初中数学26.2 实际问题与反比例函数课后测评

这是一份初中数学26.2 实际问题与反比例函数课后测评，共30页。试卷主要包含了武汉数学著名数学家华罗庚说过等内容，欢迎下载使用。

1．反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
2．函数y＝x＋2与y＝的图象交点横坐标可由方程x＋2＝求得，由此推断：方程m3＋2m＋4＝0中m的大致范围是（ ）
A．－2＜m＜－1B．－1＜m＜0C．0＜m＜1D．1＜m＜2
3．二次函数的图象如图，则一次函数与反比例函数．在同一坐标系内的图象大致为（ ）
B． C． D．
4．武汉数学著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程－2＝x2－4x的根的情况是（ ）
A．有三个实数根B．有两个实数根C．有一个实数根D．无实数根
5．方程的实数根就是方程的实数根，用“数形结合”思想判定方程的根的情况，正确的是（ ）
A．方程有3个不等实数根B．方程的实数根满足
C．方程的实数根满足D．方程的实数根满足
6．中国著名数学家华罗庚说过“数形结合百般好，隔裂分家万事非”．请运用这句话中提到的思想方法判断方程的根的情况是（ ）
A．有一个实数根B．有两个实数根C．有三个实数根D．有四个实数根
7．方程x2＋2x－1＝0的根是函数y＝x＋2与函数y＝的图象交点的横坐标，利用此方法可推出方程x3＋x－1＝0的实数根x0所在的范围是（ ）
A．－1＜x0＜0B．0＜x0＜1C．1＜x0≤2D．2＜x0＜3
8．已知x1、x2、x3为方程x3+3x2-9x-4=0的三个实数根，则下列结论一定正确的是（ ）
A．x1x2x3<0B．x1+x2-x3>0C．x1-x2-x3>0D．x1+x2+x3<0
9．已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
10．一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中图象如图，A点为（－2，0）．则下列结论中，正确的是（ ）
A． B．C．D．
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．反比例函数与二次函数的图像的交点个数为_______．
12．若抛物线y=2x2-8x-1的顶点在反比例函数y=的图像上，则k的值为_______．
13．若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是_____．
14．已知抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点．给出下列结论：①；②；③,是关于的一元二次方程的两个实数根．其中正确的结论是________（填写序号）．
15．函数的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量的取值范围是；② 该函数有最小值；③方程有三个根；④如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有．所有正确结论的序号是______．
16．如图抛物线y=ax2与反比例函数交于点C（1，2），不等式的解集是_________．
17．如图，双曲线与抛物线交于点P，P点的纵坐标为-1，则关于x的方程的解是_____．
18．已知二次函数和反比例函数在同一个坐标系中的图象如图所示，则k的值为_______；不等式的解集是________．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）对于方程m2+2（1+）=0，用一般的方法去分母将是一个一元三次方程，且好像没有整数解．请你考虑可以采取什么特殊方法找到它的解的范围，要求这个范围在相邻的两个整数之间，并写出这两个整数．
20．（8分）如图，抛物线（常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OB的中点M作MP⊥x轴，交双曲线于点P．
(1) 当t＝1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；
(2) 当直线MP与L对称轴之间的距离为1时，求t的值．
(3) 把L在直线MP右侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最低点的坐标；
