的关键是理解其收费方式，能求出不同段的水费，本题较基础，重点考查了学生对该种计费方式的理解与计算方法等．
9．B
【分析】
设该分派站有x个快递员，根据“若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（10x＋6）中即可求出该分派站现有包裹数．
【详解】
解：设该分派站有x个快递员，
依题意得：10x＋6＝12x−6，
解得：x＝6，
∴10x＋6＝10×6＋6＝66，
即该分派站现有包裹66件．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．C
【分析】
先进行单位换算，再利用50单位的粟，可换得30单位的粝米的关系，建立方程，求解即可．
【详解】
解：由题可知，3斗的粟即为30升的粟，
设其可以换得粝米为x升，
则，
∴，
∴可以换得粝米为18升；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找到相等关系，即“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”，要求学生能将题干的文字内容转化为数学符号的形式，能正确理解题意，找到相等关系，列出方程．
11．C
【分析】
设该商品每件的进价为x元，根据利润=售价-成本，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设该商品每件的进价为x元，
依题意，得：，
解得：．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
12．B
【分析】
设分别设两件运动衫的进价分别是a元，b元，根据售价=成本±利润，列方程求得两件运动衫的进价，再计算亏盈．
【详解】
解：设盈利60%的运动衫的进价是a元，亏本20%的运动衫的进价是b元．则有
（1）a（1+60%）=160，
a=100；
（2）b（1-20%）=160，
b=200．
总售价是160+160=320（元），总进价是100+200=300（元），
320-300=20（元），
所以这次买卖中商家赚了20元．
故选：B．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用．培养学生的理解题意的能力，关键是根据利润=售价-进价，求出两个商品的进价，从而得解．
13．
【分析】
按照解一元一次方程的方法和步骤解方程即可．
【详解】
解：，
去括号得，，
移项得，，
系数化为1得，，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练运用一元一次方程的解法解方程．
14．
【分析】
直接将代入一元一次方程中，即可得出答案．
【详解】
解：将代入一元一次方程中，
得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解法，本题属于基础题．
15．6
【分析】
本题中有2个方程，且是同解方程，一般思路是：先求出不含字母系数的方程的解，再把解代入到含有字母系数的方程中，求字母系数的值．
【详解】
解方程2x−1＝3，
得：x＝2，
把x＝2代入4x−a＝2，
得：4×2−a＝2，
解得：a＝6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查同解方程的知识，比较简单，解决本题的关键是理解方程解的定义，注意细心运算．
16．（240-150）x=150×12
【分析】
根据两马的速度之差×快马出发的时间=慢马的速度×慢马提前出发的时间，即可得出关于x的一元一次方程．
【详解】
解：题中已设快马x天可以追上慢马，
则根据题意得：（240-150）x=150×12．
故答案为：（240-150）x=150×12．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用问题，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
17．9
【分析】
设该对胜x场，则负14-x场，然后根据题意列一元一次方程解答即可．
【详解】
解：设该对胜x场
由题意得：2x+（14-x）=23，解得x=9．
故答案为9．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意、设出未知数、找准等量关系、列出方程是解答本题的关键．
18．
【分析】
根据给出的新定义分别求出与的值，根据得出关于a的一元一次方程，求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，，
∵，
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查解一元一次方程、新定义下实数的运算等内容，理解题干中给出的新定义是解题的关键．
19．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）移项，合并，系数化1，即可求解；
（2）去括号，移项，合并，系数化1，即可求解；
（3）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，即可求解；
（4）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，即可求解．
【详解】
解：（1），
，
；
（2），
，
，
；
（3），
，
，
；
（4），
，
，
，
.
【点睛】
本题考查一元一次方程的解法，熟练掌握一般步骤：去分母，去括号，移项，合并，系数化1.
20．学生有4人，铅笔23支
【分析】
设学生有x人，则铅笔数表示为5x＋3或7x−5，由此利用铅笔数相等联立方程求得答案即可．
【详解】
解：设学生有x人，由题意得5x＋3＝7x−5，
解得：x＝4，
经检验，符合题意
则6x＋3＝23．
答：学生有4人，铅笔23支．
【点睛】
此题考查一元一次方程的实际运用，设出人数，表示出铅笔数是解决问题的关键．
21．这种服装每件的标价是110元
【分析】
设这种服装每件的标价是x元，根据题意列出方程进行求解即可．
【详解】
解：设这种服装每件的标价是x元，根据题意，得
，
解得；
答：这种服装每件的标价是110元．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
22．《汉语成语大词典》的标价为100元，《中华上下五千年》的标价为50元．
【详解】
试题分析：首先设《汉语成语大词典》的标价为x元，则《中华上下五千年》的标价为（150﹣x）元，然后根据两本书的售价总和为80元列出一元一次方程，从而求出x的值，得出答案.
试题解析：设《汉语成语大词典》的标价为x元，则《中华上下五千年》的标价为（150﹣x）元，
根据题意得：50%x+60%（150﹣x）=80，解得：x=100，150﹣100=50（元）．
答：《汉语成语大词典》的标价为100元，《中华上下五千年》的标价为50元．
23．2000kg．
【详解】
解：设粗加工的该种山货质量为kg，
根据题意，得，
解得．
答：粗加工的该种山货质量为2000kg．