2022-2023学年湖南省郴州市嘉禾县第六中学高二下学期期末摸底数学试题含答案

2022-2023学年湖南省郴州市嘉禾县第六中学高二下学期期末摸底数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解绝对值不等式、指数不等式求集合，再应用交运算求集合即可.

【详解】由题设，，

所以.

故选：C

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的运算规则以及共轭复数的定义即可.

【详解】， ；

故选：A.

3．若等差数列和等比数列满足，则的公差为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】A

【分析】根据等差等比数列的通项公式转化为首项与公比，公差的关系求解.

【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为

，又

又

，

故选：A

4．在财务审计中，我们可以用本福特定律来检验数据是否造假．本福特定律指出，在一组没有人为编造的自然生成的数据（均为正实数）中，首位非零数字是1，2，，9这九个事件并不是等可能的．具体来说，假设随机变量是一组没有人为编造的数据的首位非零数字，则，．根据本福特定律，首位非零数字是1的概率与首位非零数字是8的概率之比约为（    ）

（参考数据：，）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【分析】根据题意结合对数运算求解.

【详解】由题意可得：．

故选：C.

5．在中，点满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据共线向量定理可得为的中点，再根据向量的加法和减法法则，即可得答案；

【详解】，为的中点，

，

故选：A.

【点睛】本题考查向量的线性运算，考查向量加法和减法的几何意义，求解时注意回路的选择.

6．椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，若的面积为，则的周长为（    ）

A．8 B．7 C．6 D．5

【答案】C

【分析】设椭圆的半焦距为，由条件利用表示的面积，由条件列方程求，再由关系求，根据椭圆定义求，由此可求的周长.

【详解】设椭圆的半短轴长为，半焦距为，

则，的面积

由题知，

所以，，

由椭圆的定义知，又，

所以的周长为.

故选：C.

7．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据对数函数、正弦函数的性质判断即可.

【详解】因为，即，

又，所以.

故选：A

8．已知函数的定义域为，且，，则不等式解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】不等式的解集等价于的解集，构造函数，利用导数及相关条件可以判断出函数在上单调递减，从而可得原不等式的解集.

【详解】由得,即，

令,

则

因为,即,且,

所以,

故函数在上单调递减,

由,

故，即的解集是.

故选：C.

二、多选题

9．以下四个命题中，真命题的有（    ）

A．在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好；

B．回归模型中残差是实际值与估计值的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高；

C．对分类变量与的统计量来说，值越小，判断“与有关系”的把握程度越大．

D．已知随机变量服从二项分布，若，则．

【答案】AB

【分析】根据相关指数的定义确定A；

根据残差的性质确定B；

根据独立性检验确定C；

根据二项分布与均值的运算确定D.

【详解】对于A，由相关指数的定义知：越大，模型的拟合效果越好，A正确；

对于B，残差点所在的带状区域宽度越窄，则残差平方和越小，模型拟合精度越高，B正确；

对于C，由独立性检验的思想知：值越大，“与有关系”的把握程度越大，C错误．

对于D，，，又，，解得：，D错误．

故选：．

10．已知函数图象的最小正周期是，则（    ）

A．的图象关于点对称

B．将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称

C．在上的值域为

D．在上单调递增

【答案】ABD

【分析】利用赋值角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出，即可得到函数的解析式，由正弦函数的对称性可判断A；由函数图象的平移变换，结合余弦函数的性质可判断B；根据的范围和正弦函数的性质直接求解可判断C；根据正弦函数单调性通过解不等式可判断D.

【详解】解：因为，

函数的最小正周期是，∴，

∴，，

， ∴关于对称，故A正确.

，∴关于轴对称，故B正确.

当时，有，则，所以，

∴，故C错误.

由，解得，

所以的一个单调增区间为，而，

∴在上单调递增，故D正确.

故选：ABD

11．已知函数，则（    ）

A．函数在上单调递增 B．有三个零点

C．有两个极值点 D．直线是曲线的切线

【答案】CD

【分析】利用导数研究函数单调性和极值，通过极值判断函数零点个数，通过导数的几何意义求已知斜率的切线方程.

【详解】函数，定义域为R，，

，解得或；，解得，

在和上单调递增，在上单调递减，

极大值为，极小值为，

，，函数图像如图所示，

则函数的图像与轴只有一个交点，即只有一个零点，

所以AB选项错误，C选项正确；

曲线切线的切点坐标为，当切线斜率为2时，，解得，

当时，切点坐标为，切线方程为，即，D选项正确.

故选：CD.

12．在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱展开，得到的平面图如图所示.其中，，，M是BB1上的点，则（    ）

A．AM与A1C1是异面直线 B．

C．平面AB1C将三棱柱截成两个四面体 D．的最小值是

【答案】ABD

【分析】根据展开图还原直三棱柱，根据其结构特征及线面垂直的性质判断A、B、C，将面和面展开展开为一个平面，利用三点共线求的最小值.

【详解】由题设，可得如下直三棱柱：

由直三棱柱的结构特征知：AM与A1C1是异面直线，A正确；

因为，，且，则面，又面，故，B正确；

由图知：面AB1C将三棱柱截成四棱锥和三棱锥，一个五面体和一个四面体，C错误：

将面和面展开展开为一个平面，如下图：

当共线时，最小为，D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．已知平面向量，，求      .

