北师大版八年级上册3 平行线的判定教案及反思

3　平行线的判定

1．经历探索平行线判定定理的过程，获得探索数学结论的体验，进一步发展学生的探究、分析、归纳、证明与交流能力．

2．掌握两直线平行的判定定理，并会运用平行线的判定定理解决简单的问题．

重点：平行线的判定定理的证明及应用．

难点：平行线判定定理的应用．

一、导入新课

1．什么叫做平行线？(同一平面内，两条直线不相交，就叫做平行线)

2．什么叫做同位角、内错角和同旁内角？

(在黑板上画出上图，指出在直线a，b被直线c所截成的角中，∠1与∠2是同位角，∠2与∠3是内错角，∠2与∠4是同旁内角)

3．前面我们探索过两条直线平行的哪些判别条件？

4．通过前面的学习我们知道，判断一个数学结论是否正确还需要有根有据的证明，那么，利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明它们吗？我们一起来试一试．

二、探究新知

探究1　证明一．

(1)出示定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：内错角相等，两直线平行．

(2)证明这个定理需要先把定理转化成几何语言，谁能说一说，怎么转化？

(画出两条直线a、b，被第三条直线c所截，标出内错角∠1、∠2，表示如果∠1＝∠2，那么a∥b)

(3)怎么证明呢？教师写出完整的证明过程．

已知：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角，且∠1＝∠2.

求证：a∥b.

证明：∵∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠3(对顶角相等)，

∴∠3＝∠2(等量代换)．

∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．

探究2　证明二．

(1)出示定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简述为：同旁内角互补，两直线平行．

(2)让学生利用证明定理一的经验自主证明定理二．

(3)讨论：要由同旁内角互补证明两直线平行，要怎么证明？

(我们知道有定理“同位角相等，两直线平行”，如果能由同旁内角互补推出同位角相等，那么根据已有的这个定理就能证明出两直线平行)

(4)学生板书证明过程．

三、新知归纳

平行线的判定方法：

1．同位角相等，两直线平行．

2．内错角相等，两直线平行．

3．同旁内角互补，两直线平行．

四、典例剖析

例1　在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？

思路分析：用平行线的判定定理进行解答即可得出答案．

解：这两条直线平行．

理由如下：

如图，a⊥b，a⊥c，

∵a⊥b，a⊥c(已知)，

∴∠1＝∠2＝90°(垂直的定义)，

∴b∥c(同位角相等，两直线平行)．

例2　如图，已知直线AB，CD被EO所截，∠EMB＝∠MND，MG平分∠EMB，NF平分∠MND.

求证：MG∥NF.

思路分析：要证MG∥NF，只要证∠1＝∠2，而∠1，∠2又分别等于∠EMB，∠MND的一半，所以只要证∠EMB＝∠MND即可．

证明：∵MG平分∠EMB(已知)，

∴∠1＝∠EMB(角平分线定义)．

∵NF平分∠MND(已知)，

∴∠2＝∠MND(角平分线定义)．

又∵∠EMB＝∠MND(已知)，

∴∠1＝∠2(等量代换)．

∴MG∥NF(同位角相等，两直线平行)．

例3　如图所示，AE，CE分别平分∠BAC和∠ACD，∠1和∠2互余．求证：AB∥CD.

思路分析：当已知条件中出现两角互余时，一般我们应考虑用“同旁内角互补，两直线平行”来证明．

证明：因为AE，CE分别平分∠BAC和∠ACD(已知)，所以∠1＝∠CAB，∠2＝∠ACD(角平分线定义)．又因为∠1和∠2互余，所以∠1＋∠2＝90°(互余定义)，即∠CAB＋∠ACD＝90°(等量代换)．所以∠CAB＋∠ACD＝180°(等式的性质)．所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．

例4　如下图所示，AC⊥CD于点C，∠1与∠2互余，判断AB，CD是否平行，并说明理由．

思路分析：由AC⊥CD可得∠2与∠3互余，已知∠1与∠2互余，可得∠1与∠3相等，可得AB∥CD.

解：AB∥CD.

理由：∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，

∴∠2＋∠3＝∠ACD＝90°，∵∠1与∠2互余，

∴∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3.

∴AB∥CD.(内错角相等，两直线平行)

五、反馈训练

完成《作业与单元评估》随堂演练．

六、课堂小测

1．如图所示，下列条件中，不能判定AB∥CD的是(　D　)

A．AB∥EF，CD∥EF

B．∠5＝∠A

C．∠ABC＋∠BCD＝180°

D．∠2＝∠3

2．如图，由图和已知条件，下列判断中正确的是(　D　)

A．由∠1＝∠6，得AB∥FG

B．由∠1＋∠2＝∠6＋∠7，得CE∥EI

C．由∠1＋∠2＋∠3＋∠5＝180°，得CE∥FI

D．由∠5＝∠4，得AB∥FG

3．如图，如果∠3＝∠7或__∠1＝∠5或∠2＝∠6或∠4＝∠8__，那么__a∥b__，理由是__同位角相等，两直线平行__；如果∠5＝∠3或__∠2＝∠8__，那么__a∥b__，理由是　内错角相等，两直线平行　；如果∠2＋∠5＝__180°__或者__∠3＋∠8＝180°__，那么a∥b，理由是__同旁内角互补，两直线平行__．

4．已知：如图所示，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠A＝∠C，∠B＝∠D，那么直线AB与CD及直线AD与BC的位置关系是怎样的？

解：AB∥CD，AD∥BC.

理由：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，

∠A＝∠C，∠B＝∠D(已知)，

∴2∠A＋2∠B＝360°(等量代换)．

∴∠A＋∠B＝180°(等式的性质)．

∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)

同理AB∥CD.

即AB与CD平行，AD与BC平行．

七、课堂小结

本节课主要学习了判定两直线平行的方法：

1．同位角相等，两直线平行．

2．内错角相等，两直线平行．

3．同旁内角互补，两直线平行．

八、布置作业

完成《作业与单元评估》课后作业的相关练习．