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初中数学北师大版九年级下册8 圆内接正多边形精品课堂检测
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这是一份初中数学北师大版九年级下册8 圆内接正多边形精品课堂检测
第11讲 正多边形与圆及圆的相关计算目标导航知识精讲知识点01 正多边形与圆的相关概念、正多边形中各元素间的关系1）正多边形：各边、各角都相等的多边形注：正多边形必须同时满足2个条件： = 1 \* GB3 ①每一条边都相等； = 2 \* GB3 ②每一个角都相等2）正多边形的中心：正多边形外接圆的圆心；正多边形的半径：正多边形外接圆的半径正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角3）正多边形都是轴对称图形，共有n条对称轴，每条对称轴都经过它的中心，当n为偶数时，正n边形还是中心对称图形。 4）设正多边形的边长为an，半径为R，边心距为rn，中心角为；则有关系：5）正多边形的一些关系： = 1 \* GB3 ①正n边形的中线角； = 2 \* GB3 ②正n边形的周长Pn=nan； = 3 \* GB3 ③正n边形的面积【知识拓展】（2021·四川龙泉驿·九年级期末）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠COD的度数是____．【答案】72°【分析】根据正多边形的中心角的计算公式： 计算即可．【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为 ＝72°，故答案为：72°．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．【即学即练1】（2021·河北怀安·初三期末）如图，正六边形内接于圆，圆半径为2，则六边形的边心距的长为（ ）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】连接OB、OC，证明△OBC是等边三角形，得出即可求解．【解析】解：连接OB、OC，如图所示：则∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=2，∵OM⊥BC，∴△OBM为30°、60°、90°的直角三角形，∴，故选：D．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键．【即学即练2】（2021·山东龙口·九年级期末）如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（ ）A．30° B．32° C．36° D．40°【答案】C【分析】连接OA，OE，由圆的内切正多边形先得到中心角的度数，由圆周角定理即可求得∠ADE的度数．【详解】如上图所示，连接OA，OE∵五边形ABCDE是正五边形∴∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆∴故选：C．【点睛】本题主要考查圆的内切正多边形及圆周角定理，熟练掌握相关角度的计算方法是解决本题的关键．知识点02 弧长、扇形和弓形的相关公式1）弧长l与n°圆心角的关系：l=2，公式不可强记，通过比例关系推导：弧长l=圆的周长×n掳360掳（n°圆心角的弧所占整个圆的比例）即：l=22）扇形面积S与n°圆心角的关系：S=扇形面积S=圆的面积×n掳360掳（比例）即：S=3）弧长和扇形面积合并，推导得：S=12lR； S=2（便于记忆，可理解为三角形面积公式，l—底；R—高）4）弓形面积可以看作使扇形面积和三角形面积的分解与组合，实际应用时，可根据图形直接选用下列公式： = 1 \* GB3 ①当弓形所含的弧是劣弧时有： = 2 \* GB3 ②当弓形所含的弧时优弧时有：【知识拓展】（2021·北京市昌平区第四中学期中）一个扇形的半径为6cm，圆心角为90°，则这个扇形的弧长为_______，这个面积为_____．【答案】 【分析】直接根据弧长计算公式和扇形面积公式计算求解即可．【解析】解：由题意得： ，．故答案为；．【点睛】本题主要考查弧长及扇形面积计算公式，关键是熟练掌握计算公式．【即学即练1】（2021·重庆·西南大学附中九年级期中）如图，在矩形ABCD中，，，点O为BC的中点，以点O为圆心，OC长为半径作半圆与BD相交于点E，则图中阴影部分的面积是__________．【答案】【分析】连接OE、EC，用△BCD的面积减去△BOE和扇形OEC的面积即可．【详解】解：连接OE、EC，∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∵，，∴，，∠EOC=60°，BD=2CD，，，，，，，，图中阴影部分的面积是．【点睛】本题考查了扇形面积和勾股定理，圆周角的性质，解题关键是熟记相关公式，准确进行计算．【即学即练2】（2021·广西·三美学校九年级期中）已知，如图，扇形AOB中，，，若以点A为圆心，AO长为半径画弧交弧AB于点C，过点C作，垂足为点D，则图中阴影部分的面积为______．【答案】【分析】连接OC，AC，证明三角形AOC是等边三角形，确定阴影部分的面积为计算即可．【详解】连接OC，AC，∵OC=OA=AC=4，∴△AOC是等边三角形，∴∠OCA=∠OAC=60°，∵，∴∠OCD=∠ACD=30°，∴OD=2，CD=，∴阴影部分的面积为：==，故答案为：．【点睛】本题考查了扇形的面积，勾股定理，等边三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握扇形面积公式，灵活运用分割法计算是解题的关键．【即学即练3】（2021·广东省初三期末）如图，已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆O1和半圆O2，一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F，且EF=2（EF与AB在圆心O1和O2的同侧），则由，EF，，AB所围成图形（图中阴影部分）的面积等于 ．【答案】﹣．【解析】连接O1O2，O1E，O2F，则四边形O1O2FE是等腰梯形，过E作EG⊥O1O2，过F⊥O1O2，∴四边形EGHF是矩形，∴GH=EF=2，∴O1G=，∵O1E=1，∴GE=，∴；∴∠O1EG=30°，∴∠AO1E=30°，同理∠BO2F=30°，∴阴影部分面积=S矩形ABO2O1﹣2S扇形AO1E﹣S梯形EFO2O1=3×1﹣2×=（2+3）×=3﹣﹣．考点：1.扇形面积的计算；2.矩形的性质．【即学即练4】（2021·江苏溧阳·九年级期中）如图，分别以等边三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为菜洛三角形，若等边三角形边长为3cm，则该莱洛三角形的面积为________．【答案】【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【详解】解：过A作AD⊥BC于D，∵AB=AC=BC=3，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD=，AD=BD=，∴△ABC的面积为BC•AD=，S扇形BAC=，∴莱洛三角形的面积S= cm2，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．【即学即练5】（2021·四川·成都市青羊实验中学八年级期中）如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝4，BC＝6时，则阴影部分的面积为 ___． 【答案】12【分析】根据勾股定理求得，由图形可得，阴影部分的面积为两小半圆与直角三角形的面积和减去大半圆的面积，即可求解．【详解】解：在中，，AC＝4，BC＝6 ∴则阴影部分的面积故答案为12【点睛】此题考查了不规则图形的面积，涉及了扇形面积的计算，解题的关键是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来求解．知识点03 圆锥的侧面展开图1）圆锥侧展开图与扇形的关系：圆锥的侧面展开是一个扇形，其半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。2）圆锥高h，母线l与半径r关系：r2+h2=l23）圆锥底面半径为r，母线长为l，底面周长为C，则侧面积S=4）圆锥全面积=侧面积+底面积=注：圆锥的相关公式难以记忆，建议牢记圆锥与侧面展开图的图形形式，并理解侧面展开图与扇形之间的关系。相关公式在解题过程中进行推导。【知识拓展】（2021·福建省福州第一中学九年级期中）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为10cm，则这个圆锥的全面积是（ ）A．60πcm2 B．75πcm2 C．100πcm2 D．125πcm2【答案】B【分析】先根据圆锥侧面积公式：求出圆锥的侧面积，再加上底面积即得答案．【详解】解：圆锥的侧面积，圆锥的底面积∴这个圆锥的全面积=．故选B．【点睛】本题考查了圆锥的全面积计算，属于基础题型，熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解答的关键．【即学即练1】（2021·广东黄埔·一模）已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角是180°，则圆锥的高是______．【答案】【分析】设圆锥的母线长为R cm，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π•5=，然后解方程即可得母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．【详解】解：设圆锥的母线长为R cm，根据题意得2π•5=，解得R=10．即圆锥的母线长为10cm，∴圆锥的高为：(cm)．故答案为：．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【即学即练2】（2021·广东越秀·九年级期末）已知一个圆锥体的三视图如图所示，将这个圆锥的侧面展开为扇形，则这个扇形的圆心角是_____．【答案】216°【分析】根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算．【详解】解：观察三视图得：圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，所以圆锥的母线长为5cm，，解得n=216°．故答案为：216°．【点睛】考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．【即学即练3】（2021·湖北·黄石八中九年级期中）一个圆锥侧面展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的底面积是 ___cm2．【答案】【分析】利用底面圆的周长＝侧面半圆的弧长即可求得圆锥的底面半径，进而可求得底面积．【详解】解：由题意可得：底面圆的周长＝侧面半圆的弧长，∴＝，解得：，∴底面积（cm2），故答案为：．【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与底面圆之间的关系是解决本题的关键．【即学即练4】（2021·山东禹城·九年级期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为（ ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可．【详解】解：根据题意得，解得，，即该圆锥母线的长为3cm．故选：C．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【即学即练5】（2021·河北宽城·九年级期末）在边长为1的正方形铁皮上剪下一个扇形（率径为R）和一个圆形（率径为r），使之恰好围成一个圆锥．嘉嘉说图1剪下的圆和扇形一定不可以围成一个圆锥，淇淇说图中剪下的圆和扇形有可能围成一个圆锥，还需要满足条件R=4r，则（ ） A．只有嘉嘉的说法正确 B．只有淇淇的说法正确C．两个人的说法均正确 D．两人的说法均不正确【答案】C【分析】根据图1可知正方形的边长为R，则可求出正方形的对角线长为，即R+2r=，当扇形的弧长等于底面圆（小圆）的周长时，剪下的圆和扇形才可以围成一个圆锥，根据扇形的弧长和圆的周长公式可以得到，代入R+2r=中，即可判断嘉嘉的说法是否正确；图11-2中正方形的边长不再是R，所以不再满足R+2r=，根据淇淇所说的，当R=4r时，可得扇形的弧长=2πr，即得到扇形的弧长等于小圆的周长，从而可判断淇淇的说法是否正确．【详解】解：由图1可知正方形的边长为R， ∴正方形的对角线=，∴R+2r=，∵l扇形=，C小圆=2πr，要使剪下的圆和扇形才可以围成一个圆锥，则扇形的弧长等于底面圆（小圆）的周长，∴，∴，将代入R+2r，得≠，∴图1剪下的圆和扇形一定不可以围成一个圆锥，∴嘉嘉说的对，∵图2中正方形的边长不再是R，∴不再满足R+2r=，当R=4r时，l扇形=，∵C小圆=2πr，∴l扇形= C小圆，∴淇淇说的对故选C．【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展开图．关键是理解扇形的弧长等于圆锥底面周长．【即学即练6】（2021·山东垦利·九年级期末）如图，已知圆锥底面半径为10cm，母线长为30cm，一只蚂蚁从A处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置A）所爬行的最短路径为_______________cm．【答案】【分析】把圆锥的侧面展开得到圆心角为120°，半径为30的扇形，求出扇形中120°的圆心角所对的弦长即为最短路径．【详解】解：圆锥的侧面展开如图：过作,设∠ASB＝n°，即：2π•10＝，得：n＝120，∴AB＝30，故答案为：30．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，特殊角的锐角三角函数值，将圆锥中的数据对应到展开图中是解题的关键．能力拓展题型1 正多边形有关计算解题技巧：正多边形的计算是，主要是多边形各元素间关系的转化与计算。主要方法为：连接正多边形的中心和顶点，并过中心作边的垂线，构造直角三角形，再利用相关几何知识计算求解。常用的几何知识有： = 1 \* GB3 ①勾股定理； = 2 \* GB3 ②垂径定理1．（2021·贵州贵阳·初三零模）正三角形的边心距、半径和高的比是( )A．1:2:3 B．1:: C．1::3 D．