【答案】

【分析】利用向量坐标的加减运算和模长计算公式得到答案.

【详解】，所以模长为.

故答案为：.

14．已知定义在上的偶函数满足，则的一个解析式为           ．

【答案】（答案不唯一）

【分析】由已知条件可推出的周期为4，从而得解．

【详解】∵为上的偶函数，∴，

又，∴用替换，得，

∴，∴的周期为4，

则的一个解析式可以为

故答案为：（答案不唯一）．

15．有三台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为0.06，第二三台加工的次品率均为0.05，加工出来的零件混放在一起.已知第一，二，三台车床加工的零件数分别占总数的0.25，0.3，0.45，任取一个零件，求它是次品的概率      .

【答案】

【分析】利用三台车床的次品率和零件数占比求得正确结论.

【详解】依题意，任取一个零件，求它是次品的概率为

.

故答案为：

四、双空题

16．在数列中，已知，，则      ，当为偶数时，      .

【答案】     159    

【分析】根据递推式求解出，令，则，令，则，从而可得，进而可求出当为偶数时的通项公式.

【详解】因为在数列中，已知，，

所以，，，，

，，，

令，则，，

令，则，

所以，

所以，

所以数列是以3为公比，6为首项的等比数列，

所以，

所以，

所以，

所以当为偶数时，，

故答案为：159，.

五、解答题

17．如图，在平面四边形中，，，，，．

(1)求边的长；

(2)求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在中利用正弦定理可得解；

（2）在中，先由余弦定理得，进而得，最后利用面积公式求解即可.

【详解】（1）在中，，

由正弦定理得．

（2）在中，由余弦定理得

．

∴．

∴．

18．已知公差不为零的等差数列的首项为1，且是一个等比数列的前三项，记数列的前项和为.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项的和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等差、等比数列的性质计算即可；

（2）先求出的通项，再用并项求和法求和即可.

【详解】（1）设等差数列的公差为，又，所以.

因为是一个等比数列的前三项，所以.

即，又，所以，

所以数列的通项公式为

（2）由（1）知数列的前项和

所以，数列的前项的和为

19．飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流.某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表:

(1)在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和数学期望；

(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因.

附:，其中.

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】(1)分别写出对相应概率列分布列求数学期望即可；

(2)先求 再根据数表对应判断相关性即可，对比两次的值可以得出结论说明原因.

【详解】（1）样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性 16 人，女性 24 人，比例为 ，

按照性别采用分层抽样的方法抽取 10 人，则抽取男性 4人，女性 6人.

随机变量的取值为:.

,

,

随机变量的分布列为

随机变量的数学期望.

（2）零假设为:爱好飞盘运动与性别无关联.

根据列联表重的数据，经计算得到

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为爱好飞盘运动与性别无关联.

列联表中所有数据都扩大到原来的10倍后，

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联.

所以结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的 10 倍，相当于样本量变大为原来的 10 倍，导致推断结论发生了变化.

20．正三棱柱中，为的中点，点在上.

(1)证明：平面；

(2)若二面角大小为，求以为顶点的四面体体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出长度，再求以为顶点的四面体体积.

【详解】（1）正三棱柱，则平面，又平面，，

又为的中点，则，、平面，，

平面

（2）  

由题意，为正三角形，为的中点，，如图建立空间坐标系，

由（1）易知平面法向量，

设则，，，则，

设平面的法向量为，则，取，则，

由题意，解得或（舍去），

，点到平面距离为1，

以为顶点的四面体体积为.

21．已知双曲线的一条渐近线方程为，且左焦点到渐近线的距离为，直线经过且互相垂直（斜率都存在且不为0），与双曲线分别交于点和分别为的中点.

(1)求双曲线的方程；

(2)证明：直线过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）先由题给条件求得的值，进而得到双曲线的方程；

（2）先利用设而不求的方法分别求得两点的坐标，求得直线的方程，进而得到直线过定点.

【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，所以，

左焦点到渐近线的距离为，所以，又，

联立得，解之得，所以双曲线的方程为.

（2）设直线的方程为，令

联立，整理得，，

所以，所以，

，则，

设直线的方程为，令

联立，整理得，

，

所以，所以，

，则，

当，即时，直线的方程为.

当时，

直线的斜率为，

直线的方程为，即，

所以直线过点，又直线过点，

综上，直线过定点.

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.

22．已知函数，．

(1)当，求的单调递减区间；

(2)若在恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)单调递减区间为

(2)

【分析】（1）根据导函数和原函数的单调性关系，先设求得，得到函数单调区间；

（2）把在上恒成立, 转化为在上恒成立，令,即得恒成立求参即可.

【详解】（1）当时，，

所以，令，所以，

当时，，故为增函数；

当时，，故为减函数，

所以，即，

所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.

（2）因为，所以，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

转化为在上恒成立，

令，，则且

当时，恒成立，故在上为增函数，

所以，即时不满足题意；

当时，由，得，

若，则，故在上为减函数，在上为增函数，

所以存在，使得，即时不满足题意；

若，则，故在上为减函数，

所以，所以恒成立，

综上所述，实数的取值范围是.