2023年中考数学一轮复习 学案讲义 专题1数与式 第5课时 分式（知识梳理+经典练习）

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1．分式的概念
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
2．分式的基本性质
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示为：
=，=(其中A，B，C是整式，C≠0)．
3．约分与通分
约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．
【温馨提示】
1．分式的值为0受到分母不等于0的限制，“分式的值为0”包含两层意思：一是分式有意义，二是分子的值为0，不要误解为“只要分子的值为0，分式的值就是0”．
2．分式的基本性质中的A、B、C表示的都是整式，且C≠0．
3．分子、分母必须“同时”乘C(C≠0)，不要只乘分子（或分母）．
4．性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的．但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的．
【方法技巧】
1．分式的符号法则可总结为：一个负号随意跑，两个负号都去掉．就是说，分式中若出现一个负号，则此负号可“随”我们的“意”（即根据题目要求）跑到分子、分母以及分式本身三者中的任何一个位置上；若分式中出现两个负号，则可以将这两个负号同时去掉．
2．分式的分子、分母系数化整问题的基本做法是分式的分子、分母都乘同一个“适当”的不为零的数，这里的“适当”的数又分两种情况：若分式分子、分母中的系数都是分数时，“适当”的数就是分子、分母中各项系数的所有分母的最小公倍数；若分式的分子、分母中各项系数是小数时，则“适当的数”就是10n，其中n是分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数．最后根据情况需要约分时，则要约分．
4．分式的乘除
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
上述法则用式子表示为，．
5．分式的乘方
分式乘方要把分子、分母分别乘方．用式子表示为．
6．分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
上述法则用式子表示为，．
7．负整数指数幂
(a≠0)，即a－n(a≠0)是an的倒数．
8．用科学记数法表示小于1的正数
小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10－n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数．
【温馨提示】
1．分式的运算结果一定要化为最简分式或整式．
2．分式乘方时，若分子或分母是多项式，要避免出现类似这样的错误．
3．同分母分式相加减“把分子相加减”就是把各个分式的“分子整体”相加减，各分子都应加括号，特别是相减时，要避免出现符号错误．
【方法技巧】
1．分式的乘除运算归根到底是乘法运算，其实质是分式的约分．
2．除式或被除式是整式时，可把它们看作分母是1的分式，然后依照除法法则进行计算．
经典习题
第5课时 分式
姓名：___________学号：___________
一、单选题
1．下列各式：，，，中，是分式的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．分式，，，中，最简分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．把分式中的a，b都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的6倍B．扩大到原来的4倍
C．扩大到原来的2倍D．不变
4．将分式约分为（ ）
A．B．C．D．
5．化简 的结果为（ ）
A．B．—C．D．
6．下列计算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．给定下面一列分式：，，，……，（其中）根据你发现的规律，其中第7个分式应是（ ）
A．B．C．D．
8．某工程队要修路20千米，原计划平均每天修x千米，实际平均每天多修了0.1千米，则完成任务提前了（ ）
A．天B．天
C．天D．天
二、填空题
9．使有意义的条件是 ___．
10．函数中，自变量x的取值范围是__________．
11．当x_______时，分式的值为零．
12．当________时，分式没有意义；当________时，分式无意义；
13．若，则的值是______．
14．约分：
________；________；________；
________；________；________；
________；________；________．
15．（1）；
（2）；
（3）；
三、解答题
16．计算
(1)
(2)
17．计算：
（1）
（2）
18．先化简再求值：÷（x﹣1+），其中x＝．
19．先化简，再求值，其中a＝2﹣．
20．先化简，再求值：，其中．
参考答案
1．C
【分析】
根据分式的定义，形如，其中A、B为整式，且B中含有字母的式子叫分式，进行判断即可．
【详解】
解：，，这三个式子分母中都含有字母，因此是分式，
，分母为，是常数，因此不是分式
故选：C
【点睛】
本题考查了分式的概念，解题的关键是理解并掌握分式的概念．
2．B
【分析】
根据最简分式的定义，即分子与分母没有公因式的分式是最简分式，即可求解．
【详解】
解：，不是最简分式，
，不是最简分式，
，是最简分式，有2个．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了最简分式的定义，熟练掌握分子与分母没有公因式的分式是最简分式是解题的关键．
3．C
【分析】
根据题意可以得到变化后的分式，然后与原来的分式比较即可解答本题．
【详解】
解：∵，
∴分式中的a，b都扩大到原来的2倍，则分式的值扩大到原来的2倍，
故选：C．
【点睛】
本题考查分式的基本性质，解答本题的关键是明确分式的基本性质的含义．
4．D
【分析】
找出分子，分母的公因式，然后进行约分即可得．
【详解】
解：，
故选D．
【点睛】
本题考查了分式的约分，解题的关键是掌握分式约分的定义：根据分式的性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
5．A
【分析】
先通分，公分母为，再进行分式的加减，最后化简即可．
【详解】
故选：A．
【点睛】