1:2:【答案】A【分析】如图，O为正△ABC的中心，AD为△ABC的边BC上的高，则OD为边心距，OA为半径，根据正三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质进行推导即可得.【详解】如图，O为正△ABC的中心，AD为△ABC的边BC上的高，则OD为边心距，OA为半径，∴∠BAD=30°，又∵AO=BO，∴∠ABO=∠BAD=30°，∴∠OBD=60°-30°=30°，在Rt△OBD中，BO=2DO，即AO=2DO，∴OD：OA：AD=1：2：3．故选A．【点睛】本题考查了等边三角形性质，正三角形的中心，含30度角的直角三角形等知识，根据题意画出图形，结合图形应用相关知识进行解答是关键.2．（2021·上海大学附属学校初三三模）正五边形绕着它的中心至少旋转( )度，能与它本身重合．A．36 B．60 C．72 D．45【答案】C【分析】如图（见解析），先根据正五边形的性质可得，正五边ABCDE至少旋转的度数为的度数，再根据正五边形的性质求解即可得．【解析】如图，由题意可知，所求的问题为的度数由正五边形的性质得：又. 故答案为：C．【点睛】本题考查了图形的旋转、正五边形的性质，理解题意，掌握正五边形的性质是解题关键．3．（2021·河北初三期中）已知正方形和正六边形边长均为1，把正方形放在正六边形中，使边与边重合，如图所示．按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点顺时针旋转，使边与边重合，完成第一次旋转；再绕点顺时针旋转，使边与边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点，间的距离可能是( )A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5【答案】C【分析】在第一次旋转中BM=1，在第二次旋转中BM=1，在第三次旋转中BM的长从1变化到，在第四次旋转中BM的长从2-变化到，在第五次旋转中BM的长从变化到1，在第六次旋转中BM=1，【解析】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2-小于等于1，故选C．【点睛】本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．4．（2020·上海交大附中初三）如图，是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为________．【答案】【分析】假设圆心为O，正五边形的内切圆与AB的切点为F，连接OA、OF，设OA=R，OF=，则根据切线定理、勾股定理及圆环的面积公式可直接求解．【解析】连接OA、OF，设OA=R，OF=；AB与⊙O相切，五边形ABCDE是正五边形，AB=1，，AF=在中，即又，．故答案为．【点睛】本题主要考查正多边形与圆的关系，熟练掌握正多边形的性质及圆的性质是解题的关键．5．（2021·广东省高州市教育局初三其他）如图，⊙Ｏ的半径为，正六边形内接于⊙Ｏ，则图中阴影部分面积为________．（结果保留）【答案】【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．【解析】解：如图所示：连接BO，CO， ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB=BC=CO=4，∠ABC=120°，△OBC是等边三角形，∴CO∥AB，在△COW和△ABW中，∴△COW≌△ABW（AAS）， ∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC=．故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，求出阴影部分面积=S扇形OBC是解题的关键．6．（2020·陕西师大附中初三一模）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，对角线CF和BE相交于点N，对角线DF与BE相交于点M，则MN＝_____．【答案】1【分析】根据正六边形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．【解析】∵正六边形ABCDEF的边长为2，且对角线CF和BE相交于点N，∴∠FNE=60°，∴△ENF是等边三角形，∴∠FNM=60°，FN=EF=2，∵对角线DF与BE相交于点M，∴∠FMN=90°，∴MN=FN=2=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了正多边形和圆，正六边形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．7．（2021·湖北硚口·）若正六边形的边长是 4，则其半径是_____，边心距是_____，面积是_____【答案】4 2 12 【分析】首先根据题意做出图形，可得△OBC为等边三角形，然后由三角函数的性质即可解答．【解析】解：如图所示，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，、因为六边形ABCDEF是正六边形，所以∠BOC=360°·=60°.∵OB=OC，即△OBC是等边三角形.∴OB=OC=BC=4，所以半径为4，边长为4.∵在直角三角形OBH中，OH=OB·sin60°=2.即边心距为2.S正六边形ABCDEF=6··4·=12.所以答案为4, 2 12.【点睛】本题考查了正六边形的性质，正多边形的内角和，等边三角形的判定等内容，掌握数形结合思想是解题的关键.8．（2021·江苏徐州·初三二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图所示，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1＝_____．（π取3.14，结果精确到0.01）【答案】0.14【分析】根据圆的面积公式得⊙O的面积S，再求得圆的内接正十二边形的面积S1，最后作差即可求解本题．【解析】过A作AC⊥OB，如下图所示：∵⊙O的半径为1，∴⊙O的面积，∵圆的内接正十二边形的中心角为，∴，∴圆的内接正十二边形的面积，∴，故填：0.14．【点睛】本题考查圆以及圆内接多边形面积，求解时按照对应面积公式，计算仔细即可，另外需注意按照题目要求保留小数点位数．题型2 弧长、扇形面积计算解题技巧：此类题型，需要紧紧抓公式．弧长l=2（理解：圆的周长扇形圆心角占整圆的比例）扇形面积S=（理解：圆的面积扇形圆心角占整圆的比例）推到得：扇形面积S＝12lR（理解：将扇形面积视为三角形面积，弧长径视为三角形的底，扇形的半径R视为三角形的高，面积为底高）解题步骤： = 1 \* GB3 ①根据题干要问题，确定要使用的公式； = 2 \* GB3 ②观察公式，确定未知量； = 3 \* GB3 ③根据题干和圆的相关特性，求解未知量； = 4 \* GB3 ④将未知量代入公式，完成计算。一、弧长有关计算1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级期中）已知扇形的面积为12πcm2，半径为6cm，则该扇形的圆心角是_____度．【答案】120【分析】设扇形圆心角的度数为n，由扇形的面积公式列方程即可求出圆心角．【详解】解：设扇形圆心角的度数为n，∵扇形的面积为12πcm2，，∴，∴n＝120°故答案为：120．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．扇形的面积公式为．2．（2021·北京四中九年级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径 88 米，最高点 A 距离地面 100 米，匀速运行一圈的时间是 18 分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过 34 米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为___________分钟．【答案】12【分析】先计算出圆的底端距离地面的距离为12，从而得到圆的底部到弦的距离为22，从而计算出弦所对的圆心角，用弧长公式计算劣弧的长，周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长，除以运动速度即可．【详解】如图所示，根据题意，得OC=44，CD=AD-AC=100-88=12，ED=34，∴CE=ED-CD=34-12=22，∴OE=OC-CE=44-22=22，在直角三角形OEF中，sin∠OFE=，∴∠OFE=30°，∴∠FOE=60°，∴∠FOB=120°，∴，∵圆转动的速度为，∴最佳观赏时长为（分钟），故答案为：12．【点睛】本题考查了垂径定理，弧长公式，特殊角的三角函数，熟练掌握弧长公式，灵活运用特殊角的三角函数是解题的关键．3．（2021·山东蒙阴·九年级期中）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点O为原点，点A，B的坐标分别是、．（1）将向下平移3个单位后得到，则点的坐标为________；（2）将绕点O逆时针旋转90°后得到，请在图中作出，并求出这时点的坐标为______；（3）在（2）中的旋转过程中，求出线段扫过的图形的弧长．【答案】（1）见解析，（1，0），（2）见解析，（﹣2，3）（3）【分析】（1）利用点平移的画出A1、B1、O1，然后顺次连接即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2即可；（3）先利用勾股定理计算出OA，然后根据弧长公式计算．【详解】解：（1）如图，△A1O1B1为所作，点B1的坐标为（1，0）；故答案为：（1，0）；（2）如图，△A2OB2为所作，点A2的坐标为（﹣2，3）；故答案为：（﹣2，3）； （3）如图，OA＝＝，而∠AOA2＝90°，所以线段OA扫过的弧长为＝＝．【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换和平移和弧长公式，解题关键是找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．4．（2021·广西·南宁三中九年级期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的；（2）画出绕点O顺时针旋转90°后得到的；（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路径长（结果保留）．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）分别作出点A、B关于x轴的对称点，然后依次连接即可；（2）根据旋转的性质分别作出点A、B绕点O旋转90°的点，然后依次连接即可；（3）由（2）可先根据勾股定理求出OA的长，然后根据弧长计算公式进行求解．【详解】解：（1）如图所示：即为所求，（2）如图所示：即为所求， （3）由（2）的图象可得：点A旋转到点所经过的路径为圆弧，∵∴点A旋转到点所经过的路径长为【点睛】本题主要考查旋转的性质、坐标与轴对称及弧长计算公式，熟练掌握旋转的性质、坐标与轴对称及弧长计算公式是解题的关键．5．（2021·新疆·乌市八中九年级期中）如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．（1）请作出把△ABC向下平移6个单位长度的图形△A′B′C′；（2）请作出把△ABC，绕着P顺时针旋转90°得到的图形△A′′B′′C′′（不要求写画法）；（3）请求出点C在题（2）中所经过的路径长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）C所经过的路径长为【分析】（1）根据平移的性质，画出对应的平移图形即可；（2）根据旋转的性质画出对应的旋转图形即可；（3）直接利用弧长公式进行求解即可．【详解】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求； （2）如图所示，△A′′B′′C′′即为所求；（3）如图所示，点C的运动轨迹即为，由题意得，，∴C所经过的路径长为．【点睛】本题主要考查了旋转作图，平移作图，弧长公式，解题的关键在于能够熟练掌握平移和旋转作图的方法．6．（2021·江苏·景山中学九年级期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．（1）画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD、CD．（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①以点O为原点、水平方向所在直线为x轴、竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，写出点的坐标：C ，D ；②⊙D的半径为 （结果保留根号）；③若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是 ． 【答案】（1）见解析；（2）①（6，2）（2，0）；② 2；③【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，然后作出弦AB的垂直平分线，以及BC的垂直平分线，两直线的交点即为圆心D，连接AD，CD；（2）①根据第一问画出的图形即可得出C及D的坐标；②在直角三角形AOD中，由OA及OD的长，利用勾股定理求出AD的长，即为圆O的半径；③求出∠ADC的度数，得弧ADC的周长，求出圆锥的底面半径即可．【详解】解：（1）根据题意画出相应的图形，如图所示： （2）①根据图形得：C（6，2），D（2，0）；②在Rt△AOD中，OA=4，OD=2，根据勾股定理得：AD=，则⊙D的半径为；③AC=，CD=，则AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°．扇形ADC的弧长=π，圆锥的底面的半径=．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理及逆定理，圆锥的底面的半径，利用了数形结合的思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．7．（2021·浙江金华·九年级期中）如图所示，已知AB是的直径，C，D是上的点，，交AD于点E，连结BC．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据直径所对的圆周角为，得出,由平行线的性质得，再利用垂径定理证明即可；（2）根据圆心角与圆周角的关系求出，再根据弧长公式解答即可．