(4) 设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足﹣6≤x0≤﹣4，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围．
21．（10分）在学习函数的中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
（2）根据函数图象，小明写出了该函数性质；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是轴；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值；
③该函数图象与坐标轴只有一个交点；
④当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；其中正确的是__（只写序号）
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留一位小数，误差不超过0.2）
22．（10分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．
下面参照学习函数的过程和方法，探究分段函数的图象与性质．
列出表格：
描点连线：
（1）以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，请在所给的平面直角坐标系中描点，并用平滑曲线画出函数的图象．
探究性质：
（2）结合（1）中画出的函数图象，请回答下列问题：
①当时，该函数图象的对称轴为______，最低点坐标为______．
②点，在该函数图象上，则______（填“＞”“＜”或“＝”）．
③请写出该函数的一条性质：______________________．
解决问题：
（3）①当直线时，与该函数图像的交点坐标为_________________．
②在直线的左侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求值．
23．（10分）在函数的学习中，我们经历了“确定函数表法式－画函数图象－利用函数图象研究函数性质－利用图象解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们常常通过描点的方法画函数图象．已知函数，探究函数的表达式、图象和性质、解决问题的过程如下：
（1）下表是与的几组值，则函数表达式中的_______，表格中的______
（2）在平面直角坐标系中，补全描出表格中数据对应的各点，补全函数图象：
（3）观察函数的图象，请描述该函数（当时）的一条性质：____________．
（4）若直线（为常数）与该函数图象有且仅有两个交点，则的取值范围为_________．
24．（12分）数学活动课上，老师出示了如下问题：如图1，在矩形中，，，点E是边上一动点（不与点A，D重合），连接，过点E作，交边于点F，点G在边上，且．当时，求的长．
某个小组的探究过程如下，请补充完整．
（1）初步分析
当点E在边上运动时，设，则______，______．（用含x的代数式表示）
（2）建立函数模型
“当时，求的长”可以转化为求二次函数______（）与反比例函数的图象的交点的横坐标．
（3）画出函数图象
在如图2所示的平面直角坐标系中已经画出了（2）中的反比例函数的图象，描出了（2）中二次函数图象上的部分点，参照自变量x的取值范围请用平滑曲线画出该二次函数的图象．
（4）得出结论
结合函数图象可知，当时，的长约为______．（结果精确到0.1）
参考答案
1．D
【分析】根据k的取值范围分当k＞0时和当k＜0时两种情况进行讨论，根据反比例函数图像与性质，二次函数图像和性质进行判断即可．
解：当k＞0时，二次函数的图像开口向下，顶点在y轴的正半轴；反比例函数图像在第一、三象限；
当k＜0时，二次函数的图像开口向上，顶点在y轴的负半轴；反比例函数图像在第二、四象限，故选项D正确；
故选：D．
【点拨】本题考查反比例函数的图像、二次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．
2．A
【分析】由m3＋2m＋4＝0可变形为，因此作函数y=x2+2与函数y=-图象，观察交点横坐标即可得答案．
解：由m3＋2m＋4＝0可变形为：，
