青海湟川中学2023届高三数学（理）上学期12月学情调研测试（B）试卷（Word版附答案）

湟川中学2022~2023学年度第一学期学情调研测试

高三数学试题B（理科）

注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.

3．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，B =∣,则A∩B=

A.  B.

C  D.

2. 已知是虚数单位，复数的虚部为（    ）

A. -1 B. 0 C. 1 D.

3. “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知不等式组表示的平面图形为，则按斜二测画法，平面图形的直观图的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 半径为4，圆心角为的扇形的弧长为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 牛顿冷却定律，即温度高于周围环境物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中是环境温度，h为常数.现有一个105℃的物体，放在室温15℃的环境中，该物体温度降至75℃大约用时1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30℃，则m的值约为（    ）（参考数据：，）

A. 2.9 B. 3.4 C. 3.9 D. 4.4

7. 如图所示的程序框图中，要想使输入的值与输出的值相等，输入的a值应为 (　 　)

A. 1 B. 3

C. 1或3 D. 0或3

8. 已知等差数列中，，是函数的两个零点，则的前项和等于

A  B.  C.  D.

9. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，点，在抛物线C上，若，则（    ）．

A. 4 B. 2 C.  D.

10. 如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是（    ）

A. 5 B. 8 C.  D.

11. 从正方体的个顶点和中心中任选个，则这个点恰好构成三棱锥的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数，则

A. 有个零点 B. 在上为减函数

C. 的图象关于点对称 D. 有个极值点

二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 展开式中的常数项为______．

14. 若是正实数，且，则的最小值为______．

15. 如图，在中，两条直角边分别为，，为内一点，，若，则__________．

16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，，点是正方形边上的一个动点，点关于直线的对称点为点，当取得最小值时，直线的方程为______.

三、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 在中，角所对的边分别为．已知，,．

（1）求b的值；

（2）求的值．

18. 有3名志愿者2022年10月1号至10月5号期间参加核酸检测工作．

（1）若每名志愿者在这5天中任选一天参加核酸检测工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志愿者恰好连续3天参加核酸检测工作的概率；

（2）若每名志愿者在这5天中任选两天参加核酸检测工作，且各志愿者的选择互不影响，记表示这3名志愿者在10月1号参加核酸检测工作的人数，求随机变量的分布列及数学期望．

19. 如图，直四棱柱的底面是边长为的菱形，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若平面平面，求与平面所成角正弦值.

20. 求实数a的取值范围，使得对于任意，恒有.

21. 已知函数和有相同的极小值.

（1）求；

（2）证明：若函数和共有四个不同的零点，记为，且，则.

22. 在直角坐标系xOy中，曲线E的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程分别为，，交曲线E于点A，B，交曲线E于点C，D.

（1）求曲线E的普通方程及极坐标方程；

（2）求证：为定值.

23. 已知函数，，且的解集为

（1）求的值；

（2）若，且，求证

答案

1-12 ACBAC  BDCAC  DB

13. 240

14.

15.

16.

17.（1）法一：因为，，

所以，,

所以，又因为，，,

所以．         

 法二：在中，，,，       

又，即，

所以，所以．

（2）由（1）得，，

 所以， 

所以，    

 所以．

18.（1）3名志愿者每人任选一天参加核酸检测，共有种不同的结果，

这些结果出现的可能性都相等．

设“3名志愿者恰好连续3天参加核酸检测工作”为事件A，

则该事件共包括不同的结果．

所以．

（2）的可能取值为0、1、2、3，

，，

，，

.

19.（1）在直四棱柱中，平面，平面，则，

四边形为菱形，则，而，平面，

因此平面，又平面，

所以平面平面.

（2）令，连接，如图，

平面，平面，则，由（1）知，，平面，

因此平面，又平面，于是得，而平面平面，

平面平面，平面，则平面，而平面，有，即，

菱形中，，，则，，令，

则，由得，令，连，

过M作交于N，则有平面，连，则是直线与平面所成的角，

，显然，则，

又，因此，，

所以与平面所成角的正弦值是.

20. 解：原不等式可看作点与直线l：上任意一点距离的平方大于等于.

由点P到直线l距离公式得.

得到

令，

则原不等式可化为，整理得：，

等价于或，故或，

而当时，，设，则，

在上递减，则最值在端点处取得，于是 ，

类似的办法可求出，

由不等式的恒成立问题可得，或，

于是t的取值范围求得或

21.（1）因为函数和

所以

若，函数和没有相同的极小值，故.

所以在上单调递减，

在上单调递增，故在处取得极小值

在上单调递减，

在上单调递增，故在处取得极小值

因为函数和有相同的最小值，所以，

即，解得：.

所以满足题意.

（2）函数和共有四个不同的零点等价于方程存在4个不同的实数根，记为，且.

由图可知： ①

因为所以得

同理得，代入①式得：，

22.（1），得：，代入中，得：

，由于，且，所以；

由，极坐标方程为．

（2）依题意得：，

所以，，

将，，代入，

设点、、、、对应的极径为，，，；

故，，，；

所以：

（定值）．

23. （1）函数，，故，由题意可得的解集为，即的解集为，故．

（2）由，，，且，

∴

，

当且仅当时，等号成立．

所以.