【详解】（1）是的直径，，，，即，；（2），，，圆的半径为5，．【点睛】此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式和垂径定理解答．二、扇形面积有关计算1．（2021·福建省福州第一中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1）B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）将△ABC绕着点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C，则A1坐标为 ，并在图中画出△A1B1C；（2）求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．【答案】（1）（2,4），图见解析；（2）．【分析】（1）分别作出三个顶点绕着点C按逆时针方向旋转90°得到的对应点，顺次连接可得；（2）先利用勾股定理求出线段BC，再根据扇形的面积计算公式进行计算即可．【详解】解：（1）如图所示：点A1坐标为（2,4），△A1B1C即为所求；故答案为：（2,4）；（2）∵A（﹣1，1）B（﹣3，1），C（﹣1，4），∴AC=3，AB=2，且AC⊥AB，由勾股定理得BC=，∴线段BC旋转过程中所扫过的面积为：．【点睛】本题主要考查旋转变换和扇形面积计算问题，熟练掌握旋转变换的定义和扇形面积计算公式是解题的关键．2．（2021·浙江龙泉·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC．（1）求证：∠A＝∠BCD；（2），∠B＝60°，求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据垂径定理可推出，再根据圆周角的性质即可证明；（2）首先在中求出的长度，然后确定是等边三角形，即可得到，从而利用扇形的面积公式求解即可．【详解】（1）∵直径，∴，∴；（2）∵，∴，∵，，∴，∵，，∴是等边三角形，∴，，∴，∴．【点睛】本题考查圆的垂径定理，扇形的面积计算，以及利用正弦函数求边长等，理解垂径定理，掌握基本的三角函数和扇形的面积公式是解题关键．3．（2021·福建省福州第八中学九年级期中）（1）如图，用尺规在原图上作出⊙O的内接等边△ABC；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图形中，若⊙O半径为6，求的长及扇形AOB的面积．【答案】（1）见解析；（2），．【分析】（1）首先作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B、C两点；连接AB、AC，那么△ABC为所求的三角形；（2）根据等边同弧所对圆周角是圆心角的一半，可得扇形的圆心角，利用弧长公式和扇形面积公式进行求解．【详解】（1）如图所示，△ABC即为所求．（2）如图所示：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∵AO＝BO＝6，∴，．【点睛】此题主要考查了复杂作图以及弧长公式计算方法以及扇形面积求法，正确掌握正三角形的性质是解题关键．4．（2021·浙江·翠苑中学九年级期中）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；（2）若半径R＝6，弧BC的度数为120°，则扇形BOC的面积为 ；（保留π）（3）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径R．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）作线段AB和线段AC的垂直平分线，交点即为圆心O；（2）连接OC、OB，利用扇形面积公式直接计算即可得到答案；（3）连接CB，交AO于点D，根据垂径定理得到BD=4，利用勾股定理求出AD，在△BOD中，由勾股定理得到，，求解即可．【详解】解：（1）如图；（2）连接OC、OB，∵OC=OB=R＝6，∠BOC=120°，扇形BOC的面积为，故答案为：；（3）连接CB，交AO于点D，∵BC=8，∴BD=4，∵AB=5，∴AD==3，∵OB=OA=R，∴OD=R-3，在△BOD中，，∴，解得，∴该轮的半径为．【点睛】此题考查圆的知识—垂径定理，扇形的面积公式，作圆心，以及勾股定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂径定理及勾股定理、线段垂直平分线的性质是解题的关键．5．（2021·浙江·杭州市九年级期中）如图，⊙O是以坐标原点O为圆心，为半径的圆，点P的坐标为（2，2），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）A．8π B． C．8π﹣16 D．【答案】D【分析】由题意当OP⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，求出A'B'的长，∠A'OB'的大小即可解决问题．【详解】解：由题意当OP⊥A'B'时，阴影部分的面积最小， ∵P（2，2），∴OP==2 ，∵OA'=OB'=， ∴PA'=PB'= ， ∴tan∠A'OP=tan∠B'OP== ，∴∠A'OP=∠B'OP=60°，∴∠A'OB'=120°， ∴S阴=S扇形OA'B'-S△A'OB''= ，故答案为：D．【点睛】本题考查扇形的面积的计算、勾股定理以及垂径定理等知识，解题的关键是理解当OP⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，属于中考常考题型．6．（2021·浙江·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）九年级期中）如图，⊙O半径为10cm，AB是⊙O的一条弦且∠AOB=60°，求图中阴影部分的面积．【答案】【分析】作于点C．结合题意根据圆的基本性质即可证明为等边三角形，即可得出，．再利用含角的直角三角形的性质和勾股定理即可求出OC的长，即可求出．利用扇形的面积公式可求出，最后由即可求出答案．【详解】如图，作于点C．由圆的基本性质可知，∵，∴为等边三角形，∴，．在中，，∴，∴，∴．∵，∴．【点睛】本题考查圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理以及扇形的面积公式．作出常用的辅助线是解答本题的关键．题型3 圆锥侧面积有关计算圆锥侧面展开是扇形，扇形半径R为圆锥的母线长，扇形弧长为圆锥底面圆的周长，在求解圆锥问题时，需理清这两个关系，再按照扇形公式进行求解．解题步骤： = 1 \* GB3 ①根据题干要问题，确定要使用的公式； = 2 \* GB3 ②观察公式，确定未知量； = 3 \* GB3 ③根据题干和圆的相关特性，求解未知量； = 4 \* GB3 ④将未知量代入公式，完成计算。1．（2021·云南·昆明市第三中学九年级期中）把一个有两边长为3、4的直角三角形，绕其较短的直角边旋转后得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积是（ ）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】分两直角边分别为3、4和4为斜边，3为直角边两种情况，求出圆锥母线，再计算侧面积．【详解】解：∵直角三角形两边长分别为3、4，当两直角边分别为3、4时，则旋转得到的圆锥中底面半径为4，高为3，∴圆锥母线长为=5，∴侧面积为：=；当4为斜边，3为直角边时，另一条直角边为=，则旋转得到的圆锥中底面半径为3，高为，∴圆锥母线长为4，∴侧面积为：=；故选：A．【点睛】本题考查了圆锥的计算，旋转得到几何体，要注意根据题意分类讨论．2．（2021·内蒙古初三二模）将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开 若不考虑接缝，它是一个半径为12cm，圆心角为的扇形，则 A．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为8cm B．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为6cmC．圆锥形冰淇淋纸套的高为 D．圆锥形冰淇淋纸套的高为【答案】C【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，列出方程即可求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理即可求出圆锥的高．【解析】解：解：半径为12cm，圆心角为120°的扇形弧长是：（cm）设圆锥的底面半径是r（cm）则：2πr=8π，解得：r=4即个圆淋的底面半径是4cm；圆锥形冰淇淋纸套的高为（cm）．故答案为C．【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算，掌握圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是解答本题的关键．3．（2021·四川德阳·中考真题）已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（ ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1=2π，设圆心角的度数是n度，则=2π，解得：n=120．故选：C．【点睛】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．4．（2021·四川广安二中初三期末）如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上，剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C都在圆周上，将剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ）A．3 cm B．2cm C．6cm D．12cm【答案】A【分析】圆的半径为12，求出AB的长度，用弧长公式可求得的长度，圆锥的底面圆的半径＝圆锥的弧长÷2π．【解析】AB＝cm，∴∴圆锥的底面圆的半径＝÷（2π）＝3cm．故选A．【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．5．（2020·辽宁大洼·初三二模）如图，从一圆形纸片上剪出一个半径为R、圆心角为90°的扇形；和一半径为的圆，使之恰好围成如图所示的圆锥，则R与的关系为（ ）A．R=2 B．R=4 C．R=2 D．R=6 【答案】B【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算即可得答案．【解析】扇形的弧长是：=，圆的半径为r，则底面圆的周长是，∵恰好围成如图所示的圆锥，∴=，∴R=4r，故选：B．【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．6．（2021·山东东营·初三一模）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（ ）A．8 B．11 C．10 D．9【答案】B【分析】设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n．利用弧长公式构建方程求出n的值，连结AC，过B作BD⊥AC于D，求出AC的长即可判断；【详解】解：设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n． 底面圆的周长等于： 解得：n=120°； 连结AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD=60°． AB=6， BD=3， ∴ AC=2AD=，即这根绳子的最短长度是， 故这根绳子的长度可能是11， 故选：B．【点睛】此题考查了圆锥的计算，勾股定理的应用，含30°角的直角三角形，解题的关键是记住圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．7.（2020·山东·日照市新营中学九年级期中）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4），B（-4，4）、C（-6，2），请在网格图中进行如下操作：（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为_____________；（2）连接AD、CD，则的半径长为______（结果保留根号），的度数为___________；（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长．（结果保留根号）【答案】（1）（−2，0）；（2）2；90°；（3）【分析】（1）利用网格特点，作BC和AB的垂直平分线，它们的交点为D，从而得到D点坐标；（2）利用勾股定理求出AD得到⊙D的半径长，利用勾股定理的逆定理可得到△ACD为直角三角形，从而得到∠ADC的度数为90°；（3）设该圆锥的底面圆的半径长为r，利用弧长公式得到，然后解方程即可．【详解】解：（1）如图作BC和AB的垂直平分线，它们的交点为D，则点D即为该圆弧所在圆的圆心，由图可知点D的坐标为（−2，0）；（2）如图，AD＝ ，即⊙D的半径长为2，∵AD＝CD＝2，AC＝ ，∵ ，∴，∴△ACD为直角三角形，∠ADC的度数为90°；故答案为2；90°；（3）设该圆锥的底面圆的半径长为r，根据题意得，解得r＝，即该圆锥的底面圆的半径长为．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了垂径定理和勾股定理．熟练掌握圆锥底面的周长及垂径定理和勾股定理是解题关键．题型4 不规则图形面积1、割补法解题技巧：将不规则图形的面积转化为几个已知图形的面积的和与差的形式。2、等积变换解题技巧：利用平行线间距离处处相等的性质，可将不规则图形等积转换处理。基本图形如下，3、图形变换解题技巧：通过平移，将一般图形转化为特殊图形。1．（2020黑龙江省大庆市）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=103，一圆弧过点B和点C，且与AD相切，则图中阴影部分面积为______________．【答案】．【解析】设圆弧的圆心为O，与AD切于E，连接OE交BC于F，连接OB、OC，设圆的半径为x，则OF=x﹣5，由勾股定理得，OB2=OF2+BF2，即x2=(x-5)2+(53)2，解得，x=5，则∠BOF=60°，∠BOC=120°，则阴影部分面积为：矩形ABCD的面积﹣（扇形BOCE的面积﹣△BOC的面积）==．故答案为：．2．