作函数y=x2+1与函数y=-图象如下：
根据图象可得：两函数图象交点M横坐标满足-2故选：A．
【点拨】本题主要考查了二次函数和反比例函数图象，解决本题的关键是准确画出图象，数形结合解决问题．
3．D
【分析】根据抛物线图象，得到，，，即可判断出答案．
解：根据抛物线图象，开口向上，即；与轴交于负半轴，故；对称轴在轴正半轴，即，所以；
∵中，，，∴排除A、B选项；
∵，，，∴，故排除C选项；
故选D．
【点拨】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象及一次函数图象，熟练掌握函数图象和性质是本题的关键．
4．C
【分析】根据题意可得方程－2＝x2－4x的根的个数等于函数y1=与y2= x2－4x+2的交点的个数，结合图象，即可求解．
解：∵－2＝x2－4x，
∴＝x2－4x+2，
令y1=，y2= x2－4x+2，
∴方程－2＝x2－4x的根的个数等于两函数的交点的个数，
如图，
观察图象得：两个函数只有一个交点，
∴方程－2＝x2－4x有一个实数根．
故选：C
【点拨】本题主要考查了一次函数与二次函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．
5．C
【分析】将方程的右边看作是反比例函数，左边看作是二次函数，在坐标系中作出两个函数的图像即可作答．
解：将方程的右边看作是反比例函数，左边看作是二次函数，
即反比例函数、二次函数在坐标系中的图像如下：
由图可知反比例函数、二次函数只有一个交点，且交点的横坐标在1和2之间，
则方程只有一个实数根，且实数根满足，
故选：C．
【点拨】本题考查了利用函数图像求解三次方程根的知识，将一元三次方程转化为求二次函数与反比例函数的交点问题，注重数形结合是解答本题的关键．
6．A
【分析】由可知，方程的根为与的图象交点的横坐标，画与的图象，观察图象确定交点个数，进而可得方程根的个数．
解：由可知，方程的根为与的图象交点的横坐标，
作与的图象如下图所示，
∴由图象可知，图象共有1个交点，即方程有1个根，
故选A．
【点拨】本题考查了方程的根与函数图象交点的关系．数形结合的思想是解题的关键．
7．B
【分析】根据题意方程x3+mx﹣1＝0的根可视为函数y＝x2+m的图象与函数的图象交点的横坐标，由于当m取任意正实数时，函数y＝x2+m的图象过第一、二象限，函数的图象分别在第一、三象限，得到它们的交点的横坐标为正数，观察函数图象得抛物线顶点越低，与函数的图象的交点的横坐标越大，然后求出当m＝0时，y＝x2与的交点A的坐标为（1，1），于是得到当m取任意正实数时，方程x3+mx﹣1＝0的实根x0一定在0＜x0＜1的范围内．
解：∵方程x3+mx﹣1＝0变形为x2+m﹣＝0，
∴方程x3+mx﹣1＝0的根可视为函数y＝x2+m的图象与函数的图象交点的横坐标，
∵当m取任意正实数时，函数y＝x2+m的图象过第一、二象限，函数的图象分别在第一、三象限，
∴它们的交点在第一象限，即它们的交点的横坐标为正数，
∵当m取任意正实数时，函数y＝x2+m的图象沿y轴上下平移，且总在x轴上方，抛物线顶点越低，与函数的图象的交点的横坐标越大，
当m＝0时，y＝x2与的交点A的坐标为（1，1），
∴当m=1时，方程x3＋x－1＝0的实数根可视为函数y＝x2＋1的图象与函数的图象交点的横坐标，由以上分析可知方程x3＋x－1＝0的实数根x0所在的范围是0＜x0＜1．
故选：B．
【点拨】此题考查了反比例函数与二次函数的交点问题，反比例函数与二次函数的交点坐标满足两函数的解析式，阅读理解能力和数形结合思想是解决问题的关键．
8．D
【分析】由可得则x1、x2、x3可以看作是抛物线与反比例函数的三个交点的横坐标，由此画出函数图象求解即可．
解：∵，当时，，
∴，
∴，
∴x1、x2、x3可以看作是抛物线与反比例函数的三个交点的横坐标，
∴由函数图象可知，，根据现有条件无法判定，
故选D．
【点拨】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，正确理解题意得到x1、x2、x3可以看作是抛物线与反比例函数的三个交点的横坐标是解题的关键．
9．B
【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a﹤0，b﹥0，c﹥0，由此可得出﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，对照四个选项即可解答．
