2022-2023学年湖南省郴州市嘉禾县第六中学高二上学期第二次月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖南省郴州市嘉禾县第六中学高二上学期第二次月考数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设直线，，的倾斜角分别为，可得，再由斜率的定义即可比较，，的大小关系.
【详解】设直线，，的倾斜角分别为，由图象知：
，
所以，即，
故选：A．
2．圆：与圆：有且仅有一条公切线，则（ ）
A．16B．25C．36D．16或36
【答案】C
【详解】解：由圆：，得，
则圆的圆心，半径，
由圆：，
得圆的圆心，半径且，
因为两圆有且仅有一条公切线，
所以两圆内切，
则，
即，解得.
故选：C.
3．若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞5B．m＜－4C．m＜－4或m＞5D．－4＜m＜5
【答案】D
【分析】由方程表示双曲线有，即可求参数范围.
【详解】由题设，，可得.
故选：D
4．在下列命题中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个非零向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个不共面向量，则对于空间的任意一个向量，总存在实数x，y，z使得.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】①②空间向量共线不代表所在直线平行，且空间任意两向量都共面，即可判断；③利用四面体四条侧棱说明即可；④根据空间向量基本定理即可判断.
【详解】①若向量共线，则向量所在的直线平行或重合，错误；
②若向量所在的直线为异面直线，由向量位置的任意性，空间中两向量可平移至一个平面内，故共面，错误；
③若三个向量两两共面，如下图：显然不共面，错误；
④已知空间的三个不共面向量，则对于空间的任意一个向量，根据空间向量基本定理知：总存在实数使，正确.
所以正确的个数是1，
故选：B
5．已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】抛物线焦点为F(1,0)，准线为x=-1，作 垂直于准线，垂足为 根据抛物线定义： ，根据三角形两边距离之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知： 的最小值是点到抛物线准线x=-1的距离；所以点 纵坐标为-1，则横坐标为．
故选A
6．如图，在二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若，则线段CD的长为（ ）
A．B．16C．8D．
【答案】D
【解析】分别过点、点作、的平行线相交于点，连接，则由题意可知为等边三角形，为直角三角形，求解即可.
【详解】分别过点、点作、的平行线相交于点，连接，
则四边形为平行四边形.
线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB.
，则为二面角的平面角，即
，如图所示.
为等边三角形，
，，，平面，平面
平面
又平面
在中
故选：D
【点睛】本题考查空间的距离问题，属于中档题.
7．椭圆的左顶点为，点均在上，且关于原点对称.若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，再根据直线的斜率之积为列式，结合椭圆的方程化简即可.
【详解】设且，则.
又，故，故，所以.
故选：B
8．已知边长为2的等边三角形，是平面内一点，且满足，则三角形面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立直角坐标系，设，写出的坐标，利用列式得关于的等式，可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，写出直线的方程，计算和点距离直线的最小距离，代入三角形面积公式计算.
【详解】以的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，则，，，
设，因为，所以，得，
所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，当点距离直线距离最大时，面积最大，已知直线的方程为：，，点距离直线的最小距离为：，所以面积的最小值为.
故选：A
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．过点作圆的切线，切线方程为
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1
【答案】AB
【分析】根据直线系的方程求解顶点即可判断A；结合点在圆上求解切线判断B；分和讨论判断C；直接求解直线在坐标轴上的交点坐标即可判断D.
【详解】解：对于A选项，，
故直线过与的交点，
所以，联立得，即直线必过定点，故正确；
对于B选项，点在上，圆心为，所以切线的斜率为，所以切线方程为，即，故正确；
对于C选项，经过点，倾斜角时，直线方程为，当时，直线方程为，故错误；
对于D选项，令得，令得，所以直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为，故错误.
故选：AB
10．已知，分别是正方体的棱和的中点，则（ ）
A．与是异面直线
B．与所成角的大小为
C．与平面所成角的正弦值为
D．二面角的余弦值为
【答案】AD
【分析】根据异面直线的判定定理可判断A；建立空间直角坐标系，用向量方法可计算B，C，D是否正确
【详解】根据异面直线的判定定理，及正方体的结构特征，易知：A正确；
以为原点，，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
设正方体棱长2，则，，，，,
,
所以 ,,
设与所成角的大小为,
则
所以 ，故B错误;
由题意可知,平面的法向量为,,
设与平面所成角为, 则
,故C错误;
,
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设平面的一个法向量为，，
则，令，得，
设二面角为，由题图知为锐角，
则，故D正确．
故选:AD．
11．已知动点P在左、右焦点分别为、的双曲线C上，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为2B．当P在双曲线左支时，的最大值为
C．点P到两渐近线距离之积为定值D．双曲线C的渐近线方程为
【答案】AC
【解析】先利用双曲线方程得到对应的，直接求得离心率和渐近线方程，判断AD的正误，设，知，结合点到直线的距离公式直接计算点P到两渐近线距离之积得到定值判断C正确；利用双曲线定义将转化成关于的关系式，再利用基本不等式即求得最值，判断选项B的正误.
