2023届高考数学二轮复习专题三数列第2讲数列求和及综合应用课件

这是一份2023届高考数学二轮复习专题三数列第2讲数列求和及综合应用课件，共39页。PPT课件主要包含了ACD，答案3n2-2n等内容，欢迎下载使用。

感悟高考 明确备考方向
1.[数列求和](多选题)(2021·新高考Ⅱ卷, T12)设正整数n=a0·20+a1·2+…+ak-1·2k-1+ak·2k,其中ai∈{0,1},记ω(n)=a0+a1+…+ak,则(　 　)A.ω(2n)=ω(n) B.ω(2n+3)=ω(n)+1C.ω(8n+5)=ω(4n+3)D.ω(2n-1)=n
解析:对于A选项,ω(n)=a0+a1+…+ak,2n=a0×21+a1×22+…+ak-1×2k+ak×2k+1,所以ω(2n)=a0+a1+…+ak=ω(n),A选项正确;对于B选项,取n=2,2n+3=7=1×20+1×21+1×22,所以ω(7)=3,而2=0×20+1×21,则ω(2)=1,即ω(7)≠ω(2)+1,B选项错误;对于C选项,8n+5=a0×23+a1×24+…+ak×2k+3+5=1×20+1×22+a0×23+a1×24+…+ak×2k+3,所以ω(8n+5)=2+a0+a1+…+ak,4n+3=a0×22+a1×23+…+ak×2k+2+3=1×20+1×21+a0×22+a1×23+…+ak×2k+2,所以ω(4n+3)=2+a0+a1+…+ak,因此,ω(8n+5)=ω(4n+3),C选项正确;对于D选项,2n-1=20+21+…+2n-1,故ω(2n-1)=n,D选项正确.故选ACD.
2.[数列求和](2020·新高考Ⅰ卷,T14)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为　　　　. 
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
高考对数列求和主要考查分组转化、错位相减、裂项相消等方法,难度为中等偏下,有时也常与函数、不等式等交汇命题.以解答题为主,也有选择题、填空题,难度中等.
突破热点 提升关键能力
热点一　分组转化法求和
分组求和的策略:(1)若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差数列或等比数列,则可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
(3)若数列的通项公式中有(-1)n等特征,根据正号、负号分组求和.
(1)求数列{an}的通项公式;
分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和或差,常见错误为不能准确分组或不分奇数项与偶数项.
热点训练1　(2022·山东烟台一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=9,S3=15.(1)求{an}的通项公式;
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由已知得a1+3d=9,3a1+3d=15,解得a1=3,d=2,所以an=2n+1,n∈N*.
热点训练1　(2022·山东烟台一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=9,S3=15.
(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变,在ak与ak+1(k=1,2,…)之间插入2k个1,使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn},记{bn}的前n项和为Tn,求T100的值.
热点二　裂项相消法求和
裂项相消法就是把数列的每一项分解,使得相加后项与项之间能够相互抵消,但在抵消的过程中,有的是依次项抵消,有的是间隔项抵消.常见的裂项方式有
(1)求{an}的通项公式;
裂项相消法的基本思路是将通项拆分,可以产生相互抵消的项.需注意抵消后并不一定只剩下首尾两项,也有可能前面剩两项,后面剩两项或者前面剩几项,后面剩几项.
热点三　错位相减法求和
如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时,可采用错位相减法.用错位相减法求和时,应注意:(1)等比数列的公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便准确写出“Sn-qSn”的表达式.
典例3　(2022·山东济南一中模拟预测)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且Sn=2Sn-1+n(n≥2,n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;
解:(1)由Sn=2Sn-1+n(n≥2,n∈N*),得Sn+1=2Sn+n+1,作差得an+1=2an+1,即an+1+1=2(an+1)(n≥2,n∈N*).又a1=1,由S2=a1+a2=2a1+2,得a2=3,所以a2+1=4=2(a1+1),所以数列{an+1}是以2为公比和首项的等比数列,所以an+1=2×2n-1=2n, 所以an=2n-1.故数列{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N*).
典例3　(2022·山东济南一中模拟预测)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且Sn=2Sn-1+n(n≥2,n∈N*).(2)设bn=(2n-1)(an+1),求数列{bn}的前n项和Tn.
错位相减法求和需要两边先同时乘等比数列的公比再错位相减,常见错误有符号错误或不能准确“错项对齐”.
热点训练3　 (2022·山东潍坊一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,S3=a3+6.(1)求数列{an}的通项公式;
解:(1)设等比数列{an}的公比为q,由a1=2,S3=a3+6,得a1(1+q+q2)=6+q2a1,解得q=2,所以an=2n(n∈N*).
热点训练3　 (2022·山东潍坊一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,S3=a3+6.
(2)设bn=lg2an,求数列{anbn}的前n项和Tn.
热点四　与数列相关的综合问题
数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向,此类问题突破的关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系,求出数列的通项公式或前n项和公式,再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题,通过放缩进行不等式的证明.
(1)求数列{bn}的前n项和Tn;
求解数列与函数交汇问题要注意两点:(1)数列是一类特殊的函数,其定义域是正整数集(或它的有限子集),在求解数列最值或不等关系时要特别注意.(2)解题时准确构造函数,利用函数性质时注意限制条件.