解：由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴﹥0，
∴a﹤0，b﹥0，
由反比例函数图象知：c﹥0，
∴﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，
对照四个选项，只有B选项符合一次函数的图象特征．
故选：B·
【点拨】本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解答的关键·
10．D
【分析】根据函数图象知，由一次函数图象所在的象限可以确定a、b的符号，且直线与抛物线均经过点A，所以把点A的坐标代入一次函数或二次函数可以求得b=2a，k的符号可以根据双曲线所在的象限进行判定．
解：∵根据图示知，一次函数与二次函数的交点A的坐标为（-2，0），
∴-2a+b=0，
∴b=2a．
∵由图示知，抛物线开口向上，则a＞0，
∴b＞0．
∵反比例函数图象经过第一、三象限，
∴k＞0．
A、由图示知，双曲线位于第一、三象限，则k＞0，
∴2a+k＞2a，即b＜2a+k，
故A选项不符合题意；
B、∵k＞0，b=2a，
∴b+k＞b，
即b+k＞2a，
∴a=b+k不成立，
故B选项不符合题意；
C、∵a＞0，b=2a，
∴b＞a＞0．
故C选项不符合题意；
D、观察二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k≠0）图象知，当x=-=-=-1时，y=-k＞-=-=-a，即k＜a，
∵a＞0，k＞0，
∴a＞k＞0．
故D选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题综合考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象．解题的关键是会读图，从图中提取有用的信息．
11．3个
【分析】根据数形结合的思想进行判断即可；
解：，画出图像如图所示：
即可得到有三个交点．
故答案是3．
【点拨】本题主要考查了二次函数与反比例函数的图象问题，准确分析是解题的关键．
12．-2．
解：试题解析：∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴顶点C的坐标为（2，-1）；
∵点C（2，-1）在反比例函数y=的图像上
∴k=-1×2=-2．
考点：待定系数法求反比例函数解析式．
13．0＜m＜2
【分析】首先作出分段函数y=的图象，根据函数的图象即可确定m的取值范围．
解：分段函数y=的图象如图：
故要使直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，常数m的取值范围为0＜m＜2．
【点拨】本题主要考查了二次函数和反比例函数的图象．通过数形结合的方法找到满足条件的m的范围即可.
14．①③
【分析】根据抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点,
可以得到a>0,a,b．c的关系,然后对a,b、c进行讨论,从而可以判断①②③是否正确,从而得出答案．
解：∵抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点,
∴ ,
∴ ,故①正确．
当a > 1时,则b、c均小于0,此时b+c<0,
当a= 1时，b+c=0，不符合题意，
当0 0,故②错误．
∴关于的一元二次方程可以转化为：,则 或 ,故③正确．
故答案为：①③
【点拨】本题考查二次函数与图象的关系,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答问题．
15．①③##③①
【分析】根据函数解析式可知中，则可判断①，根据函数图像不存在最小值，进而判断②，根据与存在3个交点可判断③当时，随的增大而减小，进而即可判断④
解：则，，即函数图象与轴无交点，
该函数自变量的取值范围是；
故①正确；
根据函数图象可知，该函数图像不存在最小值，
故②不正确；
如图与存在3个交点，则方程有三个根；
故③正确
当时，随的增大而减小，如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有．
故④不正确
故正确的有①③
故答案为：①③
【点拨】本题考查了函数的图象与性质，类比反比例函数和二次函数的图象与性质是解题的关键．
16．或
