初中数学北师大版八年级上册第七章 平行线的证明2 定义与命题导学案

专题7.1  定义与命题（知识讲解）

【学习目标】

1、理解定义、命题、真假命题、互逆命题的概念；

2、理解并掌握证明的一般书写方法，明确推理的基本要求。

【要点梳理】

要点一、定义、命题

1. 定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.

2. 命题：判断一件事情的句子，叫做命题.
特别说明：

（1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.
（2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.
（3）公认的真命题叫做公理.

(4) 经过证明的真命题称为定理.

要点二、证明

 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明.
特别说明：

（1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．

（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.

（3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．

　【典型例题】

类型一、命题

1、阅读下列语句，完成后面的题目．

①同类项的数字系数必相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③抗震救灾；④两直线平行，同旁内角互补；⑤两点之间的线段是这两点之间的距离；⑥今晚你去看电影吗？

(1)其中属于命题的是________，不属于命题的是________(填序号)；

(2)其中属于真命题的是________(填序号)；

(3)对于每个假命题，你是怎样判断的？

【答案】(1)①②④⑤　③⑥；(2)④；(3)见解析.

【分析】根据命题与定理解题；一般在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题；其中判断为真的叫做真命题；判断为假的叫做假命题.

解：(1)①②④⑤　③⑥；(2)④；

(3)为说明命题是假命题，可采用举反例(举一个即可)的方法，如：①中a和－a是同类项，但它们的系数不同；②中|7|＝|－7|，但7≠－7；⑤中两点之间的距离是指两点之间的线段的长度．

【点拨】本题考查了命题的定义及真命题、假命题；一般在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题；命题分为真命题和假命题.

举一反三：

【变式】把下列命题按要求进行改写．

命题①：若x，y为实数，且x2＋y2＝0，则x，y全为0；

命题②：两直线平行，同位角相等．

(1)交换命题的条件和结论；

(2)同时否定命题的条件和结论；

(3)交换命题的条件和结论后，再同时否定新命题的条件和结论．

【答案】命题①：详见解析；命题②：详见解析.

【分析】

（1）若后面是条件,则后面是结论,交换即可,（2）等于的否定为不等于,全为0的否定为不全为0,（3）直接把第（2）问中的条件和结论交换即可.

解：命题①：(1)若x，y为实数，且x，y全为0，则x2＋y2＝0；(2)若x，y为实数，且x2＋y2≠0，则x，y不全为0；(3)若x，y为实数，且x，y不全为0，则x2＋y2≠0

命题②：(1)同位角相等，两直线平行；(2)两直线不平行，同位角不相等；(3)同位角不相等，两直线不平行

【点拨】本题考查了原命题,否命题,逆命题,逆否命题之间的转换,中等难度,掌握命题的否定是解题关键.

类型二、定理与证明 

2、在学习中，小明发现：当n=1，2，3时，n2—10n的值都是负数．于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2-10n的值都是负数．判断小明的猜想是真命题还是假命题，并说明你的理由．

【答案】假命题，理由见解析.

【解析】试题分析：利用反例可证明小明的猜想为假命题．

试题解析：假命题．理由如下：

如：当n=10时，n2-10n=102-10×10=0，不是负数，所以小明的猜想是假命题．

举一反三：

【变式】．（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，，．

求证：；

（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．

【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．

【分析】

（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，CD∥EF，则利用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论；

（2）利用了平行线的判定与性质定理求解．

（1）证明：∵∠B＋∠1＝180°，

∴AB∥CD，

∵∠2＝∠3，

∴CD∥EF，

∴AB∥EF，

∴∠B＋∠F＝180°；

（2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．

【点拨】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

3、如图，，，，求证：．

【分析】由得到，然后根据SAS，得到，然后得到结论成立.

证明：∵（已知），

∴（等式的性质），

即．

在和中，

∴．

∴（全等三角形的对应边相等）．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是得到.

