陕西省府谷中学2022-2023学年高二数学（理）上学期期中考试试卷（Word版附答案）

府谷中学2022-2023学年高二上学期期中考试

数学（理科）

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：北师大版必修3，必修4，必修5，选修2-1第一章，第二章.

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在正方体中，（    ）

A.    B.    C.    D.

2.在等差数列中，，则的公差为（    ）

A.1    B.2    C.3    D.4

3.图中阴影部分所表示的区域满足的不等式是（    ）

A.    B.

C.    D.

4.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列四组向量中能使的是（    ）

A.

B.

C.

D.

5.如图所示，程序框图的输出值（    ）

A.15    B.22    C.24    D.28

6.“”是“关于的不等式有解”的（    ）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

7.已知，且，则（    ）

A.    B.    C.    D.

8.给出命题：在中，若，则成等差数列.这个命题的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数是（    ）

A.0    B.1    C.2    D.3

9.将函数的图象向左平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的值域为（    ）

A.    B.    C.    D.

10.已知均为正数，若，则当取得最小值时，的值为（    ）

A.24    B.4    C.16    D.12

11.已知命题：已知，若数列是递增数列，则；命题若，），则的最小值是4，则下列命题为真命题的是（    ）

A.    B.    C.    D.

12.在中，角所对的边分别为，已知，则的面积的最大值为（    ）

A.3    B.6    C.    D.

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.命题“”的否定是__________.

14.在空间直角坐标系中，点的坐标分别是，，若四点共面，则__________.

15.已知等边的边长为4，若，则__________.

16.已知数列的前项和为，且满足，则__________.

三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

在中，角的对边分别为，已知.

（1）求；

（2）若，求的周长.

18.（本小题满分12分）

已知：关于的不等式对任意实数都成立，：关于的方程

在区间上有解.

（1）若是真命题，求实数的取值范围；

（2）若是真命题，是假命题，求实数的取值范围.

19.（本小题满分12分）

已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且是的中点.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

20.（本小题满分12分）

某公司组织了丰富的团建活动，为了解员工对活动的满意程度，随机选取了100位员工进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图（这100人的评分值都分布在之间）.

（1）求实数的值以及这100人的评分值的中位数；

（2）现从被调查的问卷满意度评分值在的员工中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率.

21.（本小题满分12分）

如图，四棱柱的底面为矩形，为中点，平面平面.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

22.（本小题满分12分）

在数列中，.

（1）求的通项公式；

（2）若，求的前项和.

府谷中学2022-2023学年高二上学期期中考试

数学（理科）

参考答案､提示及评分细则

1.A  ，故选A.

2.B  设的公差为，则，解得.故选B.

3.B  图中直线对应的方程是，由于直线是虚线，故排除A，C选项.当时，，所以点在不等式所对应的区域，所以阴影部分所表示的区域满足的不等式是.故选B.

4.D  若，则，在选项D中，，所以.故选D.

5.A  由程序框图，数据初始化：；第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；此时不成立，结束循环，输出值为15.故选A.

6.A  若关于的不等式有解，则二次函数与轴有2个交点，所以，解得，所以“”是“关于的不等式有解”的充分不必要条件.故选A.

7.B  由题得，因为，所以.故选B.

8.D  原命题中，若，则，所以成等差数列，故原命题是真命题，所以其逆否命题是真命题.原命题的逆命题是“在中，若成等差数列，则”，由成等差数列，得，因为，所以，所以逆命题是真命题，所以否命题也是真命题.故选D.

9.C  由题意可得函数，又，所以，所以，所以.故选C.

10.C  因为，所以，当且仅当，即时取等号，又因为，所以，所以.故选C.

11.D  要使数列是递增数列，只要，解得，所以为假命题；因为，所以，所以，当且仅当“”时等号成立，而，故不等式取等号条件不成立，故为假命题.从而为真命题.故选D.

12.A  由，得.因为，所以.，当时，的面积取最大值3.故选.

13.  将改为，将改为.

14.6  ，又四点共面，则存在，使得，即，即解得.

15.14  由题意，，故点为线段上靠近点的四等分点，故

16.  当时，，所以，当时，①，又②，②-①得，整理得，所以.

17.解：（1）由正弦定理得，

即，

则.

因为，所以，

所以，得.

（2）由（1）知，，又，

所以由余弦定理可得，

即，解得（舍）或.

所以三角形的周长为.

18.解：（1）对于，当时，不等式恒成立；

当时，若关于的不等式对任意实数都成立，则解得.

综上，若是真命题，则实数的取值范围是.

（2）对于，因为，所以，即，

所以若是真命题，则实数的取值范围是.

又因为是真命题，是假命题，

所以与一个是真命题，一个是假命题.

当真假时，解得；

当假真时，解得.

综上，实数的取值范围是.

19.（1）证明：取的中点为，连接，因为分别是的中点，所以，又，所以，

所以四边形是平行四边形，所以，

又平面平面，所以平面.

（2）解：因为底面，所以两两互相垂直，

以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示，则，，则，

设平面的一个法向量为，所以

即令，则.

设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.

20.解：（1）由，解得.

中位数设为，则，解得.

（2）易得满意度评分值在内有20人，抽得样本为2人，记为，

满意度评分值在内有30人，抽得样本为3人，记为，

记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件，

基本事件有，

共10个，

包含的基本事件个数为4个，

所以.

21.（1）证明：因为底面是矩形，

所以，又平面平面，平面平面平面，

所以平面，又平面，

所以，

因为，所以，

所以，

又平面，

所以平面.

（2）取的中点，连接，因为，

所以，又平面平面，

平面平面平面，

所以平面，连接，又底面为矩形，所以，

所以两两互相垂直，

以为坐标原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，设，

则，所以.

由（1）知平面，所以是平面的一个法向量.

设平面的一个法向量为，则

即令，则.

设二面角的平面角为，则

由图可知二面角的平面角为锐角，

所以二面角的平面角的余弦值为.

22.解：（1）因为，则

当时，，

当时，，

与相减，得，

所以，又，所以，

所以当时，，

当时，满足上式，当时，上式不成立，

所以

（2）由（1）知

因为，

所以当时，，

当时，

.

显然当时，上式成立，所以.