【分析】根据两函数图象的上下关系结合点C的坐标，即可得出不等式的解集．
解：从图象得出当或时，二次函数y=ax2的图象在双曲线的上方，
∴不等式的解集为或．
故答案为：或
【点拨】本题考查了二次函数与反比例函数的综合问题，关键是由C点坐标，利用数形结合的思想解决问题．
17．．
解：∵P的纵坐标为－1，
∴，∴，
∵可化为关于x的方程的形式，
∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，
∴．
故答案为．
考点：1．二次函数的图象；2．反比例函数的图象；3．反比例函数图象上点的坐标特征．
18． 或
【分析】把点（1，-2）代入即可求出k的值，根据当或时，抛物线在双曲线的下方，即可求出不等式的解．
解：∵反比例函数的图像在过点（1，-2）
∴k=1×（-2）=-2；
∵当或时，抛物线在双曲线的下方，
∴不等式的解集是：或．
故答案是：2；或．
【点拨】本题主要考查反比例函数和二次函数综合，掌握函数图像的交点坐标与不等式的关系，是解题的关键．
19．m2+2（1+）=0的解在﹣2与﹣1之间．
【分析】根据等式的性质，可化简方程，根据函数与方程的关系，可得答案．
解：由等式的性质，得
m2+2=﹣．
在同一平面直角坐标系内画出n=m2+2，n=﹣，
，
由图象，得
n=m2+2与n=﹣的交点坐标在﹣2与﹣1之间，
即方程m2+2（1+）=0的解在﹣2与﹣1之间．
【点评】本题考查了函数图象，利用等式的性质把方程转化成m2+2=﹣，利用函数与方程的关系是解题关键．
20．(1)(2)t＝2(3)（t﹣2，﹣2）(4)不存在
【分析】（1）当t＝1时，令y＝0，得：，解得：x1＝1，x2＝﹣3，A（1，0），B（﹣3，0），求出AB的长为4；由，写出抛物线对称轴为直线x＝﹣1，根据M为OB中点，写出，求出直线MP与L对称轴之间的距离为；
（2）求出抛物线的对称轴为直线x＝t-2，求出抛物线与x轴交点为A（t，0），B（t﹣4，0），写出线段OB的中点，根据M与对称轴的距离为1， 解得t＝2．
（3）配方，当，即t≤0时，不合题意，当，即t＞0时，图象G最低点为抛物线L的顶点（t﹣2，﹣2）；
（4）满足条件的t的取值范围不存在．根据交点横坐标为和二次函数反比例函数解析式得到 ，求出，推出时，， 时，，从t值最大到最小分段讨论得到，，由于t＞0，所以满足条件的t的取值范围不存在．
解：(1)当t＝1时，令y＝0，得：，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴AB＝4；
∵抛物线L：，
∴抛物线L的对称轴为直线x＝﹣1，
∵M为OB中点，
∴，
∴直线MP与L对称轴之间的距离为；
(2)∵抛物线的对称轴为：直线x＝＝t﹣2，
抛物线L与x轴交点为A（t，0），B（t﹣4，0）
∴线段OB的中点，
由题意得：，
解得：t＝2或﹣2，
∵t＞0，
∴t＝2；
(3)∵，
∴当，即t≤0时，不合题意，舍去
当，即t＞0时，图象G最低点为抛物线L的顶点（t﹣2，﹣2）；
(4)满足条件的t的取值范围不存在．
如图∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵﹣6≤x0≤﹣4，
当时，，或，
当时，，t＝﹣1或﹣3，
随着t的逐渐减小，抛物线L的位置随着A（t，0）向左平移，
当t＝﹣1时，L左侧过点C；
当时，L左侧过点D，即；
当时，L左侧离开了点C，而右侧未到达点D，
即L与该段无交点，舍去；
当t＝﹣3时，L右侧过点C，
当时，L右侧过点D，即．
综上所述，或．
由于t＞0，所以满足条件的t的取值范围不存在．
【点拨】本题主要考查了二次函数和反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握二次函数和反比例函数的图象性质，（1）问，当t＝1时，令y＝0，求得 A（1，0），B（﹣3，0），求出AB的长为4；把L的解析式配方，写出其对称轴为直线x＝﹣1，根据OB中点，求出直线MP与L对称轴之间的距离为；（2）问，求出抛物线的对称轴为直线x＝t-2，求出抛物线与x轴交点A（t，0），B（t﹣4，0），再求出线段OB的中点，根据M与对称轴的距离为1求出t＝2．（3）问，将解析式配方配方，分，两种情况讨论，即t＞0时，得图象G最低点为（t﹣2，﹣2）；（4）问，满足条件的t的取值范围不存在．根据交点横坐标为，联立二次函数反比例函数解析式求出，，对时与 时求出t值，然后按大到小的顺序分段讨论得到t的取值范围，由于此范围不合t＞0，所以满足条件的t的取值范围不存在．