【详解】在双曲线C中，实半轴长，虚半轴长，半焦距.
对于AD，双曲线的离心率，渐近线方程为，故A正确，D错误；
对于B，当P在双曲线的左支上时，，
故，当且仅当时，即时等号成立，故的最大值为，故B错误；
对于C，设，则，即，而渐近线为和，故到渐近线的距离之积为为定值，故C正确.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：
本题的解题关键在于突破选项B，其关键点在于利用双曲线定义将比值转化到一个变量的关系式上，利用基本不等式突破最值.
12．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点，分别过作抛物线的切线交于点则下列说法正确的是（ ）
A．若，则直线AB的倾斜角为
B．点P在直线上
C．
D．的最小值为
【答案】BC
【分析】根据题意设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到的值，根据抛物线的定义即可求解A项；设两点的坐标，利用导数求解切线斜率，进而得出切线方程，联立切线方程即可求解B、C两项；利用两点间距离公式得到的值，结合A项的值，构造函数，利用函数的单调性，求解最小值即可.
【详解】由题可得，抛物线的焦点坐标为，
对于选项A，设，则与抛物线联立方程消元化简得，所以，所以，所以解得，所以可知当时，直线AB的倾斜角为或，所以选项A错误；
设，由，所以，所以，即为，同理可得,由,解得，由上知，，所以,所以点P在直线上，所以选项B正确；
因为，所以，所以，所以选项C正确；
因为，即为，所以，因为，所以，令，则原式.因为函数在上单调递增，所以当，即时取到最小值，其最小值为.所以选项D错误.
故选:BC.
三、填空题
13．直线被圆截得的弦长为_____________．
【答案】
【分析】根据圆的性质，结合点到直线距离公式、勾股定理、配方法进行求解即可.
【详解】由，
因此圆C的圆心为，半径为4，
所以圆心到直线l的距离，
故直线l被圆C截得的弦长为．
故答案为：
14．已知四面体棱长均为，点，分别是、的中点，则___________.
【答案】
【分析】根据数量积的运算律及定义计算可得.
【详解】解：因为点，分别是、的中点，
所以，，
，
，
所以.
故答案为：
15．已知为椭圆上的一点，若，分别是圆和上的点，则的最大值为________．
【答案】##
【分析】设圆和圆的圆心分别为,则根据椭圆的性质可知为定值,再根据三角形两边之和大于第三边可知的最大值为与两圆半径的和即可.
【详解】由题, 设圆和圆的圆心分别为,半径分别为.
则椭圆的焦点为.又,.
故,当且仅当分别在的延长线上时取等号.
此时最大值为.
故答案为：.
16．已知抛物线，直线l与抛物线C交于M，N两点，且，，则点A到直线l的距离的最大值为__________.
【答案】1
【分析】由题意，设直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，根据数量积的坐标公式，求得直线方程中的参数，求得直线所过定点，可得答案.
【详解】由题意直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为，设，联立，整理可得：，即，且，
，所以，解得，
所以直线l的方程为，所以直线l恒过定点，从而点到直线l的距离的最大值为.
故答案为：.
四、解答题
17．在以下这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．
①圆经过点；②圆心在直线上；③圆截y轴所得弦长为8且圆心M的坐标为整数．
已知圆M经过点且_____．
(1)求圆M的方程；
(2)求以为中点的弦所在的直线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选条件①，，将三个点的坐标代入圆的方程，计算即可. 选条件②，设圆的方程为，将两个点的坐标代入圆的方程，将圆心坐标代入直线方程，计算即可. 选条件③．设圆的方程为，将两个点的坐标代入圆的方程，再结合弦长公式，计算即可.
（2）由垂径定理知，过该中点的直径与弦垂直，从而得到其斜率即可.
【详解】（1）选条件①．设圆的方程为，
由题意得解得
所以圆的方程为，即．
选条件②．设圆的方程为，
由题意得解得
所以圆的方程为，即．
选条件③．设圆的方程为，
由题意得（i）
因为圆截轴所得弦长为8，
所以方程有两个不等的实数根，，
且，
即，（ii）
由（i）（ii）可得，，或，，，
又因为圆心的坐标为整数，
所以，，．
故圆的方程为，即．
（2）由（1）知圆心的坐标为，弦的中点为，
弦的斜率，
所以弦所在的直线方程为，即．
18．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于,两点．
(1)求证：；
(2)点为坐标原点，当面积最小时，求弦的长度．
【答案】(1)详见解析；
(2).