（2021·甘肃初三期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：∵D为AB的中点，∴BC=BD=AB，∴∠A=30°，∠B=60°．∵AC=，∴BC=AC•tan30°==2，∴S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD==．故选A．【点睛】本题考查解直角三角形和扇形面积的计算，掌握公式正确计算是本题的解题关键．3．（2020·广西初三）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm2．【答案】【分析】根据直角三角形的性质求出OC、BC，根据扇形面积公式计算即可．【解析】解：∵∠BOC=60°，∠BCO=90°，∴∠OBC=30°，∴OC=OB=1则边BC扫过区域的面积为：故答案为．【点睛】考核知识点：扇形面积计算.熟记公式是关键.4．（2020·四川中考真题）如图，一个半径为1的⊙O1经过一个半径为的⊙O的圆心，则图中阴影部分的面积为（ ）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】解：如图，⊙O的半径为，⊙O1的半径为1，点O在⊙O1上，连接OA，OB，OO1，∵OA=，O1A=O1O=1，则有（）2=12+12，∴OA2=O1A2+O1O2，∴△OO1A为直角三角形，∴∠AOO1=45°，同理可得∠BOO1=45°，∴∠AOB=90°，∴AB为⊙O1的直径，∴S阴影部分=S半圆AB﹣S弓形AB=S半圆AB﹣（S扇形OAB﹣S△OAB）=S半圆AB﹣S扇形OAB+S△OAB=π×12﹣ +××=1．故选A．点睛：本题主要考查了相交两圆的性质以及扇形面积的计算，解题的关键是正确作出辅助线，此题有一定的难度．5．（2021·湖南初三）如图，在矩形 中，是边上一点，连接，将矩形沿翻折，使点落在边上点处，连接.在上取点，以点为圆心，长为半径作⊙与相切于点.若，，给出下列结论:①是的中点;②⊙的半径是2; ③;④.其中正确的是________.(填序号)【答案】①②④．【解析】①∵AF是AB翻折而来，∴AF=AB=6．∵AD=BC=，∴DF==3，∴F是CD中点；∴①正确；②连接OP，∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD．∵AD⊥DC，∴OP∥CD，∴，设OP=OF=x，则，解得：x=2，∴②正确；③∵Rt△ADF中，AF=6，DF=3，∴∠DAF=30°，∠AFD=60°，∴∠EAF=∠EAB=30°，∴AE=2EF．∵∠AFE=90°，∴∠EFC=90°﹣∠AFD=30°，∴EF=2EC，∴AE=4CE，∴③错误；④连接OG，作OH⊥FG，∵∠AFD=60°，OF=OG，∴△OFG为等边△．同理△OPG为等边△，∴∠POG=∠FOG=60°，OH=OG=，S扇形OPG=S扇形OGF，∴S阴影=（S矩形OPDH﹣S扇形OPG﹣S△OGH）+（S扇形OGF﹣S△OFG）=S矩形OPDH﹣S△OFG==，∴④正确；故答案为①②④．6．（2021·天津市第九十中学初三）如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD∥AB，连接AC、AD、OD，其中AC=CD，过点B的切线交CD的延长线于E．（1）求证：DA平分∠CDO；（2）若AB=12，求图中阴影部分的周长之和（参考数据：π=3.1，=1.4，=1.7）．【答案】（1）证明见解析；（2）26.5．【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠CDA=∠DAO，∠DAO=∠ADO，即可证得结论；（2）易证∠CDA=∠BAD=∠CAD，可得，再证明∠DOB=60°，即可得△BOD是等边三角形，由此即可解决问题．【解析】解：（1）∵CD∥AB，∴∠CDA=∠BAD，又∵OA=OD，∴∠ADO=∠BAD，∴∠ADO=∠CDA，∴DA平分∠CDO．（2）如图，连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，又∵CD∥AB，∴∠CDA=∠BAD，∴∠CDA=∠BAD=∠CAD，∴，又∵∠AOB=180°，∴∠DOB=60°，∵OD=OB，∴△DOB是等边三角形，∴BD=OB=AB=6，∵，∴AC=BD=6，∵BE切⊙O于B，∴BE⊥AB，∴∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=30°，∵CD∥AB，∴BE⊥CE，∴DE=BD=3，BE=BD×cos∠DBE=6×=3，∴的长==2π，∴图中阴影部分周长之和为2π+6+2π+3+3=4π+9+3=4×3.1+9+3×1.7=26.5．【点睛】本题考查切线的性质；弧长的计算．题型5 最短距离解题技巧：圆锥侧面是立体图形，求两点之间的最短距离不好处理。解决此类问题，需要将圆锥的侧面展开成扇形，则将立体图形转化为平面图形。平面图形上，两点之间的连线最短。1．（2020·江苏·苏州市平江中学校九年级月考）如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）A．3 B．4 C． D．2【答案】B【分析】易得弧BC的长，然后求得弧BC所对的圆心角的度数，从而得到直角三角形，利用勾股定理求得CD的长即可．【详解】解：如图:∵，∴设弧所对的圆心角的度数为n，∴，解得，∴，∴．故选：B．【点睛】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．解题的关键是理解并掌握圆锥的弧长等于底面周长．2．（2020·广东·东莞外国语学校九年级期中）如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为，一只小虫在圆线底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短路程为___________（结果保留根号）【答案】6【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角，求出侧面展开图中两点间的距离即为最短距离．【详解】∵底面圆的半径为，∴圆锥的底面周长为2×＝3，设圆锥的侧面展开图的圆心角为n．∴，解得n＝90°，如图，AA′的长就是小虫所走的最短路程，∵∠O=90°，OA′=OA=6，∴AA′＝．故答案为：6．【点睛】本题考查了圆锥的计算，考查圆锥侧面展开图中两点间距离的求法；把立体几何转化为平面几何来求是解决本题的突破点．3．（2020·内蒙古凉城县宏远中学九年级期中）如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（ ）A．10 B．12 C．14 D．20【答案】A【分析】由于圆柱的高为12cm，S为BC的中点，故BS＝6cm，先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长．【详解】解：沿着S所在的母线展开，如图，连接AS，则AB＝×16＝8，BS＝BC＝6， 在Rt△ABS中，根据勾股定理AB2＋BS2＝AS2，即82＋62＝AS2，解得AS＝10． ∵A，S两点之间线段AS最短，∴点A到点S移动的最短距离为AS＝10cm．故选：A．【点睛】本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．4.（2021·石嘴山市第八中学初三一模）如图所示是一个几何体的三视图．(1)写出这个几何体的名称；(2)根据图中数据计算这个几何体的表面积；(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体上的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这条路线的最短路程．【答案】（1）圆锥；（2）16π；（3）3【分析】（1）由该几何体的三视图可知，这个几何体是：圆锥；（2）由图中数据可知，这个圆锥的底面半径为2，母线长为6，这样根据S表=S侧+S底即可计算出该圆锥的表面积；（3）如下图，将圆锥的侧面沿母线AB展开得到扇形ABB′，则由题意可知点C′为的中点，点D′为半径AC′的中点，连接BC′，BD′，则BD′的长为所求的最短路程，这样结合已知条件求出BD′的长即可.【解析】解：（1）由该几何体的三视图可知：这个几何体是圆锥；（2）由图中数据可知：这个圆锥的底面半径为2，母线长为6，∴S表＝S侧＋S底＝π r l＋π r2＝12π＋4π＝16π(cm2)；（3）如下图所示，将圆锥侧面沿AB展开，则图中线段BD′为所求最短路程．设∠BAB′的度数为n，则由可得：，解得：，∵点C′为的中点，∴∠BAC′=60°，又∵AB=AC′，∴△ABC′是等边三角形，又∵D′是AC′的中点，∴∠AD′B=90°，∴sin∠BAD′=，∴BD′=AB·sin60°=6×=（cm），∴蚂蚁爬行的最短路程是cm.分层提分题组A 基础过关练1.如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的圆心O到BC的距离OM和弧BC的长分别为（ ）、 B．、 C．、 D．、 【答案】B【解析】正六边形的中心角是60°，解直角三角形即可得。2.已知圆锥的侧面积是8πcm2，若圆锥底面半径为R（cm），母线长为l（cm），则R关于l的函数图象大致是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，×2πR×l=8π，则R=，故选：A．3.如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（ ）A．2π B． C． D．【答案】D【解析】如图，连接CO，∵∠BAC=50°，AO=CO=3，∴∠ACO=50°，∴∠AOC=80°，∴劣弧AC的长为=，故选：D．4.如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（ ）A． 2 B． C．πm2 D．2πm2【答案】A【解析】解： 连接AC，∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC，∵AB2+BC2=22，∴AB=BC=m，∴阴影部分的面积是=（m2），故选：A．5.已知：如图,△ABC是⊙O的内接等腰三角形,顶角∠BAC=36°，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形。【解析】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠BAC=36∘，∴∠ABC=∠ACB=72∘.又∵BD、CE平分∠ABC、∠ACB.∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABD=∠DBC=36°∴易证五边形AEBCD为正五边形题组B 能力提升练1.如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（ ）A. B.2 C.2 D.3【答案】B【解析】根据圆内接多边形的中心角度数，结合解直角三角形即可得。2.如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（ ）A． B．2π C．3π D．6π【答案】C【解析】∵在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，∴∠C=120°，∴图中阴影部分的面积是： =3π，故选：C．3.如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ）A．（30+5）πm2 B．40πm2 C．（30+5）πm2 D．55πm2【答案】A【解析】设底面圆的半径为R，则πR2=25π，解得R=5，圆锥的母线长==，所以圆锥的侧面积=•2π•5•=5π；圆柱的侧面积=2π•5•3=30π，所以需要毛毡的面积=（30π+5π）m2．故选：A．4.如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）A．12π+18 B．12π+36 C．6 D．6【答案】C【解析】如图，连接OD，AD，∵点C为OA的中点，∴OC=OA=OD，∵CD⊥OA，∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，∴△ADO为等边三角形，OD=OA=12，OC=CA=6，∴CD=，6，∴S扇形AOD==24π，∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形AOD﹣S△COD）=﹣﹣（24π﹣×6×6）=18+6π．故选：C．题组C 培优拔尖练1.如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8【答案】A【解析】利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF的面积﹣△ABD的面积=﹣×4×2=4π﹣4，故选：A．2.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）A． B． C．2 D．2【答案】D【解析】过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD=1，AD=BD=，∴△ABC的面积为=，S扇形BAC==π，∴莱洛三角形的面积S=3×π﹣2×=2π﹣2，故选：D．3.如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为 cm2．【解析】∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°，∵AB=2cm，∴OB=1cm，OC′=，∴B′C′=，∴S扇形B′OB==π，S扇形C′OC==，∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC=S扇形B′OB﹣S扇形C′OC=π﹣=π；故答案为：π．4.如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图①中∠APN的度数（写出解题过程）；（2）写出图②中∠APN的度数和图 ③中∠APN的度数 （ 3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）【解析】(1）∠APN = 60°.因为∠APN=∠ABP+∠BAP有因为点M、N以相同的速度中⊙O上逆时针运动．所以弧AN=弧CM ∠ABN=∠MAC所以∠APN=∠BAP+∠MAC即∠APN=∠BAC=60°(2）按(1）的思路可得：图2中，∠APN的度数为90°；图3中，∠APN的度数为108°． (3）则∠APN的度数=所在多边形的内角度数=(n-2）*180/n°