类型三、反证法证明命题

4、用反证法证明：

两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．

求证：l1　　l2

证明：假设l1　　l2，即l1与l2交与相交于一点P．

则∠1+∠2+∠P　　180°　　

所以∠1+∠2　　180°，这与　　矛盾，故　　不成立．

所以　　．

【答案】 ；不平行； ；三角形内角和定理； ；∠1+∠2=180°；假设；结论成立，l1∥l2．

【分析】先假设l1不平行l2，根据三角形的内角和定理，可得∠1+∠2+∠P=180°，从而得到∠1+∠2＜180°，与已知矛盾，即可求证．

已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．

求证：

证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．

则∠1+∠2+∠P=180°（三角形内角和定理），

所以∠1+∠2＜180°，

这与∠1+∠2=180°矛盾，故假设不成立．

所以结论成立，l1∥l2．

【点拨】本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法证明的基本过程，解题的关键是找到与已知相矛盾的条件．

举一反三：

【变式1】如图，已知：直线与相交于O，于F，于H．求证：和必相交．

【分析】运用反证法假设与平行，则它们的垂线也平行，与题设矛盾，从而证明．

证明：若与平行，则它们的垂线也平行，

即与平行，与直线与相交于O矛盾，

所以与不平行即相交．

【点拨】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

【变式2】用反证法证明：一条线段只有一个中点．

【分析】首先假设结论的反面：一条线段可以有多个中点，不妨设有两个，根据中点的定义得出矛盾，即可证得．

已知：一条线段，点M为的中点．

求证：线段只有一个中点M，

证明：假设线段有两个中点，分别为点M、N，不妨设点M在点N的左边，

则，

又∵，

这与矛盾，

∴假设不成立，线段只有一个中点M．

∴一条线段只有一个中点．

【点拨】本题主要考查了反证法，正确理解反证法的基本思想是解题的关键．

类型四、以几何为背景的推理论证

5、收集欧几里得和《原本》的有关资料，并与同伴进行交流．

【分析】可以利用网络查阅手机，并交流心得体会．

欧几里得（Euctid,约公元前 300 年）是古希腊论证数学的集大成者，他通过继承和发展前人的研究成果，编辑出旷世巨著《原本》（Elements）．这部书的最大意义在于，它是用公理化方法建立起演绎体系的最早典范．欧几里得的生平后世所知甚少，但根据有限的历史记载推断，欧几里得早年就学于雅典，公元前 300 年左右，欧几里得应托勒密王一世之邀到当时的文化中心亚历山大，成为亚历山大学派的奠基人．据说，托勒密王问欧几里得，除了他的《原本》之外，有没有其他学习几何的捷径，欧几里得回答道：“几何无王者之路．”意思是在几何里，没有专门为国王铺设的道路．这句话后来推广为“求知无坦途”，成为千古传诵的学习箴言．另一则故事记载，一个学生才开始学习第一个命题，就问，“学习了几何学之后我能得到什么？”欧几里得对家奴说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获得实利．”由此可见，欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研，不赞成投机取巧的作风和狭隘的实用主义观点．

《原本》的前四卷包含了平面几何的一些基本内容，如全等形、平行线、多边形、圆、毕达哥拉斯定理、初等作图及相似形等．第Ⅴ卷是比例论，这是《原本》的最高成就．毕达哥拉斯学派过去虽然也建立了比例论，不过只适用于可公度量，这样很难建立关于一切量的比例关系．卷Ⅵ把卷Ⅴ已建立的理论用到平面图形上去，处理相似直线图形中的各种成比例线段等等．卷Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ是数论，讨论正整数的性质和分类．卷Ⅹ是篇幅最大的一卷，主要讨论无理量，即不可公度量．卷Ⅺ是立体几何，卷Ⅻ是穷竭法，这是希腊人创造的强有力的证明方法．经欧多克索斯的努力臻于完善，最后被收入《原本》之中，最后的第ⅩⅢ卷主要讨论了球的内接正多面体的作图法．众所周知，公理化方法是数学中的重要方法，它的主要精神是从尽可能少的几条公理以及若干原始概念出发，推导出尽可能多的命题．历史上，公理化思想最早出现在希腊，而《原本》就是公理化思想的典型代表．过去所积累下来的数学知识是零碎的、片段的，只有借助逻辑的方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，系统化、条理化地整理在一个严密的系统之中，才能建成巍峨的几何大厦，《原本》完成了这项艰巨的任务，对整个数学的发展产生了深远影响．

