青海省湟川中学2019-2020学年高二第二学期期中考试数学（理）试卷（含答案）

这是一份青海省湟川中学2019-2020学年高二第二学期期中考试数学（理）试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了 若复数满足，则复数的虚部为，抛物线y＝4ax2的焦点坐标是等内容，欢迎下载使用。

高二年级数学（理）期中考试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I卷（选择题 共60分）
选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求）
1. 若复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．函数y=2x2，则自变量从2变到2+Δx时函数值的增量Δy为( )
A.8B.8+2Δx C.2(Δx)2+8Δx D.4Δx+2(Δx)2
3.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 ( )
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
4.设f0(x)=sinx，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…，fn(x)=fn-1′(x)，n∈N，则f2020(x)=( )
A.sinx B.-sinx C.csxD.-csx
5. 函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是( )
6.抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是( )
A．(0，a) B．(a，0) C．(0，eq \f(1,16a)) D．(eq \f(1,16a)，0)
7. 复数满足，则共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8. 曲线y＝eq \f(x－1,x＋1)在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,2) D．1
9. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10. 已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：①对任意的x1，x2∈[4,8]，
当x1若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(17)，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A．a11. 已知是函数f(x)的导数，，则＝( )
A.eq \f(12－8ln 2,1－2ln 2) B.eq \f(2,1－2ln 2) C.eq \f(4,1－2ln 2) D．－2
12. 设函数f(x)在R上的导函数为，且，则下列不等式在R上恒成立的是( )
A． ＞0 B．＜0 C.＞x D．＜x
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
填空题.（本大题共4小题， 每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13.观察下列式子： 根据上述规律，第n个式子应该为_______.
14. eq \i\in(1,e,) eq \f(1,x) dx＋eq \i\in(－2,2,)eq \r(4－x2)dx＝________.
15. 已知F1,F2是双曲线E: QUOTE =1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1= QUOTE ,则E的离心率为 .
16.已知函数f(x)＝x3－2x＋2020+ ex－eq \f(1,ex)，其中e是自然对数的底数．若
f(a－1)＋f(2a2)≤4040，则实数a的取值范围是________．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
17.(10分) 已知函数,且.
(1) 求解析式；
(2)求曲线在处的切线方程
18.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(2b－a)cs C＝ccs A.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝3，△ABC的面积S＝eq \f(4\r(3),3)，求△ABC的周长．
19.（12分）设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记 证明：
20.(12分) 如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2．
(Ⅰ)求证：EG∥平面ADF；
(Ⅱ)求二面角O­EF­C的正弦值；
(Ⅲ)设H为线段AF上的点，且AH＝eq \f(2,3)HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．

21.（12分）已知函数f(x)＝(x－1)ex－eq \f(1,2)ax2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．