第11讲 正多边形与圆及圆的相关计算目标导航知识精讲知识点01 正多边形与圆的相关概念、正多边形中各元素间的关系1）正多边形：各边、各角都相等的多边形注：正多边形必须同时满足2个条件： = 1 \* GB3 ①每一条边都相等； = 2 \* GB3 ②每一个角都相等2）正多边形的中心：正多边形外接圆的圆心；正多边形的半径：正多边形外接圆的半径正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角3）正多边形都是轴对称图形，共有n条对称轴，每条对称轴都经过它的中心，当n为偶数时，正n边形还是中心对称图形。 4）设正多边形的边长为an，半径为R，边心距为rn，中心角为；则有关系：5）正多边形的一些关系： = 1 \* GB3 ①正n边形的中线角； = 2 \* GB3 ②正n边形的周长Pn=nan； = 3 \* GB3 ③正n边形的面积【知识拓展】（2021·四川龙泉驿·九年级期末）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠COD的度数是____．【答案】72°【分析】根据正多边形的中心角的计算公式： 计算即可．【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为 ＝72°，故答案为：72°．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．【即学即练1】（2021·河北怀安·初三期末）如图，正六边形内接于圆，圆半径为2，则六边形的边心距的长为（ ）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】连接OB、OC，证明△OBC是等边三角形，得出即可求解．【解析】解：连接OB、OC，如图所示：则∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=2，∵OM⊥BC，∴△OBM为30°、60°、90°的直角三角形，∴，故选：D．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键．【即学即练2】（2021·山东龙口·九年级期末）如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（ ）A．30° B．32° C．36° D．40°【答案】C【分析】连接OA，OE，由圆的内切正多边形先得到中心角的度数，由圆周角定理即可求得∠ADE的度数．【详解】如上图所示，连接OA，OE∵五边形ABCDE是正五边形∴∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆∴故选：C．【点睛】本题主要考查圆的内切正多边形及圆周角定理，熟练掌握相关角度的计算方法是解决本题的关键．知识点02 弧长、扇形和弓形的相关公式1）弧长l与n°圆心角的关系：l=2，公式不可强记，通过比例关系推导：弧长l=圆的周长×n掳360掳（n°圆心角的弧所占整个圆的比例）即：l=22）扇形面积S与n°圆心角的关系：S=扇形面积S=圆的面积×n掳360掳（比例）即：S=3）弧长和扇形面积合并，推导得：S=12lR； S=2（便于记忆，可理解为三角形面积公式，l—底；R—高）4）弓形面积可以看作使扇形面积和三角形面积的分解与组合，实际应用时，可根据图形直接选用下列公式： = 1 \* GB3 ①当弓形所含的弧是劣弧时有： = 2 \* GB3 ②当弓形所含的弧时优弧时有：【知识拓展】（2021·北京市昌平区第四中学期中）一个扇形的半径为6cm，圆心角为90°，则这个扇形的弧长为_______，这个面积为_____．【答案】 【分析】直接根据弧长计算公式和扇形面积公式计算求解即可．【解析】解：由题意得： ，．故答案为；．【点睛】本题主要考查弧长及扇形面积计算公式，关键是熟练掌握计算公式．【即学即练1】（2021·重庆·西南大学附中九年级期中）如图，在矩形ABCD中，，，点O为BC的中点，以点O为圆心，OC长为半径作半圆与BD相交于点E，则图中阴影部分的面积是__________．【答案】【分析】连接OE、EC，用△BCD的面积减去△BOE和扇形OEC的面积即可．【详解】解：连接OE、EC，∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∵，，∴，，∠EOC=60°，BD=2CD，，，，，，，，图中阴影部分的面积是．【点睛】本题考查了扇形面积和勾股定理，圆周角的性质，解题关键是熟记相关公式，准确进行计算．【即学即练2】（2021·广西·三美学校九年级期中）已知，如图，扇形AOB中，，，若以点A为圆心，AO长为半径画弧交弧AB于点C，过点C作，垂足为点D，则图中阴影部分的面积为______．【答案】【分析】连接OC，AC，证明三角形AOC是等边三角形，确定阴影部分的面积为计算即可．【详解】连接OC，AC，∵OC=OA=AC=4，∴△AOC是等边三角形，∴∠OCA=∠OAC=60°，∵，∴∠OCD=∠ACD=30°，∴OD=2，CD=，∴阴影部分的面积为：==，故答案为：．【点睛】本题考查了扇形的面积，勾股定理，等边三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握扇形面积公式，灵活运用分割法计算是解题的关键．【即学即练3】（2021·广东省初三期末）如图，已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆O1和半圆O2，一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F，且EF=2（EF与AB在圆心O1和O2的同侧），则由，EF，，AB所围成图形（图中阴影部分）的面积等于 ．【答案】﹣．【解析】连接O1O2，O1E，O2F，则四边形O1O2FE是等腰梯形，过E作EG⊥O1O2，过F⊥O1O2，∴四边形EGHF是矩形，∴GH=EF=2，∴O1G=，∵O1E=1，∴GE=，∴；∴∠O1EG=30°，∴∠AO1E=30°，同理∠BO2F=30°，∴阴影部分面积=S矩形ABO2O1﹣2S扇形AO1E﹣S梯形EFO2O1=3×1﹣2×=（2+3）×=3﹣﹣．考点：1.扇形面积的计算；2.矩形的性质．【即学即练4】（2021·江苏溧阳·九年级期中）如图，分别以等边三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为菜洛三角形，若等边三角形边长为3cm，则该莱洛三角形的面积为________．【答案】【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【详解】解：过A作AD⊥BC于D，∵AB=AC=BC=3，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD=，AD=BD=，∴△ABC的面积为BC•AD=，S扇形BAC=，∴莱洛三角形的面积S= cm2，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．【即学即练5】（2021·四川·成都市青羊实验中学八年级期中）如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝4，BC＝6时，则阴影部分的面积为 ___． 【答案】12【分析】根据勾股定理求得，由图形可得，阴影部分的面积为两小半圆与直角三角形的面积和减去大半圆的面积，即可求解．【详解】解：在中，，AC＝4，BC＝6 ∴则阴影部分的面积故答案为12【点睛】此题考查了不规则图形的面积，涉及了扇形面积的计算，解题的关键是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来求解．知识点03 圆锥的侧面展开图1）圆锥侧展开图与扇形的关系：圆锥的侧面展开是一个扇形，其半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。2）圆锥高h，母线l与半径r关系：r2+h2=l23）圆锥底面半径为r，母线长为l，底面周长为C，则侧面积S=4）圆锥全面积=侧面积+底面积=注：圆锥的相关公式难以记忆，建议牢记圆锥与侧面展开图的图形形式，并理解侧面展开图与扇形之间的关系。相关公式在解题过程中进行推导。【知识拓展】（2021·福建省福州第一中学九年级期中）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为10cm，则这个圆锥的全面积是（ ）A．60πcm2 B．75πcm2 C．100πcm2 D．125πcm2【答案】B【分析】先根据圆锥侧面积公式：求出圆锥的侧面积，再加上底面积即得答案．【详解】解：圆锥的侧面积，圆锥的底面积∴这个圆锥的全面积=．故选B．【点睛】本题考查了圆锥的全面积计算，属于基础题型，熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解答的关键．【即学即练1】（2021·广东黄埔·一模）已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角是180°，则圆锥的高是______．【答案】【分析】设圆锥的母线长为R cm，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π•5=，然后解方程即可得母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．【详解】解：设圆锥的母线长为R cm，根据题意得2π•5=，解得R=10．即圆锥的母线长为10cm，∴圆锥的高为：(cm)．故答案为：．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【即学即练2】（2021·广东越秀·九年级期末）已知一个圆锥体的三视图如图所示，将这个圆锥的侧面展开为扇形，则这个扇形的圆心角是_____．【答案】216°【分析】根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算．【详解】解：观察三视图得：圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，所以圆锥的母线长为5cm，，解得n=216°．故答案为：216°．【点睛】考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．【即学即练3】（2021·湖北·黄石八中九年级期中）一个圆锥侧面展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的底面积是 ___cm2．【答案】【分析】利用底面圆的周长＝侧面半圆的弧长即可求得圆锥的底面半径，进而可求得底面积．【详解】解：由题意可得：底面圆的周长＝侧面半圆的弧长，∴＝，解得：，∴底面积（cm2），故答案为：．【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与底面圆之间的关系是解决本题的关键．【即学即练4】（2021·山东禹城·九年级期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为（ ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可．【详解】解：根据题意得，解得，，即该圆锥母线的长为3cm．故选：C．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【即学即练5】（2021·河北宽城·九年级期末）在边长为1的正方形铁皮上剪下一个扇形（率径为R）和一个圆形（率径为r），使之恰好围成一个圆锥．嘉嘉说图1剪下的圆和扇形一定不可以围成一个圆锥，淇淇说图中剪下的圆和扇形有可能围成一个圆锥，还需要满足条件R=4r，则（ ） A．只有嘉嘉的说法正确 B．只有淇淇的说法正确C．两个人的说法均正确 D．两人的说法均不正确【答案】C【分析】根据图1可知正方形的边长为R，则可求出正方形的对角线长为，即R+2r=，当扇形的弧长等于底面圆（小圆）的周长时，剪下的圆和扇形才可以围成一个圆锥，根据扇形的弧长和圆的周长公式可以得到，代入R+2r=中，即可判断嘉嘉的说法是否正确；图11-2中正方形的边长不再是R，所以不再满足R+2r=，根据淇淇所说的，当R=4r时，可得扇形的弧长=2πr，即得到扇形的弧长等于小圆的周长，从而可判断淇淇的说法是否正确．【详解】解：由图1可知正方形的边长为R， ∴正方形的对角线=，∴R+2r=，∵l扇形=，C小圆=2πr，要使剪下的圆和扇形才可以围成一个圆锥，则扇形的弧长等于底面圆（小圆）的周长，∴，∴，将代入R+2r，得≠，∴图1剪下的圆和扇形一定不可以围成一个圆锥，∴嘉嘉说的对，∵图2中正方形的边长不再是R，∴不再满足R+2r=，当R=4r时，l扇形=，∵C小圆=2πr，∴l扇形= C小圆，∴淇淇说的对故选C．【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展开图．关键是理解扇形的弧长等于圆锥底面周长．【即学即练6】（2021·山东垦利·九年级期末）如图，已知圆锥底面半径为10cm，母线长为30cm，一只蚂蚁从A处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置A）所爬行的最短路径为_______________cm．【答案】【分析】把圆锥的侧面展开得到圆心角为120°，半径为30的扇形，求出扇形中120°的圆心角所对的弦长即为最短路径．【详解】解：圆锥的侧面展开如图：过作,设∠ASB＝n°，即：2π•10＝，得：n＝120，∴AB＝30，故答案为：30．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，特殊角的锐角三角函数值，将圆锥中的数据对应到展开图中是解题的关键．能力拓展题型1 正多边形有关计算解题技巧：正多边形的计算是，主要是多边形各元素间关系的转化与计算。主要方法为：连接正多边形的中心和顶点，并过中心作边的垂线，构造直角三角形，再利用相关几何知识计算求解。常用的几何知识有： = 1 \* GB3 ①勾股定理； = 2 \* GB3 ②垂径定理1．（2021·贵州贵阳·初三零模）正三角形的边心距、半径和高的比是( )A．1:2:3 B．1:: C．1::3 D．1:2:【答案】A【分析】如图，O为正△ABC的中心，AD为△ABC的边BC上的高，则OD为边心距，OA为半径，根据正三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质进行推导即可得.