它是如何在题目中应用的呢？我们也通过两个问题来具体说明．

问题1：《原本》中第ⅩⅢ卷主要讨论了正整数的性质和分类．

解析：错误

问题2：《原本》中主要讨论无理量的是（ ）

A．卷X

B．卷VII

C．卷XII

D．卷VI

解：A

【点拨】本题是让学生了解欧几里得的情况，学习欧几里得对数学发展的贡献及《几何原本》的主要内容，以及它们在解题中具体怎么应用．

类型五、以代数为背景的推理论证

6、当、2、3、4时，的值有什么特征？当是任意整数时，这个结论成立吗？用一句话概括这个结论．

【答案】是8的倍数，当是任意整数时这个结论成立，概括为两个连续奇数的平方差是8的倍数．

【分析】运用平方差公式将整式化简为8n,通过观察得出当n是任意整数时,8n都能被8整除这一结论.

【详解】

解:由平方差公式,得

=8n

则当n=1,2,3,4时,(2n+1)2−(2n−1)2的值分别为8,16,24,32

故当n=1,2,3,4时,(2n+1)2−(2n−1)2的值都能被8整除

当n为任意整数时,(2n+1)2−(2n−1)2=8n,因为8能被8整除

故答案为：是8的倍数，当是任意整数时这个结论成立，概括为两个连续奇数的平方差是8的倍数.

【点拨】本题主要考查了平方差公式在化简求值题目中的应用.

【变式2】当，时，有；

当，时，有；

当，时，有；

当，时，有．

得出结论：、为任何数时，．

这个结论正确吗？

【答案】不正确．

【分析】根据题意设特殊值即可证明结论错误.

解答：不正确．当时，．

【点拨】本题考查了演绎证明，通过取特殊值证明结论是否正确是常用的解题方法，需要掌握.

类型六、逻缉推理论证

6、与同伴做下面的游戏：每个人从一副扑克牌（去掉大、小王和J，Q，K）中选择3张黑色牌和3张红色牌（黑色牌代表正分，红色牌代表负分），使得6张牌的总分为零．两人轮流从同伴手中抽1张牌，10次以后，计算每人手中牌的总分，得分高者获胜．

（1）你希望抽到哪种颜色的牌？你希望哪种颜色的牌不被抽走？

（2）游戏结束后，你手中牌的总分与同伴手中牌的总分有什么关系？

（3）你可能得到的最高分是多少？

【答案】（1）黑色牌，黑色牌；（2）两者总分和为0；（3）54分

【分析】

（1）根据题意黑色牌代表正分，红色牌代表负分，进而得出答案；

（2）利用每人得6张牌的总分为零，即可得出自己手中牌的总分与同伴手中的总分关系；

（3）假设抽到三张黑色牌且为8，9，10，进而得出答案．

【详解】

解：（1）希望抽到黑颜色的牌，不希望黑颜色的牌抽走；

（2）∵每人手中6张牌的总分为零，

故无论多少次后，二人总分之和为0；

（3）可能得到最高分时是6张黑色牌都在自己手中，分数最大的6张黑色牌为2张黑10，2张黑9，2张黑8．

∴自己可能得到的最高分是：2×（10+9+8）=54（分）．

【点拨】此题主要考查了推理与论证，根据题意注意黑色牌代表正分得出是解题关键．