本题考查分式的化简，其中涉及分式的混合运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6．D
【分析】
根据分式的基本性质：分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，依次分析各个选项，即可求出答案．
【详解】
解：A、分子与分母不能约分，故A不符合题意；
B、当b=-1，a=1时，故B不符合题意；
C、分子与分母不能约分，故C不符合题意；
D、分式的分式分母同时乘以-1，分式的值不变，即，即D符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，正确掌握分式的基本性质是解题的关键．
7．D
【分析】
根据已知分式知，分子的指数是3，5，7，9…是连续奇数，分母的指数是大于0的自然数，奇数项的符号是正号．
【详解】
解：第奇数个式子是正数，偶数个是负数，
分母是第几个式子就是y的几次方；
分子是第几个式子就是x的（第几×2+1）次方．
所以第七个分式是．
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式的定义．注意观察每一个分式的分子、分母的变化，然后找出变化规律．
8．A
【分析】
根据总路程为20千米，按原计划每天修千米，则修完需天 ，实际每天多修0.1千米，则实际每天修千米，实际每天多修0.1千米，总耗时实际要比原计划短，进而得出结论．
【详解】
修路20千米，按原计划每天修千米，
则修完需天，
实际每天多修0.1千米，则实际每天修千米，
则实际用了需天修完，
∴提前了天，
故选：A．
【点睛】
本题考查了在实际问题中列分式，正确读懂题意是解题的关键．
9．且
【分析】
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件即可得．
【详解】
解：由题意得：，
解得且，
故答案为：且．
【点睛】
本题考查了二次根式和分式有意义的条件，掌握理解各定义是解题关键．
10．且
【分析】
根据二次根式的非负性以及分式的分母不为0，求解即可．
【详解】
由题知，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】
本题主要考查二次根式的非负性以及分式的分母不为0，属于基础题，熟练掌握这些概念是解题关键．
11．= 3
【分析】
根据分母为0是分式无意义，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可．
【详解】
解：根据题意，
∵分式的值为零，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是分式为0的条件、分式有意义的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
12． 3或-2
【分析】
按照如下规则求解即可：分式没有意义的条件是分母为零．
【详解】
解：当3x-1=0即x=时，分式没有意义；
当(x-3)(x+2)=0即x=3或-2时，分式没有意义；
故答案为：；3或-2．
【点睛】
本题考查了分式没有意义的条件，分式没有意义的条件是分母为零．
13．
【分析】
直接利用已知得出m＝n，再代入化简得出答案．
【详解】
解：∵，
∴m＝n，
∴＝．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了分式的求解，正确代入化简是解题关键．
14．
【分析】
根据分式的性质，提公因式法因式分解或公式法因式分解，进行约分即可．
【详解】
；；；
；；
；
；
；
．
故答案为： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．
【点睛】
本题考查了分式的约分，掌握因式分解是解题的关键．
15．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据分式的基本性质，分子分母同乘-1即可；
（2）根据分式的基本性质，分子分母同除以xy即可；
（3）根据分式的基本性质，分子分母同乘-2-y即可．
【详解】
解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3）
故答案为：．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，解题关键是熟练运用分式基本性质进行分式变形，确定分子分母同时乘除的整式．
16．（1）；（2）
【分析】
（1）先算乘方和乘法，再合并，即可求解；
（2）先算括号内的，再算除法，即可求解．
【详解】
解：(1)

；
(2)


．
【点睛】
本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17．（1）0；（2）
【分析】
（1）原式先进行分式的乘方运算，再把除法转换为乘法，分解因式后进行约分，再进行加减运算即可得到答案；
（2）原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，分解因式后进行约分即可得到答案．
【详解】
解：（1）
=
=
=
=0；
（2）
=
=
=
=
【点睛】
该题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是准确运用运算法则．
18．，．
【分析】
先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法，然后将的值代入计算即可得．
【详解】
解：原式
，
将代入得：原式．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值、二次根式的分母有理化，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
19．，．
【分析】
通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将a的值代入，分母有理化即可．
【详解】
解：
，
当a=2-时，原式．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．x，5．
【分析】
采用完全平方公式、平方差公式、提公因式等方法，将式子因式分解，约分化为最简，再代入数值计算即可．
【详解】
解：
当时，
原式．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式、提公因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．