【详解】如图，O为正△ABC的中心，AD为△ABC的边BC上的高，则OD为边心距，OA为半径，∴∠BAD=30°，又∵AO=BO，∴∠ABO=∠BAD=30°，∴∠OBD=60°-30°=30°，在Rt△OBD中，BO=2DO，即AO=2DO，∴OD：OA：AD=1：2：3．故选A．【点睛】本题考查了等边三角形性质，正三角形的中心，含30度角的直角三角形等知识，根据题意画出图形，结合图形应用相关知识进行解答是关键.2．（2021·上海大学附属学校初三三模）正五边形绕着它的中心至少旋转( )度，能与它本身重合．A．36 B．60 C．72 D．45【答案】C【分析】如图（见解析），先根据正五边形的性质可得，正五边ABCDE至少旋转的度数为的度数，再根据正五边形的性质求解即可得．【解析】如图，由题意可知，所求的问题为的度数由正五边形的性质得：又. 故答案为：C．【点睛】本题考查了图形的旋转、正五边形的性质，理解题意，掌握正五边形的性质是解题关键．3．（2021·河北初三期中）已知正方形和正六边形边长均为1，把正方形放在正六边形中，使边与边重合，如图所示．按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点顺时针旋转，使边与边重合，完成第一次旋转；再绕点顺时针旋转，使边与边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点，间的距离可能是( )A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5【答案】C【分析】在第一次旋转中BM=1，在第二次旋转中BM=1，在第三次旋转中BM的长从1变化到，在第四次旋转中BM的长从2-变化到，在第五次旋转中BM的长从变化到1，在第六次旋转中BM=1，【解析】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2-小于等于1，故选C．【点睛】本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．4．（2020·上海交大附中初三）如图，是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为________．【答案】【分析】假设圆心为O，正五边形的内切圆与AB的切点为F，连接OA、OF，设OA=R，OF=，则根据切线定理、勾股定理及圆环的面积公式可直接求解．【解析】连接OA、OF，设OA=R，OF=；AB与⊙O相切，五边形ABCDE是正五边形，AB=1，，AF=在中，即又，．故答案为．【点睛】本题主要考查正多边形与圆的关系，熟练掌握正多边形的性质及圆的性质是解题的关键．5．（2021·广东省高州市教育局初三其他）如图，⊙Ｏ的半径为，正六边形内接于⊙Ｏ，则图中阴影部分面积为________．（结果保留）【答案】【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．【解析】解：如图所示：连接BO，CO， ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB=BC=CO=4，∠ABC=120°，△OBC是等边三角形，∴CO∥AB，在△COW和△ABW中，∴△COW≌△ABW（AAS）， ∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC=．故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，求出阴影部分面积=S扇形OBC是解题的关键．6．（2020·陕西师大附中初三一模）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，对角线CF和BE相交于点N，对角线DF与BE相交于点M，则MN＝_____．【答案】1【分析】根据正六边形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．【解析】∵正六边形ABCDEF的边长为2，且对角线CF和BE相交于点N，∴∠FNE=60°，∴△ENF是等边三角形，∴∠FNM=60°，FN=EF=2，∵对角线DF与BE相交于点M，∴∠FMN=90°，∴MN=FN=2=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了正多边形和圆，正六边形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．7．（2021·湖北硚口·）若正六边形的边长是 4，则其半径是_____，边心距是_____，面积是_____【答案】4 2 12 【分析】首先根据题意做出图形，可得△OBC为等边三角形，然后由三角函数的性质即可解答．【解析】解：如图所示，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，、因为六边形ABCDEF是正六边形，所以∠BOC=360°·=60°.∵OB=OC，即△OBC是等边三角形.∴OB=OC=BC=4，所以半径为4，边长为4.∵在直角三角形OBH中，OH=OB·sin60°=2.即边心距为2.S正六边形ABCDEF=6··4·=12.所以答案为4, 2 12.【点睛】本题考查了正六边形的性质，正多边形的内角和，等边三角形的判定等内容，掌握数形结合思想是解题的关键.8．（2021·江苏徐州·初三二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图所示，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1＝_____．（π取3.14，结果精确到0.01）【答案】0.14【分析】根据圆的面积公式得⊙O的面积S，再求得圆的内接正十二边形的面积S1，最后作差即可求解本题．【解析】过A作AC⊥OB，如下图所示：∵⊙O的半径为1，∴⊙O的面积，∵圆的内接正十二边形的中心角为，∴，∴圆的内接正十二边形的面积，∴，故填：0.14．【点睛】本题考查圆以及圆内接多边形面积，求解时按照对应面积公式，计算仔细即可，另外需注意按照题目要求保留小数点位数．题型2 弧长、扇形面积计算解题技巧：此类题型，需要紧紧抓公式．弧长l=2（理解：圆的周长扇形圆心角占整圆的比例）扇形面积S=（理解：圆的面积扇形圆心角占整圆的比例）推到得：扇形面积S＝12lR（理解：将扇形面积视为三角形面积，弧长径视为三角形的底，扇形的半径R视为三角形的高，面积为底高）解题步骤： = 1 \* GB3 ①根据题干要问题，确定要使用的公式； = 2 \* GB3 ②观察公式，确定未知量； = 3 \* GB3 ③根据题干和圆的相关特性，求解未知量； = 4 \* GB3 ④将未知量代入公式，完成计算。一、弧长有关计算1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级期中）已知扇形的面积为12πcm2，半径为6cm，则该扇形的圆心角是_____度．【答案】120【分析】设扇形圆心角的度数为n，由扇形的面积公式列方程即可求出圆心角．【详解】解：设扇形圆心角的度数为n，∵扇形的面积为12πcm2，，∴，∴n＝120°故答案为：120．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．扇形的面积公式为．2．（2021·北京四中九年级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径 88 米，最高点 A 距离地面 100 米，匀速运行一圈的时间是 18 分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过 34 米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为___________分钟．【答案】12【分析】先计算出圆的底端距离地面的距离为12，从而得到圆的底部到弦的距离为22，从而计算出弦所对的圆心角，用弧长公式计算劣弧的长，周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长，除以运动速度即可．【详解】如图所示，根据题意，得OC=44，CD=AD-AC=100-88=12，ED=34，∴CE=ED-CD=34-12=22，∴OE=OC-CE=44-22=22，在直角三角形OEF中，sin∠OFE=，∴∠OFE=30°，∴∠FOE=60°，∴∠FOB=120°，∴，∵圆转动的速度为，∴最佳观赏时长为（分钟），故答案为：12．【点睛】本题考查了垂径定理，弧长公式，特殊角的三角函数，熟练掌握弧长公式，灵活运用特殊角的三角函数是解题的关键．3．（2021·山东蒙阴·九年级期中）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点O为原点，点A，B的坐标分别是、．（1）将向下平移3个单位后得到，则点的坐标为________；（2）将绕点O逆时针旋转90°后得到，请在图中作出，并求出这时点的坐标为______；（3）在（2）中的旋转过程中，求出线段扫过的图形的弧长．【答案】（1）见解析，（1，0），（2）见解析，（﹣2，3）（3）【分析】（1）利用点平移的画出A1、B1、O1，然后顺次连接即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2即可；（3）先利用勾股定理计算出OA，然后根据弧长公式计算．【详解】解：（1）如图，△A1O1B1为所作，点B1的坐标为（1，0）；故答案为：（1，0）；（2）如图，△A2OB2为所作，点A2的坐标为（﹣2，3）；故答案为：（﹣2，3）； （3）如图，OA＝＝，而∠AOA2＝90°，所以线段OA扫过的弧长为＝＝．【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换和平移和弧长公式，解题关键是找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．4．（2021·广西·南宁三中九年级期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的；（2）画出绕点O顺时针旋转90°后得到的；（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路径长（结果保留）．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）分别作出点A、B关于x轴的对称点，然后依次连接即可；（2）根据旋转的性质分别作出点A、B绕点O旋转90°的点，然后依次连接即可；（3）由（2）可先根据勾股定理求出OA的长，然后根据弧长计算公式进行求解．【详解】解：（1）如图所示：即为所求，（2）如图所示：即为所求， （3）由（2）的图象可得：点A旋转到点所经过的路径为圆弧，∵∴点A旋转到点所经过的路径长为【点睛】本题主要考查旋转的性质、坐标与轴对称及弧长计算公式，熟练掌握旋转的性质、坐标与轴对称及弧长计算公式是解题的关键．5．（2021·新疆·乌市八中九年级期中）如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．（1）请作出把△ABC向下平移6个单位长度的图形△A′B′C′；（2）请作出把△ABC，绕着P顺时针旋转90°得到的图形△A′′B′′C′′（不要求写画法）；（3）请求出点C在题（2）中所经过的路径长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）C所经过的路径长为【分析】（1）根据平移的性质，画出对应的平移图形即可；（2）根据旋转的性质画出对应的旋转图形即可；（3）直接利用弧长公式进行求解即可．【详解】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求； （2）如图所示，△A′′B′′C′′即为所求；（3）如图所示，点C的运动轨迹即为，由题意得，，∴C所经过的路径长为．【点睛】本题主要考查了旋转作图，平移作图，弧长公式，解题的关键在于能够熟练掌握平移和旋转作图的方法．6．（2021·江苏·景山中学九年级期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．（1）画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD、CD．（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①以点O为原点、水平方向所在直线为x轴、竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，写出点的坐标：C ，D ；②⊙D的半径为 （结果保留根号）；③若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是 ． 【答案】（1）见解析；（2）①（6，2）（2，0）；② 2；③【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，然后作出弦AB的垂直平分线，以及BC的垂直平分线，两直线的交点即为圆心D，连接AD，CD；（2）①根据第一问画出的图形即可得出C及D的坐标；②在直角三角形AOD中，由OA及OD的长，利用勾股定理求出AD的长，即为圆O的半径；③求出∠ADC的度数，得弧ADC的周长，求出圆锥的底面半径即可．【详解】解：（1）根据题意画出相应的图形，如图所示： （2）①根据图形得：C（6，2），D（2，0）；②在Rt△AOD中，OA=4，OD=2，根据勾股定理得：AD=，则⊙D的半径为；③AC=，CD=，则AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°．扇形ADC的弧长=π，圆锥的底面的半径=．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理及逆定理，圆锥的底面的半径，利用了数形结合的思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．7．（2021·浙江金华·九年级期中）如图所示，已知AB是的直径，C，D是上的点，，交AD于点E，连结BC．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据直径所对的圆周角为，得出,由平行线的性质得，再利用垂径定理证明即可；（2）根据圆心角与圆周角的关系求出，再根据弧长公式解答即可．【详解】（1）是的直径，，，，即，；（2），，，圆的半径为5，．【点睛】此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式和垂径定理解答．二、扇形面积有关计算1．