【分析】（1）可设直线的方程为，联立抛物线方程利用韦达定理即得；
（2）利用韦达定理及三角形面积公式可得，然后根据二次函数的性质即得.
【详解】（1）由题意可设直线的方程为，
由，得，
所以；
（2）由上知，，
∴
，
所以时，三角形面积最小，
即直线与垂直时，三角形面积最小，
此时，两点的横坐标都为，代入抛物线的方程，得，，
所以.
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，Q为AD的中点，.
(1)点M在线段PC上，，求证：平面MQB；
(2)在（1）的条件下，若，求直线PD和平面MQB所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知，连接AC交BQ于N﹐连接MN，由可知，所以，又因为，所以，然后利用线面平行的判定定理即可完成证明；
（2）由已知，可通过计算得到并利用线面垂直的判定定理得到平面PQB，平面ABCD，然后点Q为原点，以，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，先求解出平面MOB的一条法向量，然后设直线PD和平面MQB所成角为，借助可直接进行求解.
【详解】（1）证明：连接AC交BQ于N﹐连接MN，因为，所以，
所以，所以，又，
所以，因为平面MQB，平面MQB，
所以平面MQB；
（2）
连接BD，由题意都是等边三角形，
因为Q是AD中点，所以，又，
平面PQB，所以平面PQB，
，
在中，，所以，所以平面ABCD，
以点Q为原点，以，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
由，可得，
所以.
设平面MOB的法向量，.
可取，则，
直线PD的方向向量，
设直线PD和平面MQB所成角为，则
即直线PD和平面MQB所成角的大小为.
20．已知直线，O为坐标原点，动点Q满足，动点Q的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l与圆交于不同的两点A，B，当时，求k的值；
(3)若 ，P是直线l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点.
【答案】(1)
(2)
(3)过定点
【分析】（1）首先设点，根据，代入坐标运算，即可求曲线的方程；
（2）由题中的几何条件可知，点O到l的距离，代入公式，即可求解；
（3）首先求过四点O、P、C、D的圆的方程，再与曲线的方程相减，可得直线的方程，根据方程的形式，求直线所过定点.
【详解】（1）设点，依题意知，整理得，
∴曲线C的方程为
（2）∵点O为圆心，，∴点O到l的距离
∴；
（3）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，（对角互补的四边形的四顶点共圆）设
，则圆心，半径得即

又C、D在圆上∴即 （直线CD是两圆的公共弦所在直线，故两圆方程相减便得其方程）由，得
∴直线CD过定点
21．如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.
(1)求证：；
(2)若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点E为线段中点
【分析】（1）通过作辅助线结合面面垂直的性质证明侧面，从而证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标,再求相关的向量坐标，求平面的法向量，利用向量的夹角公式求得答案.
【详解】（1）证明：连接交于点，
因，则
由平面侧面，且平面侧面，
得平面，又平面，所以.
三棱柱是直三棱柱，则底面ABC，所以.
又，从而侧面，
又侧面，故.
（2）由（1）平面，则直线与平面所成的角,
所以，又，所以
假设在线段上存在一点E，使得二面角的大小为,
由是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC､所在直线分别为y，z轴,以过A点和AC垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
且设， ，
得
所以，
设平面的一个法向量，由，得：
，取,
由（1）知平面，所以平面的一个法向量,
所以，解得,
∴点E为线段中点时，二面角的大小为.
22．设是双曲线的左､右两个焦点，为坐标原点，若点在双曲线的右支上，且的面积为3.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若双曲线的两顶点分别为，过点的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，在定直线方程上
【分析】（1）由已知条件可得为直角三角形,利用双曲线的定义和勾股定理进行计算可得a,b,c,然后由渐近线公式可得答案.
（2）对直线的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，将直线方程与双曲线方程联立，写出直线和直线的方程，并联立利用韦达定理求解即可.
【详解】（1）由得，且
所以

即解得
又,
故双曲线的渐近线方程为.
（2）由（1）可知双曲线的方程为.
（i）当直线的斜率不存在时，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得，
（ii）当直线的斜率存在时，易得直线l不和渐近线平行，且斜率不为0，设直线的方程为，
联立得
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又满足，
.
，
，或，（舍去.
综上，在定直线上，且定直线方程为.