22.（12分）已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)过点T(eq \r(3)，－eq \f(\r(6),2))，且半焦距c＝eq \r(3)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，已知Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，0))，A(2，1)，过点B(3，0)的直线l与
椭圆相交于P，Q两点，直线AP，AQ与x轴分别相交于M，
N两点，试问|DM|·|DN|是否为定值？如果是，求出这个定
值；如果不是，请说明理由．
数学（理）答案
一．选择题.
1. B 2. C 3.B 4. A 5. D 6. C．7 A 8B 9. B 10. B 11. C 12 A
二．填空题
13. 14. 2π＋1 15. 16 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))
三．解答题
17. 解：
18. 解：(1)由已知及正弦定理得(2sin B－sin A)cs C＝sin Ccs A，
即2sin Bcs C＝sin Acs C＋sin Ccs A＝sin(A＋C)＝sin B，
∵B∈(0，π)，∴sin B>0，∴cs C＝eq \f(1,2)，
∵C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,3).
(2)由(1)知，C＝eq \f(π,3)，故S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)absineq \f(π,3)＝eq \f(4\r(3),3)，
解得ab＝eq \f(16,3).
由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcs C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
又c＝3，∴(a＋b)2＝c2＋3ab＝32＋3×eq \f(16,3)＝25，得a＋b＝5.
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋3＝8.
19. 【答案】（I），；（II）证明见解析.
【解析】（I）设数列的公差为d，由题意得
，
解得．
从而．
所以，
由成等比数列得
．
解得．
所以．
（II）．
我们用数学归纳法证明．
（i）当n=1时，c1=0<2，不等式成立；
（ii）假设时不等式成立，即．
那么，当时，
．
即当时不等式也成立．
根据（i）和（ii），不等式对任意成立．
20. 解：依题意，OF⊥平面ABCD，如图，以O为原点，分别以eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(OF,\s\up6(→))的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(－1，－1，0)，C(1，－1，0)，D(1，1，0)，E(－1，－1，2)，F(0，0，2)，G(－1，0，0)．
(Ⅰ)证明：eq \(AD,\s\up6(→))＝(2，0，0)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(1，－1，2)．
设n1＝(x1，y1，z1)为平面ADF的法向量，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n1·\(AD,\s\up6(→))＝0，,n1·\(AF,\s\up6(→))＝0，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x1＝0，,x1－y1＋2z1＝0．))
不妨设z1＝1，可得n1＝(0，2，1)，又eq \(EG,\s\up6(→))＝(0，1，－2)，可得eq \(EG,\s\up6(→))·n1＝0，又因为直线EG⊄平面ADF，所以EG∥平面ADF．
(Ⅱ)易证eq \(OA,\s\up6(→))＝(－1，1，0)为平面OEF的一个法向量．
eq \(EF,\s\up6(→))＝(1，1，0)，eq \(CF,\s\up6(→))＝(－1，1，2)．
设n2＝(x2，y2，z2)为平面CEF的法向量，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n2·\(EF,\s\up6(→))＝0，,n2·\(CF,\s\up6(→))＝0，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝0，,－x2＋y2＋2z2＝0．))
不妨设x2＝1，可得n2＝(1，－1，1)．
因此有cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，n2〉＝eq \f(\(OA,\s\up6(→))·n2,|\(OA,\s\up6(→))||n2|)＝－eq \f(\r(6),3)，
于是sin〈eq \(OA,\s\up6(→))，n2〉＝eq \f(\r(3),3)．
所以，二面角O­EF­C的正弦值为eq \f(\r(3),3)．
(Ⅲ)由AH＝eq \f(2,3)HF，得AH＝eq \f(2,5)AF．
因为eq \(AF,\s\up6(→))＝(1，－1，2)，所以eq \(AH,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，－\f(2,5)，\f(4,5)))，
进而有Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(3,5)，\f(4,5)))，从而eq \(BH,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(8,5)，\f(4,5)))，
因此cs〈eq \(BH,\s\up6(→))，n2〉＝eq \f(\(BH,\s\up6(→))·n2,|\(BH,\s\up6(→))||n2|)＝－eq \f(\r(7),21)．
所以直线BH和平面CEF所成角的正弦值为eq \f(\r(7),21)．
22. 解：(1)方法一：设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，则F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，
由椭圆的定义可得2a＝eq \r(（\r(3)＋\r(3)）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＋eq \r(（\r(3)－\r(3)）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝2eq \r(6)，解得a＝eq \r(6)，
所以b2＝a2－c2＝6－3＝3，
所以椭圆C的标准方程为eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1．
方法二：因为c＝eq \r(3)，所以a2－b2＝3，
又椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)过点Teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，－\f(\r(6),2)))，
所以eq \f(3,a2)＋eq \f(6,4b2)＝1，故eq \f(3,b2＋3)＋eq \f(3,2b2)＝1，化简得2b4－3b2－9＝0，得b2＝3，所以a2＝6，
所以椭圆C的标准方程为eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1．
(2)设直线l的方程为x＝my＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
当直线AP的斜率不存在时，易知直线BP与椭圆C相切，不符合题意，同理可得直线AQ的斜率存在，故直线AP的方程为y－1＝eq \f(y1－1,x1－2)(x－2)，
则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2y1－x1,y1－1)，0))，即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(（2－m）y1－3,y1－1)，0))，
同理Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(（2－m）y2－3,y2－1)，0))．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝my＋3，,\f(x2,6)＋\f(y2,3)＝1，))得(2＋m2)y2＋6my＋3＝0，
由Δ＝36m2－12(2＋m2)＞0得m2＞1，
又y1＋y2＝－eq \f(6m,2＋m2)，y1y2＝eq \f(3,2＋m2)，
所以|DM|·|DN|
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－ \f(（2－m）y1－3,y1－1)))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－ \f(（2－m）y2－3,y2－1)))
＝eq \f(（1＋2m）2y1y2＋（1＋2m）（y1＋y2）＋1,4[y1y2－（y1＋y2）＋1])
＝eq \f(（1＋2m）2\f(3,2＋m2)＋（1＋2m）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6m,2＋m2)))＋1,4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2＋m2)＋\f(6m,2＋m2)＋1)))
＝eq \f(3＋12m＋12m2－6m－12m2＋2＋m2,4（3＋6m＋2＋m2）)
＝eq \f(m2＋6m＋5,4（m2＋6m＋5）)＝eq \f(1,4)，
故|DM|·|DN|为定值，且|DM|·|DN|＝eq \f(1,4)．