（2021·福建省福州第一中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1）B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）将△ABC绕着点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C，则A1坐标为 ，并在图中画出△A1B1C；（2）求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．【答案】（1）（2,4），图见解析；（2）．【分析】（1）分别作出三个顶点绕着点C按逆时针方向旋转90°得到的对应点，顺次连接可得；（2）先利用勾股定理求出线段BC，再根据扇形的面积计算公式进行计算即可．【详解】解：（1）如图所示：点A1坐标为（2,4），△A1B1C即为所求；故答案为：（2,4）；（2）∵A（﹣1，1）B（﹣3，1），C（﹣1，4），∴AC=3，AB=2，且AC⊥AB，由勾股定理得BC=，∴线段BC旋转过程中所扫过的面积为：．【点睛】本题主要考查旋转变换和扇形面积计算问题，熟练掌握旋转变换的定义和扇形面积计算公式是解题的关键．2．（2021·浙江龙泉·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC．（1）求证：∠A＝∠BCD；（2），∠B＝60°，求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据垂径定理可推出，再根据圆周角的性质即可证明；（2）首先在中求出的长度，然后确定是等边三角形，即可得到，从而利用扇形的面积公式求解即可．【详解】（1）∵直径，∴，∴；（2）∵，∴，∵，，∴，∵，，∴是等边三角形，∴，，∴，∴．【点睛】本题考查圆的垂径定理，扇形的面积计算，以及利用正弦函数求边长等，理解垂径定理，掌握基本的三角函数和扇形的面积公式是解题关键．3．（2021·福建省福州第八中学九年级期中）（1）如图，用尺规在原图上作出⊙O的内接等边△ABC；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图形中，若⊙O半径为6，求的长及扇形AOB的面积．【答案】（1）见解析；（2），．【分析】（1）首先作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B、C两点；连接AB、AC，那么△ABC为所求的三角形；（2）根据等边同弧所对圆周角是圆心角的一半，可得扇形的圆心角，利用弧长公式和扇形面积公式进行求解．【详解】（1）如图所示，△ABC即为所求．（2）如图所示：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∵AO＝BO＝6，∴，．【点睛】此题主要考查了复杂作图以及弧长公式计算方法以及扇形面积求法，正确掌握正三角形的性质是解题关键．4．（2021·浙江·翠苑中学九年级期中）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；（2）若半径R＝6，弧BC的度数为120°，则扇形BOC的面积为 ；（保留π）（3）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径R．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）作线段AB和线段AC的垂直平分线，交点即为圆心O；（2）连接OC、OB，利用扇形面积公式直接计算即可得到答案；（3）连接CB，交AO于点D，根据垂径定理得到BD=4，利用勾股定理求出AD，在△BOD中，由勾股定理得到，，求解即可．【详解】解：（1）如图；（2）连接OC、OB，∵OC=OB=R＝6，∠BOC=120°，扇形BOC的面积为，故答案为：；（3）连接CB，交AO于点D，∵BC=8，∴BD=4，∵AB=5，∴AD==3，∵OB=OA=R，∴OD=R-3，在△BOD中，，∴，解得，∴该轮的半径为．【点睛】此题考查圆的知识—垂径定理，扇形的面积公式，作圆心，以及勾股定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂径定理及勾股定理、线段垂直平分线的性质是解题的关键．5．（2021·浙江·杭州市九年级期中）如图，⊙O是以坐标原点O为圆心，为半径的圆，点P的坐标为（2，2），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）A．8π B． C．8π﹣16 D．【答案】D【分析】由题意当OP⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，求出A'B'的长，∠A'OB'的大小即可解决问题．【详解】解：由题意当OP⊥A'B'时，阴影部分的面积最小， ∵P（2，2），∴OP==2 ，∵OA'=OB'=， ∴PA'=PB'= ， ∴tan∠A'OP=tan∠B'OP== ，∴∠A'OP=∠B'OP=60°，∴∠A'OB'=120°， ∴S阴=S扇形OA'B'-S△A'OB''= ，故答案为：D．【点睛】本题考查扇形的面积的计算、勾股定理以及垂径定理等知识，解题的关键是理解当OP⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，属于中考常考题型．6．（2021·浙江·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）九年级期中）如图，⊙O半径为10cm，AB是⊙O的一条弦且∠AOB=60°，求图中阴影部分的面积．【答案】【分析】作于点C．结合题意根据圆的基本性质即可证明为等边三角形，即可得出，．再利用含角的直角三角形的性质和勾股定理即可求出OC的长，即可求出．利用扇形的面积公式可求出，最后由即可求出答案．【详解】如图，作于点C．由圆的基本性质可知，∵，∴为等边三角形，∴，．在中，，∴，∴，∴．∵，∴．【点睛】本题考查圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理以及扇形的面积公式．作出常用的辅助线是解答本题的关键．题型3 圆锥侧面积有关计算圆锥侧面展开是扇形，扇形半径R为圆锥的母线长，扇形弧长为圆锥底面圆的周长，在求解圆锥问题时，需理清这两个关系，再按照扇形公式进行求解．解题步骤： = 1 \* GB3 ①根据题干要问题，确定要使用的公式； = 2 \* GB3 ②观察公式，确定未知量； = 3 \* GB3 ③根据题干和圆的相关特性，求解未知量； = 4 \* GB3 ④将未知量代入公式，完成计算。1．（2021·云南·昆明市第三中学九年级期中）把一个有两边长为3、4的直角三角形，绕其较短的直角边旋转后得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积是（ ）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】分两直角边分别为3、4和4为斜边，3为直角边两种情况，求出圆锥母线，再计算侧面积．【详解】解：∵直角三角形两边长分别为3、4，当两直角边分别为3、4时，则旋转得到的圆锥中底面半径为4，高为3，∴圆锥母线长为=5，∴侧面积为：=；当4为斜边，3为直角边时，另一条直角边为=，则旋转得到的圆锥中底面半径为3，高为，∴圆锥母线长为4，∴侧面积为：=；故选：A．【点睛】本题考查了圆锥的计算，旋转得到几何体，要注意根据题意分类讨论．2．（2021·内蒙古初三二模）将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开 若不考虑接缝，它是一个半径为12cm，圆心角为的扇形，则 A．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为8cm B．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为6cmC．圆锥形冰淇淋纸套的高为 D．圆锥形冰淇淋纸套的高为【答案】C【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，列出方程即可求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理即可求出圆锥的高．【解析】解：解：半径为12cm，圆心角为120°的扇形弧长是：（cm）设圆锥的底面半径是r（cm）则：2πr=8π，解得：r=4即个圆淋的底面半径是4cm；圆锥形冰淇淋纸套的高为（cm）．故答案为C．【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算，掌握圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是解答本题的关键．3．（2021·四川德阳·中考真题）已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（ ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1=2π，设圆心角的度数是n度，则=2π，解得：n=120．故选：C．【点睛】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．4．（2021·四川广安二中初三期末）如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上，剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C都在圆周上，将剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ）A．3 cm B．2cm C．6cm D．12cm【答案】A【分析】圆的半径为12，求出AB的长度，用弧长公式可求得的长度，圆锥的底面圆的半径＝圆锥的弧长÷2π．【解析】AB＝cm，∴∴圆锥的底面圆的半径＝÷（2π）＝3cm．故选A．【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．5．（2020·辽宁大洼·初三二模）如图，从一圆形纸片上剪出一个半径为R、圆心角为90°的扇形；和一半径为的圆，使之恰好围成如图所示的圆锥，则R与的关系为（ ）A．R=2 B．R=4 C．R=2 D．R=6 【答案】B【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算即可得答案．【解析】扇形的弧长是：=，圆的半径为r，则底面圆的周长是，∵恰好围成如图所示的圆锥，∴=，∴R=4r，故选：B．【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．6．（2021·山东东营·初三一模）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（ ）A．8 B．11 C．10 D．9【答案】B【分析】设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n．利用弧长公式构建方程求出n的值，连结AC，过B作BD⊥AC于D，求出AC的长即可判断；【详解】解：设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n． 底面圆的周长等于： 解得：n=120°； 连结AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD=60°． AB=6， BD=3， ∴ AC=2AD=，即这根绳子的最短长度是， 故这根绳子的长度可能是11， 故选：B．【点睛】此题考查了圆锥的计算，勾股定理的应用，含30°角的直角三角形，解题的关键是记住圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．7.（2020·山东·日照市新营中学九年级期中）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4），B（-4，4）、C（-6，2），请在网格图中进行如下操作：（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为_____________；（2）连接AD、CD，则的半径长为______（结果保留根号），的度数为___________；（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长．（结果保留根号）【答案】（1）（−2，0）；（2）2；90°；（3）【分析】（1）利用网格特点，作BC和AB的垂直平分线，它们的交点为D，从而得到D点坐标；（2）利用勾股定理求出AD得到⊙D的半径长，利用勾股定理的逆定理可得到△ACD为直角三角形，从而得到∠ADC的度数为90°；（3）设该圆锥的底面圆的半径长为r，利用弧长公式得到，然后解方程即可．【详解】解：（1）如图作BC和AB的垂直平分线，它们的交点为D，则点D即为该圆弧所在圆的圆心，由图可知点D的坐标为（−2，0）；（2）如图，AD＝ ，即⊙D的半径长为2，∵AD＝CD＝2，AC＝ ，∵ ，∴，∴△ACD为直角三角形，∠ADC的度数为90°；故答案为2；90°；（3）设该圆锥的底面圆的半径长为r，根据题意得，解得r＝，即该圆锥的底面圆的半径长为．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了垂径定理和勾股定理．熟练掌握圆锥底面的周长及垂径定理和勾股定理是解题关键．题型4 不规则图形面积1、割补法解题技巧：将不规则图形的面积转化为几个已知图形的面积的和与差的形式。2、等积变换解题技巧：利用平行线间距离处处相等的性质，可将不规则图形等积转换处理。基本图形如下，3、图形变换解题技巧：通过平移，将一般图形转化为特殊图形。1．（2020黑龙江省大庆市）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=103，一圆弧过点B和点C，且与AD相切，则图中阴影部分面积为______________．【答案】．【解析】设圆弧的圆心为O，与AD切于E，连接OE交BC于F，连接OB、OC，设圆的半径为x，则OF=x﹣5，由勾股定理得，OB2=OF2+BF2，即x2=(x-5)2+(53)2，解得，x=5，则∠BOF=60°，∠BOC=120°，则阴影部分面积为：矩形ABCD的面积﹣（扇形BOCE的面积﹣△BOC的面积）==．故答案为：．2．（2021·甘肃初三期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：∵D为AB的中点，∴BC=BD=AB，∴∠A=30°，∠B=60°．