2022-2023学年青海省西宁市湟川中学高三上学期12月月考文科数学试题A（word版）

西宁市湟川中学2022-2023学年高三上学期12月月考

数学试题A（文科）

注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置。

3．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合, ，则

A． B． C． D．

2．已知,是虚数单位，若，则（ 　　 ）

A．1 B． C．3 D．

3．设，则（     ）

A． B． C． D．

4．在如图所示的算法框图中，如果输入的，，，那么输出的值为（   ）

A． B． C． D．

5．双曲线的实轴长､虚轴长､离心率分别是

A．10,6, B．6,10,

C．10,6, D．6,10,

6．如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点．则异面直线，所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

7．已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，点，在抛物线C上，若，则（    ）．

A．4 B．2 C． D．

8．已知复数和复数，则（    ）

A． B． C． D．

9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（  ）

A． B． C． D．5

10．下列函数中，既是奇函数又在区间内是增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

11．已知双曲线与直线交于，其中，若，且，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数的定义域为，且满足，，则对任意正数，当时，下列不等式一定成立的是(　　)

A．  B．

C． D．

二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分

13．在中，，，，则______.

14．设x，y满足约束条件，则的最大值为__________.

15．已知向量满足（为非零的实数），设向量的夹角为，有下列四个命题.其中正确的命题有___________（填写所有正确结论的编号）.

①存在，使得

②不存在，使得

③当变化时，的最大值为1

④当变化时，的最小值为

16．已知函数在区间上是增函数，其在区间上恰好取得一次最大值2，则的取值范围是______.

三、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．已知各项均为正数的等差数列的首项为，前项和为，且满足，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)证明数列是等差数列．

18．某养殖场新引进了40只幼猪，并对其体重（单位：千克）进行了测量，将数据按照分成6组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）试估计这40只幼猪体重的中位数；

（2）试估计这40只幼猪中体重不低于16千克的数量.

19．如图，已知四边形是边长为的菱形，且，点为平面外一点，．

（1）求证：；

（2）若四棱锥的体积为，求的长度．

20．已知椭圆离心率为，椭圆上的点到右焦点的最小距离是，直线交椭圆于、两点，为坐标原点，

（1）求椭圆的方程；

（2）求三角形面积的最大值，并求此时直线的方程.

21．设函数.

（1）求在处的切线方程；

（2）当时，，求的取值范围.

22．已知圆：，直线：，点．

(1)判断直线与圆的位置关系；

(2)设直线与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程；

(3)在（2）的条件下，若，求直线的方程．

23．由，，，，，，，，，按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为，设，其中．

(1)若，求的值；

(2)求证：；

(3)求的最大值．

数学试题参考答案及评分标准

1．A

2．A

3．A

4．A

5．B

6．C

7．A

8．A

9．C

10．B

11．B

12．B

13．

14．

15．①

16．

17．(1)

(2)证明见解析

（1）设等差数列的公差为，，，利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程，即可求出和，由此即可求出结果；

（2）由（1）即可求出，即，再根据等差数列的定义即可证明结果.

（1）解：设各项均为正数的等差数列的公差为，

因为，

所以，解得，即，

所以； 即.

（2）解：由（1）知，所以，

因为，

又因为

所以数列是首项为，公差为的等差数列．

18．（1）15.6；（2）18.

（1）利用中位数和频率的性质进行计算求解即可；

（2）根据频率直方图直接计算即可

（1）后三组的频率之和为，

后四组的频率之和为，

所以中位数位于第三组，设中位数为，

则，解得.

所以这40只幼猪体重的中位数估计值为15.6.

（2）由频率分布直方图可得，不低于16千克的频率为，

所以这40只幼猪中体重不低于16千克的数量估计为.

关键点睛：利用中位数和频率的性质，列出相关等式进行计算即可，属于基础题

19．（1）见解析；（2）或.

（1）取的中点，连接，，，由等腰三角形的性质可得，由正三角形的性质可得，从而得平面，进而可得结论；（2）由四棱锥的体积为，可得三棱锥的体积为，结合已知可求得，，从而可得，，利用余弦定理可得结果.

（1）如图，取的中点，连接，，，

因为，所以．

因为四边形是菱形，所以，

又，所以为正三角形，所以，

因为，所以平面，

又平面，所以．

（2）因为四边形是菱形，所以与全等，

所以四棱锥的体积是三棱锥的体积的2倍，

因为四棱锥的体积为，所以三棱锥的体积为．

由（1）可知平面，所以三棱锥的体积为，

因为菱形的边长为，，所以，

由（1）可知，因为，所以，

则，

所以，所以，

当时，由余弦定理可得，则；

当时，由余弦定理可得，则．

综上，的长度为或．

本题主要考查线面垂直的判定定理及线面垂直的性质、棱锥的体积公式，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.

20．（1）（2）面积的最大值为，此时直线的方程是.

（1）由条件可知，且，求椭圆方程；

（2）直线与椭圆方程联立，并且表示，，

利用韦达定理表示三角形的面积，并通过换元求三角形面积的最值，和此时直线的方程.

解：（1）因为，，所以，，，，

（2）把直线代入椭圆，得，，

设，，则，

点到直线的距离为，

，设，则

，

当，即，即时，，此时直线的方程是.

本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.

21．（1）；（2）

（1）求出的导数，把代入导数得斜率，把代入即可得时的坐标．根据点斜式即可得切线方程．

（2）转化成，令，当时的最大值为0，求的取值范围即可．

（1）

当时

在处的切线方程为：

（2）由题意得

令则

再令，则

由，所以在上为减函数．

且

本题主要考查了求函数在某一点的切线方程以及利用导数解决函数恒成立求参数范围的问题．属于中等题．

22．(1)相交

(2)

(3)或

（1）先求出动直线经过的定点，判断定点和圆的位置关系即可；

（2）连接圆心和弦的中点，利用垂径定理找出几何关系来解决；

（3）联立直线和圆的方程，利用韦达定理来解决.

（1）

因为直线：过定点，

又，所以在圆内，

所以直线与圆相交；

（2）

设，当与不重合，即时，连接，，则，根据勾股定理．则，化简得：（）；当与重合时，，也满足上式，故弦的中点的轨迹方程为；

（3）

设，，因为，所以，

所以，化简得． ①

又消去并整理得，

所以②，． ③

由①②③联立，解得，

所以直线的方程为或．

23．(1)57

(2)证明见解析

(3)131

（1）把数据逐个代入，求解可得答案；

（2）利用绝对值和的性质进行求解；

（3）先求这10个数的2倍和3倍数，相对较大的10个数与较小10个数差为最大值.

（1）因为，所以.

（2）证明：因为

.

（3），，，，，，，，，的2倍与3倍共20个数如下：

2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30.

其中较大的10个数之和为203，较小的10个数之和为72，所以，

当时，

，

所以的最大值为.