21．（1），，见分析；（2）②③④；（3）或
【分析】（1）分别代入x求y．
（2）观察图象，逐条分析判断即可．
（3）根据图象及不等式分类讨论x＞0与x＜0解集．
解：（1）当x=-3时，
当x=3时，
故填：，
补全图象．
（2）①该函数图象不是轴对称图形，故此条性质不正确；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值，正确；
③该函数图象与坐标轴只有一个交点，正确；
④当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，正确；
故答案为：②③④；
（3）由图象得，或
【点拨】本题考查函数与不等式的关系，解题关键是结合图象求不等式．
22．（1）见分析；（2）①直线x=-2；（-2，0）；②＜；③图象有最低点（-2，0）；（3）①（-4，1），（0，1），（6，1）；②x3+x4=-4．
【分析】（1）根据画函数图象的步骤解答即可；
（2）观察图象的对称性，最低点特征，即可求解①②；
③根据函数有最低点写出即可；
（3）①观察图象可直接得出结论；
②分析题意可得P、Q两点关于直线x=-2对称，得P、Q连线的中点在直线x=-2上，根据中点坐标公式即可得出结果．
解：（1）该函数图象如图所示；
（2）结合（1）中画出的函数图象，
①当x≤2时，该函数图象的对称轴为：直线x=-2；最低点坐标为 （-2，0）；
故答案为：直线x=-2；（-2，0）；
②点A（-3，y1），B（-8，y2）在该函数图象上，且A、B在对称轴左侧，
观察图象，对称轴左侧是y随x的增大而减小，
y1＜y2；
故答案为：＜；
③写出该函数的一条性质：图象有最低点（-2，0）；
故答案为：图象有最低点（-2，0）；
（3）①当直线y=1时，观察图象经过（-4，1），（0，1），（6，1）
∴与该函数图象的交点坐标为 （-4，1），（0，1），（6，1）；
故答案为：（-4，1），（0，1），（6，1）；
②在直线x=2的左侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3=y4，
∴P、Q两点关于直线x=-2对称，
∴P、Q连线的中点在直线x=-2上，
∴根据中点坐标公式得：x3+x4=-4．
【点拨】本题考查了分段函数的图象画法，函数的增减性，最值问题，图象上点的坐标特征，解题关键是数形结合思想的综合运用．
23．（1）6，；（2）见分析；（3）当时，随的增加而减小；（4）或或
【分析】（1）根据表格信息，利用待定系数法解决即可求得，把代入即可求得．
（2）利用描点法画出函数图象即可，结合图形描述函数的性质即可．
（3）根据图象即可求得；
（4）判断出直线与双曲线有交点的的取值范围即可．
解：（1）把，代入得，，
解得，
把代入得，，
，
故答案为：6，．
（2）函数图象如图所示．
（3）性质：当时，随的增加而减小．
故答案为：当时，随的增加而减小．
（4）观察图象可知，若直线为常数）与该函数图象有且仅有两个交点，则的取值范围为或或，
故答案为或或．
【点拨】本题考查反比例函数与二次函数的性质，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
24．（1），；（2）；（3）答案见分析；（4）3.6或8.1．
【分析】(1)设，根据，，，，进而求得；
(2) 当时，，求AE的长，可转化为求二次函数与反比例函数的图象的交点的横坐标，即可得出结论；
(3) 根据二次函数，即可求得图象；
(4) 当时，求AE的长，可结合函数图象解答即可．
解：（1）设，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，即，∴，
∵，
∴，
∴，即，
；
（2）故(1)可知，，
当时，，
即，
∴当时，求AE的长，可转化为求二次函数与反比例函数的图象的交点的横坐标，
故答案为：．
（3）∵二次函数，
∴图象如图所示：（注：和处用空心圆圈）
（4）当时，求AE的长，可转化为求二次函数与反比例函数的图象的交点的横坐标，
观察函数图象可得或，
故答案：3.6或8.1（可以有0.1-0.2的误差）．
【点拨】本题主要考查了二次函数与反比例函数的综合，正确作出辅助线，理解题意是解题的关键…
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