∵AC=，∴BC=AC•tan30°==2，∴S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD==．故选A．【点睛】本题考查解直角三角形和扇形面积的计算，掌握公式正确计算是本题的解题关键．3．（2020·广西初三）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm2．【答案】【分析】根据直角三角形的性质求出OC、BC，根据扇形面积公式计算即可．【解析】解：∵∠BOC=60°，∠BCO=90°，∴∠OBC=30°，∴OC=OB=1则边BC扫过区域的面积为：故答案为．【点睛】考核知识点：扇形面积计算.熟记公式是关键.4．（2020·四川中考真题）如图，一个半径为1的⊙O1经过一个半径为的⊙O的圆心，则图中阴影部分的面积为（ ）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】解：如图，⊙O的半径为，⊙O1的半径为1，点O在⊙O1上，连接OA，OB，OO1，∵OA=，O1A=O1O=1，则有（）2=12+12，∴OA2=O1A2+O1O2，∴△OO1A为直角三角形，∴∠AOO1=45°，同理可得∠BOO1=45°，∴∠AOB=90°，∴AB为⊙O1的直径，∴S阴影部分=S半圆AB﹣S弓形AB=S半圆AB﹣（S扇形OAB﹣S△OAB）=S半圆AB﹣S扇形OAB+S△OAB=π×12﹣ +××=1．故选A．点睛：本题主要考查了相交两圆的性质以及扇形面积的计算，解题的关键是正确作出辅助线，此题有一定的难度．5．（2021·湖南初三）如图，在矩形 中，是边上一点，连接，将矩形沿翻折，使点落在边上点处，连接.在上取点，以点为圆心，长为半径作⊙与相切于点.若，，给出下列结论:①是的中点;②⊙的半径是2; ③;④.其中正确的是________.(填序号)【答案】①②④．【解析】①∵AF是AB翻折而来，∴AF=AB=6．∵AD=BC=，∴DF==3，∴F是CD中点；∴①正确；②连接OP，∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD．∵AD⊥DC，∴OP∥CD，∴，设OP=OF=x，则，解得：x=2，∴②正确；③∵Rt△ADF中，AF=6，DF=3，∴∠DAF=30°，∠AFD=60°，∴∠EAF=∠EAB=30°，∴AE=2EF．∵∠AFE=90°，∴∠EFC=90°﹣∠AFD=30°，∴EF=2EC，∴AE=4CE，∴③错误；④连接OG，作OH⊥FG，∵∠AFD=60°，OF=OG，∴△OFG为等边△．同理△OPG为等边△，∴∠POG=∠FOG=60°，OH=OG=，S扇形OPG=S扇形OGF，∴S阴影=（S矩形OPDH﹣S扇形OPG﹣S△OGH）+（S扇形OGF﹣S△OFG）=S矩形OPDH﹣S△OFG==，∴④正确；故答案为①②④．6．（2021·天津市第九十中学初三）如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD∥AB，连接AC、AD、OD，其中AC=CD，过点B的切线交CD的延长线于E．（1）求证：DA平分∠CDO；（2）若AB=12，求图中阴影部分的周长之和（参考数据：π=3.1，=1.4，=1.7）．【答案】（1）证明见解析；（2）26.5．【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠CDA=∠DAO，∠DAO=∠ADO，即可证得结论；（2）易证∠CDA=∠BAD=∠CAD，可得，再证明∠DOB=60°，即可得△BOD是等边三角形，由此即可解决问题．【解析】解：（1）∵CD∥AB，∴∠CDA=∠BAD，又∵OA=OD，∴∠ADO=∠BAD，∴∠ADO=∠CDA，∴DA平分∠CDO．（2）如图，连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，又∵CD∥AB，∴∠CDA=∠BAD，∴∠CDA=∠BAD=∠CAD，∴，又∵∠AOB=180°，∴∠DOB=60°，∵OD=OB，∴△DOB是等边三角形，∴BD=OB=AB=6，∵，∴AC=BD=6，∵BE切⊙O于B，∴BE⊥AB，∴∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=30°，∵CD∥AB，∴BE⊥CE，∴DE=BD=3，BE=BD×cos∠DBE=6×=3，∴的长==2π，∴图中阴影部分周长之和为2π+6+2π+3+3=4π+9+3=4×3.1+9+3×1.7=26.5．【点睛】本题考查切线的性质；弧长的计算．题型5 最短距离解题技巧：圆锥侧面是立体图形，求两点之间的最短距离不好处理。解决此类问题，需要将圆锥的侧面展开成扇形，则将立体图形转化为平面图形。平面图形上，两点之间的连线最短。1．（2020·江苏·苏州市平江中学校九年级月考）如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）A．3 B．4 C． D．2【答案】B【分析】易得弧BC的长，然后求得弧BC所对的圆心角的度数，从而得到直角三角形，利用勾股定理求得CD的长即可．【详解】解：如图:∵，∴设弧所对的圆心角的度数为n，∴，解得，∴，∴．故选：B．【点睛】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．解题的关键是理解并掌握圆锥的弧长等于底面周长．2．（2020·广东·东莞外国语学校九年级期中）如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为，一只小虫在圆线底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短路程为___________（结果保留根号）【答案】6【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角，求出侧面展开图中两点间的距离即为最短距离．【详解】∵底面圆的半径为，∴圆锥的底面周长为2×＝3，设圆锥的侧面展开图的圆心角为n．∴，解得n＝90°，如图，AA′的长就是小虫所走的最短路程，∵∠O=90°，OA′=OA=6，∴AA′＝．故答案为：6．【点睛】本题考查了圆锥的计算，考查圆锥侧面展开图中两点间距离的求法；把立体几何转化为平面几何来求是解决本题的突破点．3．（2020·内蒙古凉城县宏远中学九年级期中）如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（ ）A．10 B．12 C．14 D．20【答案】A【分析】由于圆柱的高为12cm，S为BC的中点，故BS＝6cm，先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长．【详解】解：沿着S所在的母线展开，如图，连接AS，则AB＝×16＝8，BS＝BC＝6， 在Rt△ABS中，根据勾股定理AB2＋BS2＝AS2，即82＋62＝AS2，解得AS＝10． ∵A，S两点之间线段AS最短，∴点A到点S移动的最短距离为AS＝10cm．故选：A．【点睛】本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．4.（2021·石嘴山市第八中学初三一模）如图所示是一个几何体的三视图．(1)写出这个几何体的名称；(2)根据图中数据计算这个几何体的表面积；(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体上的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这条路线的最短路程．【答案】（1）圆锥；（2）16π；（3）3【分析】（1）由该几何体的三视图可知，这个几何体是：圆锥；（2）由图中数据可知，这个圆锥的底面半径为2，母线长为6，这样根据S表=S侧+S底即可计算出该圆锥的表面积；（3）如下图，将圆锥的侧面沿母线AB展开得到扇形ABB′，则由题意可知点C′为的中点，点D′为半径AC′的中点，连接BC′，BD′，则BD′的长为所求的最短路程，这样结合已知条件求出BD′的长即可.【解析】解：（1）由该几何体的三视图可知：这个几何体是圆锥；（2）由图中数据可知：这个圆锥的底面半径为2，母线长为6，∴S表＝S侧＋S底＝π r l＋π r2＝12π＋4π＝16π(cm2)；（3）如下图所示，将圆锥侧面沿AB展开，则图中线段BD′为所求最短路程．设∠BAB′的度数为n，则由可得：，解得：，∵点C′为的中点，∴∠BAC′=60°，又∵AB=AC′，∴△ABC′是等边三角形，又∵D′是AC′的中点，∴∠AD′B=90°，∴sin∠BAD′=，∴BD′=AB·sin60°=6×=（cm），∴蚂蚁爬行的最短路程是cm.分层提分题组A 基础过关练1.如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的圆心O到BC的距离OM和弧BC的长分别为（ ）、 B．、 C．、 D．、 【答案】B【解析】正六边形的中心角是60°，解直角三角形即可得。2.已知圆锥的侧面积是8πcm2，若圆锥底面半径为R（cm），母线长为l（cm），则R关于l的函数图象大致是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，×2πR×l=8π，则R=，故选：A．3.如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（ ）A．2π B． C． D．【答案】D【解析】如图，连接CO，∵∠BAC=50°，AO=CO=3，∴∠ACO=50°，∴∠AOC=80°，∴劣弧AC的长为=，故选：D．4.如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（ ）A． 2 B． C．πm2 D．2πm2【答案】A【解析】解： 连接AC，∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC，∵AB2+BC2=22，∴AB=BC=m，∴阴影部分的面积是=（m2），故选：A．5.已知：如图,△ABC是⊙O的内接等腰三角形,顶角∠BAC=36°，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形。【解析】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠BAC=36∘，∴∠ABC=∠ACB=72∘.又∵BD、CE平分∠ABC、∠ACB.∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABD=∠DBC=36°∴易证五边形AEBCD为正五边形题组B 能力提升练1.如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（ ）A. B.2 C.2 D.3【答案】B【解析】根据圆内接多边形的中心角度数，结合解直角三角形即可得。2.如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（ ）A． B．2π C．3π D．6π【答案】C【解析】∵在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，∴∠C=120°，∴图中阴影部分的面积是： =3π，故选：C．3.如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ）A．（30+5）πm2 B．40πm2 C．（30+5）πm2 D．55πm2【答案】A【解析】设底面圆的半径为R，则πR2=25π，解得R=5，圆锥的母线长==，所以圆锥的侧面积=•2π•5•=5π；圆柱的侧面积=2π•5•3=30π，所以需要毛毡的面积=（30π+5π）m2．故选：A．4.如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）A．12π+18 B．12π+36 C．6 D．6【答案】C【解析】如图，连接OD，AD，∵点C为OA的中点，∴OC=OA=OD，∵CD⊥OA，∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，∴△ADO为等边三角形，OD=OA=12，OC=CA=6，∴CD=，6，∴S扇形AOD==24π，∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形AOD﹣S△COD）=﹣﹣（24π﹣×6×6）=18+6π．故选：C．题组C 培优拔尖练1.如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8【答案】A【解析】利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF的面积﹣△ABD的面积=﹣×4×2=4π﹣4，故选：A．2.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）A． B． C．2 D．2【答案】D【解析】过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD=1，AD=BD=，∴△ABC的面积为=，S扇形BAC==π，∴莱洛三角形的面积S=3×π﹣2×=2π﹣2，故选：D．3.如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为 cm2．【解析】∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°，∵AB=2cm，∴OB=1cm，OC′=，∴B′C′=，∴S扇形B′OB==π，S扇形C′OC==，∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC=S扇形B′OB﹣S扇形C′OC=π﹣=π；故答案为：π．4.如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图①中∠APN的度数（写出解题过程）；（2）写出图②中∠APN的度数和图 ③中∠APN的度数 （ 3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）【解析】(1）∠APN = 60°.因为∠APN=∠ABP+∠BAP有因为点M、N以相同的速度中⊙O上逆时针运动．所以弧AN=弧CM ∠ABN=∠MAC所以∠APN=∠BAP+∠MAC即∠APN=∠BAC=60°(2）按(1）的思路可得：图2中，∠APN的度数为90°；图3中，∠APN的度数为108°． (3）则∠APN的度数=所在多边形的内角度数=(n-2）*180/n°
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